【導(dǎo)與練】高考數(shù)學(xué) 試題匯編 第一節(jié) 數(shù)列的概念及其表示 理（含解析）.doc

第一節(jié)數(shù)列的概念及其表示 數(shù)列的通項(xiàng)公式與遞推公式考向聚焦高考?？純?nèi)容,主要考查歸納推理思想,常見類型有:(1)累加法(累乘法)求通項(xiàng)并應(yīng)用;(2)數(shù)列的函數(shù)特性,多以選擇、填空題形式或解答題的第(1)問(wèn)出現(xiàn),所占分值5分左右備考指津訓(xùn)練內(nèi)容:(1)累加法、累乘法、構(gòu)造轉(zhuǎn)化法等求通項(xiàng)的常用方法;(2)利用函數(shù)單調(diào)性的方法判斷數(shù)列的性質(zhì)并應(yīng)用;(3)注意歸納猜想方法的應(yīng)用1.(2012年新課標(biāo)全國(guó)卷,理16,5分)數(shù)列an滿足an+1+(-1)nan=2n-1,則an的前60項(xiàng)和為.解析:an+1+(-1)nan=2n-1當(dāng)n=2k(kn*)時(shí),a2k+1+a2k=4k-1當(dāng)n=2k+1(kn)時(shí),a2k+2-a2k+1=4k+1由+得a2k+a2k+2=8k令k=1,3,5,29可得a2+a4=81,a6+a8=83,a10+a12=85,a58+a60=829,把以上15個(gè)等式相加得a2+a4+a6+a60=815(1+29)2=1800.又由知a2k+1=a2k+2-(4k+1),令k=0,1,2,3,29可得a1=a2-(40+1)a3=a4-(41+1)a5=a6-(42+1)a59=a60-(429+1)把以上30個(gè)等式相加得a1+a3+a5+a59=(a2+a4+a6+a60)-4(0+1+2+29)+30=1800-430(0+29)2+30=30.a1+a2+a3+a60=1800+30=1830.答案:18302.(2010年遼寧卷,理16)已知數(shù)列an滿足a1=33,an+1-an=2n,則ann的最小值為.解析:由an+1-an=2n,a1=33,得an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+(a2-a1)+a1=2(n-1)+2(n-2)+2(n-3)+2+33=2(n-1)(1+n-1)2+33=n2-n+33,ann=n2-n+33n=n+33n-1,nn*,當(dāng)n=6時(shí),ann有最小值212.答案:2123.(2010年新課標(biāo)全國(guó)卷,理17)設(shè)數(shù)列an滿足a1=2,an+1-an=322n-1.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)令bn=nan,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和sn.解:(1)由已知,當(dāng)n1時(shí),an+1=(an+1-an)+(an-an-1)+(a2-a1)+a1=3(22n-1+22n-3+2)+2=22(n+1)-1.而a1=2符合上式,所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=22n-1.(2)由bn=nan=n22n-1知sn=12+223+325+n22n-1從而22sn=123+225+327+n22n+1-得(1-22)sn=2+23+25+22n-1-n22n+1,即sn=19(3n-1)22n+1+2.利用an與sn的關(guān)系解題考向聚焦高考熱點(diǎn)內(nèi)容,主要考查利用an與sn的關(guān)系:an=s1(n=1),sn-sn-1(n2)解決前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的問(wèn)題,多以選擇、填空形式考查,有時(shí)在解答題中涉及,難度中低檔,分值占5分左右備考指津強(qiáng)化訓(xùn)練題型:(1)利用an與sn的關(guān)系求an或某項(xiàng);(2)利用an與sn的關(guān)系研究和的問(wèn)題;(3)熟記并理解an與sn的關(guān)系4.(2011年江西卷,理5)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn滿足:sn+sm=sn+m,且a1=1.那么a10等于()(a)1(b)9(c)10(d)55解析:由sn+sm=sn+m得s1+s9=s10,即s1=s10-s9,s1=a10,即a1=a10.a10=1.答案:a.5.(2010年江蘇卷,19)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,已知2a2=a1+a3,數(shù)列sn是公差為d的等差數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(用n,d表示);(2)設(shè)c為實(shí)數(shù),對(duì)滿足m+n=3k且mn的任意正整數(shù)m,n,k,不等式sm+sncsk都成立,求證:c的最大值為92.(1)解:sn是等差數(shù)列,2s2=s1+s3.又2a2=a1+a3,2a1+a2=a1+3a2,(*)將(*)式兩邊平方整理得3a1+a2=23a1a2,即(a2-3a1)2=0,a2=3a1,d=s2-s1=2a1-a1=a1,即s1=d,sn=s1+(n-1)d=nd,sn=n2d2.當(dāng)n2時(shí),an=sn-sn-1=n2d2-(n-1)2d2=(2n-1)d2,且對(duì)n=1成立,an=(2n-1)d2(nn*).(2)證明:由sm+sncsk得m2+n2ck2,即cm2+n2k2,m+n=3k,m2+n2k2=9(m2+n2)(m+n)2=9(m2+n2)m2+n2+2mn.2mn92,c92,c的最大值為92.(2011年廣東卷,理20)設(shè)b0,數(shù)列an滿足a1=b,an=nban-1an-1+2n-2(n2).(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)證明:對(duì)于一切正整數(shù)n,anbn+12n+1+1.難題特色:本題(1)中將分類討論思想與構(gòu)造法求通項(xiàng)公式問(wèn)題結(jié)合在一起命題,體現(xiàn)了思想與方法于一體的特色,本題(2)中巧妙地考查了基本不等式在數(shù)列中的應(yīng)用.難點(diǎn)突破:本題(1)中的關(guān)鍵是構(gòu)造cn=2bcn-1+1b并注意b的取值的不定性.本題(2)中的解題關(guān)鍵在于利用基本不等式推證1an12(2b)n+12后再次利用基本不等式推證bn+12n+1+12(b2)n+12.(1)解:由題設(shè)知an=nban-1an-1+2n-2(n2),所以nan=an-1+2n-2ban-1=2bn-1an-1+1b(n2),設(shè)cn=nan,得cn=2bcn-1+1b(n2),c1=1b,當(dāng)b=2時(shí),cn-cn-1=12(n2),c1=12;則cn是首項(xiàng)與公差均為12的等差數(shù)列,即cn=n2,得an=2;當(dāng)b0且b2時(shí),cn+12-b=2b(cn-1+12-b)(n2),c1+12-b=1b+12-b=2b(2-b)0,則cn+12-b是首項(xiàng)為2b(2-b),公比為2b的等比數(shù)列,即cn+12-b=2b(2-b)(2b)n-1=12-b(2b)n,得cn=2n-bn(2-b)bn,所以an=n(2-b)bn2n-bn.綜上所述:an=2(b=2),n(2-b)bn2n-bn(b0且b2).(2)證明:由(1)及題設(shè)知當(dāng)b=2時(shí),bn+12n+1+1=2=an,原不等式顯然成立.當(dāng)b0且b2時(shí),1an=2n-bnn(2-b)bn=k=1n2n-kbk-1nbn=1nbk=1n2n-kbk-1bn-1=1nbk=1n2n-kbn-k=1bk=1n2n-kbn-kn;1nk=1n2n-kbn-k=(2b)n-1+(2b)