江蘇省2020屆高三數(shù)學(xué) 全真模擬卷卷11

江蘇省2020屆高三全真模擬卷數(shù)學(xué)卷11一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上1已知集合，集合，若命題“”是命題“”的充分 不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 答案： 2復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則= 答案：3為了解某校教師使用多媒體進(jìn)行教學(xué)的情況，采用簡單隨機(jī)抽樣的方法，從該校200名授課教師中抽取20名教師，調(diào)查了他們上學(xué)期使用多媒體進(jìn)行教學(xué)的次數(shù)，結(jié)果用莖葉圖表示如下：據(jù)此可估計(jì)該校上學(xué)期200名教師中，使用多媒體 進(jìn)行教學(xué)次數(shù)在內(nèi)的人數(shù)為 答案：100 解析：所抽取的20人中在內(nèi)的人數(shù)10人，故可得200名教師中使用多媒體進(jìn)行教學(xué)次數(shù)在內(nèi)的人數(shù)為=100人。4如圖是一個(gè)算法的流程圖，則最后輸出的的值為 答案：14 解析：本題考查算法流程圖。 所以輸出。5已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若4，16，則的最大值是 答案：96用半徑為cm，面積為cm2的扇形鐵皮制作一個(gè)無蓋的圓錐形容器（銜接部分忽略不計(jì)）， 則該容器盛滿水時(shí)的體積是 答案：7若在區(qū)間和上分別各取一個(gè)數(shù)，記為和，則方程表示焦點(diǎn)在 軸上的橢圓的概率為 答案：2 解析：本題考查線性規(guī)劃和幾何概型。 由題意知畫可行域如圖陰影部分。 直線與，的交點(diǎn)分別為（2,2），（4,4） 陰影梯形的面積為， 而區(qū)間和構(gòu)成的區(qū)域面積為8，故所求的概率為。8設(shè)是實(shí)數(shù)若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，但不是偶函數(shù)，則函數(shù)的遞增區(qū)間為 答案：9已知三次函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則的最小 值為 答案：3解析:由題意0在R上恒成立，則，0令 3（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”10若函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，且， 則實(shí)數(shù)的值等于 答案：或。解析：本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)。 由可知是該函數(shù)的一條對(duì)稱軸， 故當(dāng)時(shí)，或。又由可得或。 11已知A，B，P是雙曲線上不同的三點(diǎn)，且A，B連線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線 PA，PB的斜率乘積，則該雙曲線的離心率為 答案：解析：一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)，則， 12已知等差數(shù)列的公差d不為0，等比數(shù)列的公比q為小于1的正有理數(shù)。若，且是正整數(shù)，則q等于 答案：13已知a 0，b 0，且，其中a，b表示數(shù)a，b中較小的數(shù)，則h的最大值為 答案：14已知定義在上的函數(shù)f(x)滿足f(1)2，則不等式解集 答案：二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分請(qǐng)把答案寫在答題卡相應(yīng)的位置上解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟15(本題滿分14分) 如圖所示,已知的終邊所在直線上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為,的終邊在第一象限且與單位圓的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為. 求的值； 若,求.解：由三角函數(shù)的定義知 .又由三角函數(shù)線知,為第一象限角,. 7分,.又,. 8分.由,得,. 14分16(本題滿分14分)在三棱錐中,是邊長為的正三角形,平面平面,、分別為、的中點(diǎn). 證明：； (理)求二面角的正切值； 求點(diǎn)到平面的距離.解：解法：取中點(diǎn),連結(jié)、.,平面,又平面,. 4分 平面,平面,平面平面.過作于,則平面,過作于,連結(jié),則,為二面角的平面角.平面平面,平面.又平面,.,且.在正中,由平幾知識(shí)可求得,在中,二面角的正切值為. 8分 在中,.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,平面,.即點(diǎn)到平面的距離為. 14分解法：取中點(diǎn),連結(jié)、.,.平面平面, 平面平面,平面,.如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,則,. 6分 ,又,.設(shè)為平面的一個(gè)法向量,則,取,.又為平面的一個(gè)法向量,得.即二面角的正切值為. 10分 由得,又為平面的一個(gè)法向量,點(diǎn)到平面的距離.14分17(本題滿分14分)某公司為了加大產(chǎn)品的宣傳力度，準(zhǔn)備立一塊廣告牌，在其背面制作一個(gè)形如ABC的支架，要求ACB60，BC的長度大于1米，且AC比AB長0.5米為節(jié)省材料，要求AC的長度越短越好，求AC的最短長度，且當(dāng)AC最短時(shí)，BC的長度為多少米？解：設(shè)BCx米（x1），ACy米，則ABy在ABC中，由余弦定理，得(y)2y2x22xycos60所以y（x1）法一：y(x1)22當(dāng)且僅當(dāng)x1，即x1時(shí)，y有最小值2法二： y由y0得x1因?yàn)楫?dāng)1x1時(shí)，y0；當(dāng)x1時(shí)，y0，所以當(dāng)x1時(shí)，y有最小值2答：AC的最短長度為2米，此時(shí)BC的長度為（1）米14分18(本題滿分16分)已知曲線E：ax2by21（a0，b0），經(jīng)過點(diǎn)M（，0）的直線l與曲線E交于點(diǎn)A、B，且2 （1）若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），求曲線E的方程；（2）若ab1，求直線AB的方程解：（1） 設(shè)A(x0，y0)，因?yàn)锽(0，2)，M(，0) 故(，2)，(x0，y0) 2分因?yàn)?，所以(，2)2(x0，y0)所以x0，y01即A(，1) 4分因?yàn)锳，B都在曲線E上，所以解得a1，b所以曲線E的方程為x21 6分（2）（法一）當(dāng)ab1時(shí)，曲線E為圓：x2y21設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)因?yàn)?，所以(x2，y2) 2(x1，y1)，即設(shè)線段AB的中點(diǎn)為T，則點(diǎn)T的坐標(biāo)為(，)，即(，)所以(，)，(x2x1，y2y1)(3x1，3y1)因?yàn)镺TAB，所以0，即34x13x3y0因?yàn)閤y1，所以x1，y1當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，)時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，1)，此時(shí)直線AB的斜率k，所求直線AB的方程為yx1；當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，)時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，1)，此時(shí)直線AB的斜率k，所求直線AB的方程為yx1 16分（法二）當(dāng)ab1時(shí)，曲線E為圓：x2y21設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)因?yàn)?，所以(x2，y2) 2(x1，y1)，即因?yàn)辄c(diǎn)A，B在圓上，所以 由4，得(2x1x2)(2x1x2)3所以2x1x2，解得x1，x20由x1，得y1（以下同方法一）（法三）如圖，設(shè)AB中點(diǎn)為T則TMTAMAAB，OM根據(jù)RtOTA和RtOTM，得即解得AB，OT所以在RtOTM中，tanOMT所以kAB或所以直線AB的方程為yx1或yx119(本題滿分16分)設(shè)f(x)x3，等差數(shù)列an中a37，記Sn，令bnanSn，數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn（1）求an的通項(xiàng)公式和Sn； （2）求證：Tn；（3）是否存在正整數(shù)m，n，且1mn，使得T1，Tm，Tn成等比數(shù)列？若存在，求出m，n的值，若不存在，說明理由解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由，解得,3,Sn4分(2) ， 。 8分(3)由(2)知， ， 成等比數(shù)列 ，即9分當(dāng)時(shí)，7，1，不合題意；當(dāng)時(shí)，16，符合題意；10分當(dāng)時(shí)，無正整數(shù)解；當(dāng)時(shí)，無正整數(shù)解；當(dāng)時(shí)，無正整數(shù)解；當(dāng)時(shí)，無正整數(shù)解； 12分當(dāng)時(shí)， ，則，而，所以，此時(shí)不存在正整數(shù)m，n，且1mn，使得成等比數(shù)列 15分綜上，存在正整數(shù)m2，n16，且1mn，使得成等比數(shù)列16分20(本題滿分16分)若函數(shù)（1）當(dāng)，時(shí)，若函數(shù)的圖象與軸所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積分別為，(i)求證：的圖象與軸恰有兩個(gè)交點(diǎn)；(ii)求證：（2）當(dāng)，時(shí)，設(shè)函數(shù)有零點(diǎn)，求的最小值解：（1）(i)因?yàn)?，所以是使取到最小值的唯一的值，且在區(qū)間上，函數(shù)單調(diào)遞減；在區(qū)間上，函數(shù)單調(diào)遞增因?yàn)?，所以的圖象與x軸恰有兩個(gè)交點(diǎn) 4分(ii)設(shè)x1，x2是方程的兩個(gè)實(shí)根，則有因式，且可令. 于是有. 分別比較（*）式中常數(shù)項(xiàng)和含x3的項(xiàng)的系數(shù)，得，解得，所以分別比較式中含x和x2的項(xiàng)的系數(shù)，得， + n得，即10分（2）方程化為：，令,方程為，即有絕對(duì)值不小于2的實(shí)根設(shè)，當(dāng)，即時(shí)，只需，此時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，只需，此時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，只需或，即或，此時(shí)的最小值為16分（附加題）21【選做題】本題包括A，B，C，D共4小題，請(qǐng)從這4題中選做2小題，每小題10分，共20分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上準(zhǔn)確填涂題目標(biāo)記，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟A選修41：幾何證明選講如圖，O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交于點(diǎn)P，E為O上一點(diǎn)，AE=AC，求證：PDE=POC證明：因AE=AC，AB為直徑， 故OAC=OAE 3分所以POC=OAC+OCA=OAC+OAC=EAC又EAC=PDE，所以，PDE=POC10分B選修42：矩陣與變換試求曲線在矩陣MN變換下的函數(shù)解析式，其中M =，N =解：MN = =4分即在矩陣MN變換下6分即曲線在矩陣MN變換下的函數(shù)解析式為10分C選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知直線的參數(shù)方程：（為參數(shù)）和圓的極坐標(biāo)方程：（1）將直線的參數(shù)方程化為普通方程，圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）判斷直線和圓的位置關(guān)系解：消去參數(shù)，得直線的普通方程為2分 即， 兩邊同乘以得， 6分（2）圓心到直線的距離， 所以直線和相交 10分D選修45：不等式選講已知x，y，z均為正數(shù)求證：證明：因?yàn)閤，y，z都是為正數(shù)，所以 3分同理可得 將上述三個(gè)不等式兩邊分別相加，并除以2，得10分22【必做題】本題滿分10分解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)一起參加某高校組織的自主招生考試，考試分筆試和面試兩部分，筆試和面試均合格者將成為該高校的預(yù)錄取生（可在高考中加分錄?。?，兩次考試過程相互獨(dú)立根據(jù)甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)的平時(shí)成績分析，甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)能通過筆試的概率分別是0.6，0.5，0.4，能通過面試的概率分別是0.5，0.6，0.75（1）求甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)中恰有一人通過筆試的概率；（2）設(shè)經(jīng)過兩次考試后，能被該高校預(yù)錄取的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的期望解：（1）分別記甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)筆試合格為事件、；表示事件“恰有一人通過筆試” 則-5分 （2）解法一：因?yàn)榧?、乙、丙三個(gè)同學(xué)經(jīng)過兩次考試后合格的概率均為，-8分所以，故-10