二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 (3).ppt

4.2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例,選修45,在數(shù)學(xué)研究中，人們會(huì)遇到這樣的情況，對(duì)于任意正整數(shù)n或不小于某個(gè)數(shù)n0的任意正整數(shù)n，都有某種不等關(guān)系成立。,與正整數(shù)有關(guān)的命題,多米諾骨牌操作實(shí)驗(yàn),情境一,數(shù)學(xué)歸納法,我們常采用數(shù)學(xué)歸納法來證明：由不完全歸納法得到的某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的正確性.,（1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(例如n0=1)時(shí)命題成立,（2）假設(shè)當(dāng)n=k(kN,kn0)時(shí)命題成立證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。,這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法,k=2,k+1=2+1=3k=3,k+1=3+1=4k=10,k+1=10+1=11,證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=1,左邊=右邊,當(dāng)n=1時(shí)，式（*）成立,(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，式（*）成立，即1+35（1）k（2k1）（1）kk,在這個(gè)假設(shè)下再考慮當(dāng)n=k+1時(shí)，式（*）的左右兩邊是否成立.,引例、用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)nN+時(shí)，1+35（1）n（2n1）（1）nn（*）,當(dāng)n=k+1時(shí)等式左邊1+35（1）k（2k1）（1）k12(k+1)1,（1）k12(k+1)1,（1）k1(k+1)右邊,所以當(dāng)n=k+1時(shí)等式（*）成立。,由（1）（2）可知，1+35（1）n（2n1）（1）nn,利用假設(shè),湊結(jié)論,從n=k到n=k+1有什么變化,（1）kk,（1）k1k2(k+1)1,下面的框圖表示了數(shù)學(xué)歸納法的基本過程：,（1）驗(yàn)證：n=n0（n0N+）時(shí)命題成立。,（2）證明：假設(shè)n=k（kn0）時(shí)命題成立，則n=k+1時(shí)命題也成立。,對(duì)所有的n（n0N+，nn0）命題成立,奠基,假設(shè)與遞推,在不等關(guān)系的證明中，方法多種多樣，其中數(shù)學(xué)歸納法是常用的方法之一在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，由nk成立，推導(dǎo)nk1成立時(shí)，常常要與其他方如、等結(jié)合進(jìn)行,比較法,分析法,綜合法,放縮法,情境二,證明不等式時(shí)，通過把不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡(jiǎn)化不等式，從而達(dá)到證明的目的。我們把這種證明方法稱為放縮法。,預(yù)備知識(shí)1,預(yù)備知識(shí)2,例1.證明不等式,拓展,利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由nk到nk1的變形為滿足題目的要求，常常要采用“湊”的手段，一是湊出假設(shè)的形式，便于用假設(shè)；二是湊出結(jié)論的形式，再證明,15,2