《方差分析基本原理》PPT課件.ppt

1、第二章 方差分析基本原理,第一節(jié) 方差分析基本原理,方差分析的基本原理,一、模型構(gòu)造,表2.1,單因素等重復實驗的典型數(shù)據(jù),我們 的興趣在于檢驗處理均值的等式；也就是,至少有一對（i,，j）,二、偏差的構(gòu)造,為了檢驗零假設(shè)H0，首先討論單因素等重復試驗的各種偏差，有三種偏差：總偏差、條件偏差、試驗偏差,總偏差,利用偏差平方和來作為數(shù)據(jù)變異性的一個度量，直觀看，這是合理的 。但在同樣 的波動程度下，測定數(shù)據(jù)越多，偏差平方和就越大，因此僅用偏差平方和來反映變異顯然不夠，還應當考慮測定數(shù)據(jù)個數(shù)的貢獻，即要考慮測定相對偏差平方和,離均差平方和的分解,組間變異,總變異,組內(nèi)變異,隨機變量的自由度是由數(shù)據(jù)

2、個數(shù)n及數(shù)據(jù)所受的線性約束方程個數(shù) m所決定的。,當n個隨機變量 x1, x2 , , xn 受到且受到m個獨立方程約束時，則這n 個數(shù)據(jù)的平方和 的自由度為n-m。,方程組的系數(shù)矩陣為m,舉例: 假定樣本有三個數(shù)據(jù)：x1 =2；x2 =4；x3=9, 則,當 確定后，x1，x2，x3只有兩個數(shù)值可以自由取值，比如： x1 =6；x2 =7，那 x3 則必然取 2，而不能取其他值,令 （i=1,2, ,n),則：,由此來看平方和 的自由度， 其中：,當 xi 滿足關(guān)系： 也即 時，數(shù)據(jù) 滿足且滿足下面一個關(guān)系式：,因為：,可見： 平方和 僅受到 式約束所以平方和 的自由度為數(shù)據(jù) 的個數(shù) n減去

3、約束方程個數(shù)1。,結(jié)論:若一組隨機變數(shù) 的平均數(shù)為 則平方和 的自由度為n-1, 總平方和ST的自由度,數(shù)據(jù) yij共N=ar個,它們僅受到 的約束,因此其自由度為, 因素A偏差平方和SA的自由度,因此其自由度為,a個數(shù)據(jù) 與 有關(guān)系, 誤差平方和Se的自由度,所以,誤差平方和Se的自由度為數(shù)據(jù)yij的個數(shù)ar減去約束方程個數(shù) a,因此其自由度為,假設(shè)有a個獨立的樣本：,如果原假設(shè)成立的話，H0：,那么就意味著這 a個正態(tài)總體不但方差相同，均值也相等。從這a個完全相同的正態(tài)總體中各抽取一個容量為r的樣本，就相當于從一個正態(tài)總體 中分別抽取了a個樣本,由數(shù)理統(tǒng)計無偏估計理論，,1.抽自正態(tài)總體

4、的樣本 x1，x2，xr無偏方差,是總體方差 的無偏估計，也即,結(jié)論2.來自同一正態(tài)總體 的a個容量為r的樣本均值 服從于正態(tài)分布,根據(jù)以上1、2兩點知識，我們知道：若Y1, Y2, ， Ya是來自正態(tài)總體 的a個樣本，則a 個樣本的均值y1, y2, ， ya也就服從正態(tài)總體 。又注意到y(tǒng)1, y2, ， ya的均值為 進而又有y1, y2, ， ya的無偏方差 ，是正態(tài)總體 的方差 的無偏估計,亦即,上式括號中 恰是因素均方差,結(jié)論：在原假設(shè) H0 成立的前提下，統(tǒng)計量 是總體 的無偏估計量,子樣 的無偏方差 是 的無偏估計 即,不難證明，誤差均方差 也是總體方差 的無偏估計量，事實上由

5、，及 均值為 yi,上式兩邊關(guān)于i求和，得,亦即,括號中便是,結(jié)論：誤差均方差是總體方差 的無偏估計,三、F統(tǒng)計量的構(gòu)造,由以上分析知，在原假設(shè)成立的前提下，,因素均方差,誤差均方差,這清楚地表明，檢驗處理均值之間有沒有差異，這一假設(shè)可以代之以比較因素均方差和誤差均方差來實現(xiàn)。,很接近于1,如果因素均方差比誤差均方差大得很多，即 F 值比 “1” 大得多，則與原假設(shè)相矛盾。,四、F 統(tǒng)計量的分布,關(guān)于數(shù)理統(tǒng)計中 分布的定義可知：當 是來自正態(tài)總體 的一個子樣時，有,那么如果當原假設(shè) 是正確的，由 分布的定義及性質(zhì)，就有,分布具有可加性,因此,由于,綜上結(jié)論，由F分布定義可知：,設(shè)隨機變量Y與Z

6、相互獨立,且Y和Z分別服從自由度 為m和n 的 分布,則隨機變量X有如下表達式:,則稱X服從第一自由度為m ,第二自由度為n 的F分布,記為XF(m,n),由此得:,四、F統(tǒng)計量的檢驗,對于給定的檢驗顯著性水平a, FFa =a,當一次檢驗中給出現(xiàn) FFa 。這一小概率事件時,有理由拒絕原假設(shè)H0,即否定不同條件下的總體,其均值完全相同的假設(shè),認為因素的效應顯著,不同條件下的均值有明顯不同。反之若 FFa，接受原假設(shè)H0,即認為不同條件下的總體,其均值沒有明顯的變化，認為因素的效應不夠顯著。,方差分析是一種檢驗同方差的若干個正態(tài)總體的均值是否相等的統(tǒng)計分析方法。同時也可說明屬性變量對數(shù)值型數(shù)據(jù)

7、產(chǎn)生顯著影響的統(tǒng)計分析方法.,五、偏差平方和的簡化計算,總偏差,令,則,條件偏差,同理實驗偏差,則,若等重復實驗,【2. 1】 ：測試一種合成纖維的抗拉強度,工程師根據(jù)以往的經(jīng)驗知道，纖維的抗拉強度受棉花在纖維中所占的比例大小影響,若已知含棉量在10%-40%之間為允許取值范圍,因此工程師決定檢驗棉花百分率為五個水平的樣本,分別是15%,20%,25%,30%,35% ,對每個水平進行五次實驗。測試結(jié)果如下：,抗拉強度實驗數(shù)據(jù)(ib/in2),五個水平含棉量其所得抗拉強度實驗數(shù)據(jù)(ib/in2)是否存在顯著差異? a=0.01 棉花含棉量方差分析結(jié)論.xls,查: Fa=0.01(4,20)=

8、4.43,得: FFa,否定：H0，肯定 H1, 即：含棉量對抗拉強度產(chǎn)生顯著影響當a=0.01時,第二節(jié) 對于方差分析的幾點說明,一、方差分析的 基本假定條件,基本假定：,1.正態(tài)性:子樣來自a個正態(tài)總體,2.方差齊性:a個正態(tài)總體方差相等,即:,巴特萊法,當隨機樣本來自獨立的正太總體時，統(tǒng)計量 抽樣分布漸近于自由度為a-1的卡方分布,Si是第i個總體的樣本方差,ri 為樣本容量(或?qū)嶒炛貜蛿?shù)）,當所有樣本方差相等時，q=0, 當樣本方差有較大差異時，q較大。因此當 的值太大時，否定H0；即當 否定H0,為誤差均方差,實例分析2.1,已知:,檢驗統(tǒng)計量是:,取顯著水平 a=0.05,肯定H0

9、假設(shè),即以95%的概率保證認為五個方差相同,極差比值法,步驟: 1 首先對每種實驗條件下的重復數(shù)據(jù)求極差Ri(i=1,2, ,n) 從 各極差Ri 中確定最大極差R max與最小極差R min,步驟: 2 查臨界值R a,n為實驗條件的種數(shù), r為實驗重復數(shù) r4 該方法不適用,步驟: 3 判斷當RW Ra 可認為在顯著水平 a下,各總體方差相等.,平均極差法,步驟: 3 判斷, 當任意一個Ri (i=1,2, ,n) 都滿足以下不等式,認為 n 個總體的方差是齊性的,步驟: 1 首先對n 種實驗條件下的重復數(shù)據(jù)求極差Ri(i=1,2, ,n) 然后求各條件下的極差平均值,步驟: 2 求臨界值

10、,從控制圖中查系數(shù)D3 , D4 其中r 為同一條件下的重復數(shù)下臨界值為 , 上臨界值為,平均極差法的理論說明,該方法屬于數(shù)理統(tǒng)計學中的質(zhì)量控制,質(zhì)量控制的數(shù)理根據(jù):,計量控制中關(guān)于總體的 的近似估計通常的方法是: 一方面控制產(chǎn)品質(zhì)量數(shù)據(jù)集中的程度,可通過子樣平均數(shù) 來進行;另一方面是控制產(chǎn)品質(zhì)量數(shù)據(jù)的離散程度,常通過子樣的極查差R進行,定理:若總體為 ，則從該總體中抽取的子樣平均數(shù) 服從, 如果抽得的 落在 范圍內(nèi),則生產(chǎn)過程被認為是正常的,否則就是不正常的。,然而總體的 通常是未知的，如果有標準質(zhì)量數(shù)據(jù)且實際可以達到的話, 即可用它作為控制中心，或以多批樣本 的平均數(shù) 作為控制中心 ，對于

11、 如果抽得一個容量很大的樣本，也可用樣本均方差S作為 而計算S這個統(tǒng)計量是較復雜的，一般是從子樣中算出極差R來代替S，以R作為控制對象，以掌握質(zhì)量數(shù)據(jù)的離散程度。,對于正態(tài)分布的總體來說，一個子樣的極差R和其均方差之間有著密切的關(guān)系，即當均方差比較大時，極差也比較大，若從該總體中連續(xù)抽取大量的容量為n 的子樣，這些子樣的R和S是隨機變量，它們的期望值之間也存在著一定的倍數(shù)關(guān)系，即,這個倍數(shù) a 是隨 n 的大小而定的常數(shù),對于正態(tài)分布的母體， 和母體均方差 之間也存在著一定的倍數(shù)關(guān)系，即：,這個倍數(shù) b 也是隨 n 的大小而定的常數(shù),得：,這個倍數(shù) c 也是隨 n 的大小而定的常數(shù),附表 c

12、的數(shù)據(jù)表,附表 d 的數(shù)據(jù)表,此外對于正態(tài)分布的總體， 各樣本R的均方差 和 之間也存在著一定的倍數(shù)關(guān)系，即：,這個倍數(shù) d 也是隨 n 的大小而定的常數(shù),這樣由 可算出,公式說明:,制定質(zhì)量控制圖步驟:, 第一步: 抽若干個子樣, 計算出每個子樣的 和 R, 再算出這些子樣平均數(shù) 的平均數(shù) ,同時算出這些子樣R的平均數(shù), 第二步: 指定 的控制上限和下限,由正態(tài)分布理論知,生產(chǎn)正常的情況下,所抽子樣的 超出控制上限或下限的概率只有0.0027,如超出界限,就不能認為生產(chǎn)正常, 第三步: 指定 R 的控制上限和下限,指定的控制上限,指定的控制下限,由正態(tài)分布理論知,生產(chǎn)正常的情況下,所抽子樣的

13、 超出控制上限或下限的概率只有0.0027,如超出界限,就不能認為生產(chǎn)正常,當n 在 510之間時,因子樣的分布漸進地服從正態(tài)分布,令,令,則:,則:,實例分析2.2,為測試某批紗線的收縮率,在六種水溫下各重復實驗4次,所得數(shù)據(jù)如下:,試判斷6個總體的方差齊性,紗線的收縮率數(shù)據(jù),解: n=6 ; 重復數(shù) r=4,1. 極差比值法:,取顯著水平a=0.05, 查得臨界值為 Ra= R0.05=7.992,認為六個總體的方差均一,解: n=6 ; 重復數(shù) r=4,2. 平均極差法:,查系數(shù)表D3=0 ,D4 =2.282,經(jīng)檢驗任意值Ri(1i6)都滿足,所以:可以認為六個總體的方差均一,二、多重

14、比較,抗拉強度實驗數(shù)據(jù)(ib/in2),（一）最小顯著差異（LSD）,檢驗H0：,檢驗ij(1,2,a)：,t統(tǒng)計量,檢驗是雙邊的，在給定的顯著水平a下，當,可判斷均值 有顯著差異,稱為最小顯著差異,兩個總體均值之差的檢驗（12、 22 未知但相等,小樣本）,檢驗具有等方差的兩個總體的均值 假定條件 兩個樣本是獨立的隨機樣本 兩個總體都是正態(tài)分布 兩個總體方差未知但相等12 = 22 檢驗統(tǒng)計量,其中：,【2. 1】 ：測試一種合成纖維的抗拉強度,工程師根據(jù)以往的經(jīng)驗知道，纖維的抗拉強度受棉花在纖維中所占的比例大小影響,若已知含棉量在10%-40%之間為允許取值范圍,因此工程師決定檢驗棉花百分

15、率為五個水平的樣本,分別是15%,20%,25%,30%,35% ,對每個水平進行五次實驗。測試結(jié)果如下：,抗拉強度實驗數(shù)據(jù)(ib/in2),試利用LSD 進行多重比較 ，a=0.05,已知:,查t分布表:,（二）多重極差檢驗法（Duncan）,首先,將被考察因素的 k 個處理平均值按遞增順序排列,計算 每一個平均值的標準誤差,其次,計算最小顯著極差DRp,P=2,3, ,k,式中: 由Duncan的顯著極差表可得, a是顯著水平, 是 誤差自由度,最后,比較判斷. 將最大平均值對最小的平均值的差與最小顯著極差 DRk 進行比較；進而，計算最大的與第二最小的平均值之差與最小顯著差異DRk-1進行比較，直到所有的平均值都與最大平均值比較過為止；第二大平均值與最小平均值之差與最小顯著差異DRk-1 進行比較，重復過程。直到所有k(k-1)/2個配對被考慮為止。,已知:,Duncan法實例,查表：當自由度為20， a=0.05時,最小顯著極差:DRk分別:,（二）Tuckey（T 法）,適用于被考察的因素,其實驗條件下重復次數(shù)相等的場合,法檢驗的檢驗臨界值為a,k被檢驗的因素水平個數(shù),-誤差平方和的自由度,m每個水平下的重復數(shù),當 TIJTa時，差異顯著，否則不顯著,Tuckey法實例,（二）多重比較（Scheffe）S法,可用于比較處理均值之間的任意一個或所