2[1]4弦切角的性質(zhì)

1、觀 察,在圖（）中，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)， 有,在圖（）中，是切線時， 仍成立嗎？,（）,（）,（）,猜想：ABC是O的內(nèi)接三角形，CE是O切線，則BCE= A.,分析：延用從特殊到一般的思路。先分析ABC為直角三角形時的情形，再將銳角三角形和鈍角三角形的情形化歸為直角三角形的情形。,O,C,O,C,O,C,(1)圓心O在 ABC的邊BC上,證明:,即ABC為直角三角形,A,B,O,C,E,CE為切線，, BCE90 ,又A是半圓上的圓周角，, A90 , BCEA,(2)圓心o在ABC的內(nèi)部,作o的直徑CP,則,O,C,P,PCE= PAC= 90 ,BCE= PCE-PCB = 90-PC

2、B.,BAC= PAC-PAB = 90-PAB.,而PAB= PCB,BCE= BAC,(3)圓心0在ABC的外部,作O的直徑CP,那么,O,C,P,PCE= PAC= 90 ,BCE= PCE+PCB = 90+PCB.,BAC= PAC+PAB = 90+PAB.,而PAB= PCB,BCE= BAC,綜上所述， 猜想成立。,A,A,A,A,A,B,B,B,B,B,C,C,C,C,C,下面五個圖中的BAC是不是弦切角？,1.弦切角:頂點在圓上，一邊與圓相交，另一邊與圓相切的角叫做弦切角。,幾何語言:,BA切O于A AC是圓O的弦,2.弦切角定理,弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。,BAC

3、= ADC,m,例1.如圖已知AB是O的直徑,AC是弦,直線CE和O切于點C,ADCE,垂足為D.求證:AC平分BAD.,O,A,B,C,D,E,1,2,思路一:,思路二:,連結(jié)OC,由切線性質(zhì),可得OCAD,于是有2=3,又由于1=3,可證得1=2,O,A,B,C,D,E,3,1,2,1.弦切角:頂點在圓上，一邊與圓相交， 另一邊與圓相切的角。,一般情況下，弦切角、圓周角、圓心角都是通過它們所夾的（或所對的）同一條弧（或等?。┞?lián)系起來，因此，當(dāng)已知有切線時常添線構(gòu)建弦切角或添切點處的半徑應(yīng)用切線的性質(zhì)求解。,2.弦切角定理: 弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角.,小結(jié)：,注意：,習(xí)題2.4,1

4、.如圖，經(jīng)過圓上的點T的切線和弦AB的延長線相交于點C。 求證：ATC=TBC,2.如圖，O和O都經(jīng)過A,B點，AC是O的切線，交O于點C,AD是O的切線，交O于點D,求證：AB=BCBD,A,C,T,B,問題1：四邊形ACBD為O的內(nèi)接四邊形，AB是直徑，CDAB，圖中有哪些直角三角形？有哪些相等的線段？有哪些相等的弧？有哪些相等的角？有哪些相似三角形（包括全等）？,相交弦定理:圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。,推論:如果弦與直徑垂直相交時,那么弦的一半是它分直徑所成兩線段的比例中項。,PAPB=PCPD,PC2 = PAPB,例1.如圖:O的弦AB、CD相交于點P,PA=

5、8,PB=9,（1）若PC=4，則PD= ，CD= 。,（4）若CD=18(PCPD)，則PC= ，PD= 。,（3）若PC:PD=2:3，則PC= ，PD= 。,（2）若PC=PD，則CD= 。,D,8,9,18,22,12,6,例2、已知AB是O的弦，P是AB上一點，AB=11，PA=3，OP=5，求O的半徑。,C,D,例3、已知：點C為AB的中點，點D為弦AB的中點，CD=1，AB=6，求O的直徑。,E,例4、如圖：O1和O2相交于A、B兩點，直線CF交弦AB于P，分別交O1于C、D，交O2于E、F，求證：PCPD=PEPF,例5、如圖：已知ABC中，以BC為直徑的O分別交AB、AC于F、E，ADBC，垂足為D，AD交O于G，交BE于