奧數(shù)：7-7容斥原理

1、7-7容斥原理教學(xué)目標(biāo)1. 了解容斥原理二量重疊和三量重疊的內(nèi)容；2. 掌握容斥原理的在組合計(jì)數(shù)等各個(gè)方面的應(yīng)用.啟雌 知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)說明一、兩量重疊問題在一些計(jì)數(shù)問題中，經(jīng)常遇到有關(guān)集合元素個(gè)數(shù)的計(jì)算求兩個(gè)集合并集的元素的個(gè)數(shù)，不能簡(jiǎn)單地 把兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)相加，而要從兩個(gè)集合個(gè)數(shù)之和中減去重復(fù)計(jì)算的元素個(gè)數(shù)，即減去交集的元素個(gè) 數(shù)，用式子可表示成： A B =A B A B（其中符號(hào)“ ”讀作“并”，相當(dāng)于中文“和”或者“或” 的意思；符號(hào)“ ”讀作“交”，相當(dāng)于中文“且”的意思.）則稱這一公式為包含與排除原理，簡(jiǎn)稱容斥 原理圖示如下：A表示小圓部分， B表示大圓部分， C表示大圓與小圓

2、的公共部分，記為：A B，即陰影面積圖示如下：A表示小圓部分，B表示大圓部分，C表示大圓與小圓的公共部分，記為：A B ,即陰影面積.先包含 A-B重疊部分A B計(jì)算了 2次，多加了 1次;2 再排除A + BaDb把多加了 1次的重疊部分 APlB減去.包含與排除原理告訴我們，要計(jì)算兩個(gè)集合A B的并集A B的元素的個(gè)數(shù)，可分以下兩步進(jìn)行:第一步：分別計(jì)算集合A、B的元素個(gè)數(shù)，然后加起來,即先求A - B（意思是把 A B的一切元素都“包含”進(jìn)來，加在一起）；第二步：從上面的和中減去交集的元素個(gè)數(shù)，即減去C = A B（意思是“排除”了重復(fù)計(jì)算的元素個(gè)數(shù) ）.二、三量重疊問題A類、B類與C類

3、元素個(gè)數(shù)的總和 二A類元素的個(gè)數(shù)類元素個(gè)數(shù) C類元素個(gè)數(shù)-既是A類又是B 類的元素個(gè)數(shù) -既是B類又是C類的元素個(gè)數(shù)-既是A類又是C類的元素個(gè)數(shù)同時(shí)是A類、B類、C類 的元素個(gè)數(shù).用符號(hào)表示為： A B C=A，BC-A B-B C-A C A B C .圖示如下：圖中小圓表示 A的元素的個(gè)數(shù)，中圓表示 B的元素的個(gè)數(shù), 大圓表示C的元素的個(gè)數(shù).ABCA B、B C、C A重疊了 2次，多加了 1次.ABC_A B_B C_A CABC重疊了 3次，但是在進(jìn)行 ABC-1.先包含：重疊部分2再排除：重疊部分A BB C-A C計(jì)算時(shí)都被減掉了.再包含：A B C_A B_B C_A C A B

4、 C .在解答有關(guān)包含排除問題時(shí)，我們常常利用圓圈圖（韋恩圖）來幫助分析思考.WUlig例題精講板塊一、兩量重疊問題【例1】 兩張長(zhǎng)4厘米，寬2厘米的長(zhǎng)方形紙擺放成如圖所示形狀把它放在桌面上，覆蓋面積有多少 平方厘米？【解析】?jī)蓚€(gè)長(zhǎng)方形如圖擺放時(shí)出現(xiàn)了重疊（見圖中的陰影部分、），重疊部分恰好是邊長(zhǎng)為 2厘米的正方形，如果利用兩個(gè)4X2的長(zhǎng)方形面積之和來計(jì)算被覆蓋桌面的面積，那么重疊部分在兩個(gè)長(zhǎng)方形面積中各被計(jì)算了一次，而實(shí)際上這部分只需計(jì)算一次就可以了所以，被覆蓋面積二長(zhǎng)方形面積之和-重疊部分.于是，被覆蓋面積 =4 2 2 -2 2=12（平方厘米）.【鞏固】 把長(zhǎng)38厘米和53厘米的兩根鐵

5、條焊接成一根鐵條已知焊接部分長(zhǎng)4厘米，焊接后這根鐵條有多長(zhǎng)？【解析】因?yàn)楹附硬糠譃閮筛F條的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后這根鐵條長(zhǎng) 38 53 -4 =87（厘米）.【鞏固】 把長(zhǎng)23厘米和37厘米的兩根鐵條焊接成一根鐵條已知焊接部分長(zhǎng)3厘米，焊接后這根鐵條有多長(zhǎng)？【解析】 焊接部分為兩根鐵條的重合部分，由包含排除法知，焊接后這根鐵條長(zhǎng)：23 3 57（厘米）.CAB【例2】 實(shí)驗(yàn)小學(xué)四年級(jí)二班， 參加語(yǔ)文興趣小組的有 28人，參加數(shù)學(xué)興趣小組 的有29人，有12人兩個(gè)小組都參加. 這個(gè)班有多少人參加了語(yǔ)文或數(shù)學(xué) 興趣小組？【解析】如圖所示，A圓表示參加語(yǔ)文興趣小組的人，B圓表示參加

6、數(shù)學(xué)興趣小組的人，A與B重合的部分C（陰影部分）表示同時(shí)參加兩個(gè)小組的人.圖中A圓不含陰影的部分表示只參加語(yǔ)文興趣小組未參加數(shù)學(xué)興趣小組的人，有28 -12 =16（人）；圖中B圓不含陰影的部分表示只參加數(shù)學(xué)興趣小組未參加語(yǔ)文興趣小組的 人，有 29 -12 =17（人）.方法一：由此得到參加語(yǔ)文或數(shù)學(xué)興趣小組的有：16 12/7 =45（人）.方法二：根據(jù)包含排除法，直接可得：參加語(yǔ)文或數(shù)學(xué)興趣小組的人二參加語(yǔ)文興趣小組的人參加數(shù)學(xué)興趣小組的人一兩個(gè)小組都參加的人，即：28 29 _12 =45 （人）.【鞏固】【解析】【例3】【解析】【鞏固】【解析】【鞏固】【解析】【鞏固】 【解析】芳草地

7、小學(xué)四年級(jí)有 58人學(xué)鋼琴，43人學(xué)畫畫，37人既學(xué)鋼琴又學(xué)畫畫，問只學(xué)鋼琴和只學(xué)畫畫的分別有多少人？解包含與排除題，畫圖是一種很直觀、簡(jiǎn)捷的方法，可以幫助解決問題， 畫圖時(shí)注意把不同的對(duì)象與不同的區(qū)域?qū)?yīng)清楚.建議教師幫助學(xué)生畫 圖分析，清楚的分析每一部分的含義.如圖，A圓表示學(xué)畫畫的人， B圓表示學(xué)鋼琴的人， C表示既學(xué)鋼琴又 學(xué)畫畫的人，圖中A圓不含陰影的部分表示只學(xué)畫畫的人，有：43 -37 =6 （人），圖中B圓不含陰影的部分表示只學(xué)鋼琴的人，有：58 -37 = 21（人）.一個(gè)班48人，完成作業(yè)的情況有三種：一種是完成語(yǔ)文作業(yè)沒完成數(shù)學(xué)作業(yè)；一種是完成數(shù)學(xué)作業(yè)沒完成語(yǔ)文作業(yè)；一種

8、是語(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成了已知做完語(yǔ)文作業(yè)的有37人；做完數(shù)學(xué)作業(yè)的有42人這些人中語(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成的有多少人? 不妨用下圖來表示：蠱成數(shù)學(xué)柞業(yè)的人數(shù)DB表示做完數(shù)學(xué)作業(yè)的人數(shù),線段AB表示全班人數(shù)，線段 AC表示做完語(yǔ)文作業(yè)的人數(shù)，線段 重疊部分DC則表示語(yǔ)文、數(shù)學(xué)都做完的人數(shù).根據(jù)題意，做完語(yǔ)文作業(yè)的有37人，即AC =37 做完數(shù)學(xué)作業(yè)的有 42人，即DB-42 .AC DB =37 42 =79 （人） AB=48（人）式減式，就有 DC =79 -48 =31 （人） 所以，數(shù)學(xué)、語(yǔ)文作業(yè)都做完的有 31人.四年級(jí)科技活動(dòng)組共有 63人在一次剪貼汽車模型和裝配飛機(jī)模型的定時(shí)科技活動(dòng)

9、比賽中，老師到時(shí)清點(diǎn)發(fā)現(xiàn)：剪貼好一輛汽車模型的同學(xué)有42人，裝配好一架飛機(jī)模型的同學(xué)有34人每個(gè)同學(xué)都至少完成了一項(xiàng)活動(dòng)問：同時(shí)完成這兩項(xiàng)活動(dòng)的同學(xué)有多少人？因42 *34=76 , 7663，所以必有人同時(shí)完成了這兩項(xiàng)活動(dòng)由于每個(gè)同學(xué)都至少完成了一項(xiàng)活動(dòng)，根據(jù)包含排除法知，42 *34-（完成了兩項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù)）=全組人數(shù)，即76-（完成了兩項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù)）=63 .由減法運(yùn)算法則知，完成兩項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù)為76 -63 =13（人）.也可畫圖分析.實(shí)驗(yàn)二校一個(gè)歌舞表演隊(duì)里，能表演獨(dú)唱的有10人，能表演跳舞的有 18人，兩種都能表演的有7人這個(gè)表演隊(duì)共有多少人能登臺(tái)表演歌舞？根據(jù)包含排除法，這個(gè)表演

10、隊(duì)能登臺(tái)表演歌舞的人數(shù)為：10 78-7=21（人）.某班組織象棋和軍棋比賽，參加象棋比賽的有32人，參加軍棋比賽的有28人，有18人兩項(xiàng)比賽都參加了，這個(gè)班參加棋類比賽的共有多少人?如圖，A圓表示參加象棋比賽的人，B圓表示參加軍棋比賽的人，A與B重合的部分表示同時(shí)參加兩項(xiàng)比賽的人圖中A圓不含陰影的部分表示只參加象棋比賽不參加軍棋比賽的人，有32-18 14（人）；圖中B圓不含陰影的部分表示只參加軍棋比賽不參加象棋比賽的人，有2818=10（人）由此得到參加棋類比賽的人有14 18-10=42（人）.或者根據(jù)包含排除法直接得：32 - 28 _18 =42（人）【例4】（第二屆小學(xué)迎春杯數(shù)學(xué)競(jìng)

11、賽 ）有100位旅客，其中有10人既不懂英語(yǔ)又不懂俄語(yǔ)，有 75人懂英 語(yǔ)，83人懂俄語(yǔ).問既懂英語(yǔ)又懂俄語(yǔ)的有多少人？【解析】方法一：在100人中懂英語(yǔ)或俄語(yǔ)的有：10010=90（人）.又因?yàn)橛?5人懂英語(yǔ)，所以只懂俄語(yǔ)的有：90 _75 =15（人）.從83位懂俄語(yǔ)的旅客中除去只懂俄語(yǔ)的人，剩下的83 _1568（人）就是既懂英語(yǔ)又懂俄語(yǔ)的旅客.方法二：學(xué)會(huì)把公式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q，由包含與排除原理，得：A B=A BA B =75 83 -90 =68（人）.【鞏固】47名學(xué)生參加數(shù)學(xué)和語(yǔ)文考試，其中語(yǔ)文得分95分以上的14人，數(shù)學(xué)得分95分以上的21人，兩門都不在95分以上的有22人.問

12、：兩門都在 95分以上的有多少人？【解析】如圖，用長(zhǎng)方形表示這47名學(xué)生，A圓表示語(yǔ)文得分95分以上的人 數(shù)，B圓表示數(shù)學(xué)得95分以上的人數(shù)， A與B重合的部分表示兩門 都在95分以上的人數(shù)，長(zhǎng)方形內(nèi)兩圓外的部分表示兩門都不在95分以上的人數(shù).由圖中可以看出，全體人數(shù)是至少一門在95分以上的人數(shù)與兩門都不在95分以上的人數(shù)之和，則至少一門在95分以上的人數(shù)為：47 -22 =25 （人）.根據(jù)包含排除法，兩門都在 95分以上的人數(shù)為： 14 21 -25 =10（人）.【鞏固】 某班共有46人，參加美術(shù)小組的有12人，參加音樂小組的有23人，有5人兩個(gè)小組都參加了. 這 個(gè)班既沒參加美術(shù)小組也

13、沒參加音樂小組的有多少人？【解析】已知全班總?cè)藬?shù)，從反面思考，找出參加美術(shù)或音樂小組的人數(shù)，只需用全班總?cè)藬?shù)減去這個(gè)人 數(shù)，就得到既沒參加美術(shù)小組也沒參加音樂小組的人數(shù).根據(jù)包含排除法知，該班至少參加了一 個(gè)小組的總?cè)藬?shù)為12 23 -5 =30 （人）.所以，該班未參加美術(shù)或音樂小組的人數(shù)是 46 -30 =16（人）.【鞏固】四年級(jí)一班有45人，其中26人參加了數(shù)學(xué)競(jìng)賽，22人參加了作文比賽，12人兩項(xiàng)比賽都參加了.一班有多少人兩項(xiàng)比賽都沒有參加？【解析】由包含排除法可知，至少參加一項(xiàng)比賽的人數(shù)是：26 - 22 -12 =36 （人），所以，兩項(xiàng)比賽都沒有參加的人數(shù)為：45 -36 =9

14、 （人）.【鞏固】 某次英語(yǔ)考試由兩部分組成，結(jié)果全班有12人得滿分，第一部分有25人做對(duì)，第二部分有19人有錯(cuò)，問兩部分都有錯(cuò)的有多少人？【解析】如圖，用長(zhǎng)方形表示參加考試的人數(shù)，A圓表示第一部分對(duì)的人數(shù).B圓表示第二部分對(duì)的人數(shù)，長(zhǎng)方形中陰影部分表示兩部分都有錯(cuò)的人數(shù).已知第一部分對(duì)的有 25人，全對(duì)的有12人，可知只對(duì)第一部分的有：25 -12 =13（人）.又因?yàn)榈诙糠钟?19人有錯(cuò)，其中第一部分對(duì)第 二部分有錯(cuò)的有13人，那么余下的19-13=6（人）必是第一部分和第 二部分均有錯(cuò)的，兩部分都有錯(cuò)的有6人.【鞏固】 對(duì)全班同學(xué)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，會(huì)游泳的有20人，會(huì)打籃球的有25人.兩項(xiàng)都會(huì)

15、的有10人，兩項(xiàng)都不會(huì)的有9人.這個(gè)班一共有多少人?【解析】如圖，用長(zhǎng)方形表示全班人數(shù)，A圓表示會(huì)游泳的人數(shù)，B圓表示會(huì)打籃球的人數(shù)，長(zhǎng)方形中陰影部分表示兩項(xiàng)都不會(huì)的人數(shù).由圖中可以看出，全班人數(shù) 二至少會(huì)一項(xiàng)的人數(shù) 兩項(xiàng)都不會(huì)的人數(shù)，至少會(huì)一項(xiàng)的人數(shù)為：2025_10=35（人），全班人數(shù)為：35 7=44 （人）.【例5】 在46人參加的采摘活動(dòng)中，只采了櫻桃的有18人，既采了櫻桃又采了杏的有 7人，既沒采櫻桃又沒采杏的有6人，問：只采了杏的有多少人？【解析】如圖，用長(zhǎng)方形表示全體采摘人員46人，A圓表示采了櫻桃的人數(shù)，B圓表示采了杏的人數(shù). 長(zhǎng)方形中陰影部分表示既沒采櫻 桃又沒采杏的人數(shù)

16、.由圖中可以看出，全體人員是至少采了一種的人數(shù)與兩種都沒采 的人數(shù)之和，則至少采了一種的人數(shù)為：46 _6 =40（人），而至少采了一種的人數(shù) 二只采了櫻桃的人數(shù) 兩種都采了的人數(shù) 只采了杏的人數(shù)，所以，只采了杏的人數(shù)為：40 _18 7 =15（人）.【例6】甲、乙、丙三個(gè)小組學(xué)雷鋒，為學(xué)校擦玻璃，其中68塊玻璃不是甲組擦的，52塊玻璃不是乙組擦的，且甲組與乙組一共擦了60塊玻璃那么，甲、乙、丙三個(gè)小組各擦了多少塊玻璃？【解析】68塊玻璃不是甲組擦的，說明這68塊玻璃是乙、丙兩組擦的；52塊玻璃不是乙組擦的，說明這52塊玻璃是甲、丙兩組擦的.如圖，用圓A表示乙、丙兩組擦的 68塊玻璃，B圓表

17、示甲、丙兩組擦的 52塊玻璃.因甲乙兩組 共擦了 60塊玻璃，那么68 52 -660（塊），這是兩個(gè)丙組擦的玻璃數(shù).60-：-2=30（塊）.丙組擦了 30塊玻璃.乙組擦了：68 30 =38（塊）玻璃，甲組擦了：52 30 =22（塊）玻璃.【鞏固】 育才小學(xué)畫展上展出了許多幅畫，其中有16幅畫不是六年級(jí)的，有 15幅畫不是五年級(jí)的，五、六年級(jí)共展出25幅畫，其他年級(jí)的畫共有多少幅？【解析】 通過16幅畫不是六年級(jí)的可以知道，五年級(jí)和其他年級(jí)的畫作數(shù)量之和是16,通過15幅畫不是五年級(jí)的可以知道六年級(jí)和其他年級(jí)的畫作數(shù)量之和是15,那也就是說五年級(jí)的畫比六年級(jí)多1幅，我們還知道五、六年級(jí)共

18、展出25幅畫，進(jìn)而可以求出五年級(jí)畫作有13幅，六年級(jí)畫作有12幅，那么久可以求出其他年級(jí)的畫作共有3幅.【例7】一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)，甲答錯(cuò)題目總數(shù)的1，乙答錯(cuò)3道題，兩人都答錯(cuò)的題目是題目總數(shù)的。求甲、46乙都答對(duì)的題目數(shù)【解析】（法一）設(shè)共有n道題。由右圖知d即為所求，并有關(guān)系式Tc b =3(2)吒由知,n是4和6的公倍數(shù)，即12的倍數(shù)。將代入，有b = 3 _n ,6由于b是非負(fù)整數(shù)，所以n=12,由此求出c=2, b=1, a=1.又由a+b+c+d=n,得到d=n- （a+b+c）=8（法二）顯然兩人都答錯(cuò)的題目不多于3道，所以題目總數(shù)只可能是6、12、18,其中只有12,能使甲答錯(cuò)題目總

19、數(shù)是整數(shù)【例8】 在1100的全部自然數(shù)中，不是 3的倍數(shù)也不是5的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？ 【解析】如圖，用長(zhǎng)方形表示1100的全部自然數(shù)， A圓表示1100中3的倍數(shù)，B圓表示1100中5的倍數(shù)，長(zhǎng)方形內(nèi)兩圓外的部分表示既不是3的倍數(shù)也不是5的倍數(shù)的數(shù).由100-：-3=33T 可知，1100中3的倍數(shù)有33個(gè)；由100-：-5=20可知，1100中5的倍數(shù)有20 個(gè)；由100 - (3 5) = 6- 10可知，1100既是3的倍數(shù)又是5的倍數(shù)的數(shù)有6個(gè).由包含排除法，3或5的倍數(shù)有：3320_6二47(個(gè)).從而不是3的倍數(shù)也不是5的倍數(shù)的數(shù)有 100 -47 =53(個(gè)).【鞏固】 在從1

20、至1000的自然數(shù)中，既不能被 5除盡，又不能被7除盡的數(shù)有多少個(gè)？【解析】11000之間，5的倍數(shù)有1000 =200個(gè)，7的倍數(shù)有1000 =142個(gè)，因?yàn)榧仁?的倍數(shù)，又1 57是7的倍數(shù)的數(shù)一定是 35的倍數(shù)，所以這樣的數(shù)有1000 =28個(gè).1 35所以既不能被5除盡，又不能被 7除盡的數(shù)有1000-200-142+-28=686個(gè).【鞏固】 求在1至100的自然數(shù)中能被3或7整除的數(shù)的個(gè)數(shù)?！窘馕觥坑汚 : 1100中3的倍數(shù)，103=33 1，有33 個(gè);B: 1 100 中 7 的倍數(shù)，100 7 二14 2，有 14 個(gè);A B : 1100中3和7的公倍數(shù)，即21的倍數(shù)，1

21、021=416，有4個(gè)。依據(jù)公式，1100中3的倍數(shù)或7的倍數(shù)共有33T4-4 = 43個(gè)，則能被3或7整除的數(shù)的個(gè)數(shù) 為43個(gè).【鞏固】50名同學(xué)面向老師站成一行老師先讓大家從左至右按1, 2, 3，49, 50依次報(bào)數(shù)；再讓報(bào)數(shù)是4的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)，接著又讓報(bào)數(shù)是6的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn).問：現(xiàn)在面向老師的同學(xué)還有多少名？【解析】在轉(zhuǎn)過兩次后，面向老師的同學(xué)分成兩類：第一類是標(biāo)號(hào)既不是 4的倍數(shù)，又不是6的倍數(shù)；第二類是標(biāo)號(hào)既是4的倍數(shù)又是6的倍數(shù).150之間，4的倍數(shù)有50 =12,6的倍數(shù)有50 =8,即是4的倍數(shù)又是6的倍數(shù)的數(shù)146一定是12的倍數(shù)，所以有50 =4.于是，第一類同學(xué)

22、有50-12-8+4=34人，第二類同學(xué) H-12有4人，所以現(xiàn)在共有34+4=38名同學(xué)面向老師.【鞏固】 在游藝會(huì)上，有100名同學(xué)抽到了標(biāo)簽分別為1至100的獎(jiǎng)券按獎(jiǎng)券標(biāo)簽號(hào)發(fā)放獎(jiǎng)品的規(guī)則如下：(1) 標(biāo)簽號(hào)為2的倍數(shù)，獎(jiǎng)2支鉛筆；(2) 標(biāo)簽號(hào)為3的倍數(shù)，獎(jiǎng)3支鉛筆；(3) 標(biāo)簽號(hào)既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)可重復(fù)領(lǐng)獎(jiǎng)；(4) 其他標(biāo)簽號(hào)均獎(jiǎng) 1支鉛筆.那么游藝會(huì)為該項(xiàng)活動(dòng)準(zhǔn)備的獎(jiǎng)品鉛筆共有多少支？【解析】1100，2的倍數(shù)有I00 =50，3的倍數(shù)有100 =33個(gè)，因?yàn)榧仁?的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)的 IL 2IL 3數(shù)一定是6的倍數(shù)，所以標(biāo)簽為這樣的數(shù)有I00 =16個(gè)于是，既不是2的

23、倍數(shù)，又不是3的IL 650倍數(shù)的數(shù)在1100中有100-50-33+16=33 .所以，游藝會(huì)為該項(xiàng)活動(dòng)準(zhǔn)備的獎(jiǎng)品鉛筆共有:X 2+33X 3+33X 1=232 支.板塊二、三量重疊問題34人，手中有黃旗的【例9】 某班學(xué)生手中分別拿紅、黃、藍(lán)三種顏色的小旗，已知手中有紅旗的共有共有26人，手中有藍(lán)旗的共有18人.其中手中有紅、黃、藍(lán)三種小旗的有6人.而手中只有紅、黃兩種小旗的有9人，手中只有黃、藍(lán)兩種小旗的有 4人，手中只有紅、藍(lán)兩種小旗的有3人,那么這個(gè)班共有多少人？【解析】如圖，用A圓表示手中有紅旗的，B圓表示手中有黃旗的，C圓表示手中有藍(lán)旗的.如果用手中有紅旗的、有黃旗的與有藍(lán)旗的

24、相加，發(fā)現(xiàn)手中只 有紅、黃兩種小旗的各重復(fù)計(jì)算了一次，應(yīng)減去，手中有三種顏色小旗的 重復(fù)計(jì)算了二次，也應(yīng)減去，那么，全班人數(shù)為：（34 26 18）49 4 3 - 6 2 =50（人）.【鞏固】 某班有42人，其中26人愛打籃球，17人愛打排球，19人愛踢足球，9人既愛打籃球又愛踢足球， 4人既愛打排球又愛踢足球，沒有一個(gè)人三種球都愛好，也沒有一個(gè)人三種球都不愛好問：既 愛打籃球又愛打排球的有幾人？【解析】由于全班42人沒有一個(gè)人三種球都不愛好，所以全班至少愛好一種球的有42人根據(jù)包含排除法，42 =（26 17 19）（9 4 -既愛打籃球又愛打排球的人數(shù)） 0 ,得到既愛打籃球又愛打排球

25、的人數(shù)為：49 42 =7（人）.【例10】四年級(jí)一班有46名學(xué)生參加3項(xiàng)課外活動(dòng)其中有 24人參加了數(shù)學(xué)小組，20人參加了語(yǔ)文小 組，參加文藝小組的人數(shù)是既參加數(shù)學(xué)小組也參加文藝小組人數(shù)的3. 5倍，又是3項(xiàng)活動(dòng)都參加人數(shù)的7倍，既參加文藝小組也參加語(yǔ)文小組的人數(shù)相當(dāng)于3項(xiàng)都參加的人數(shù)的 2倍，既參加數(shù)學(xué)小組又參加語(yǔ)文小組的有10人求參加文藝小組的人數(shù).【解析】設(shè)參加數(shù)學(xué)小組的學(xué)生組成集合A,參加語(yǔ)文小組的學(xué)生組成集合B,參加文藝小組的學(xué)生組成集合G.三者都參加的學(xué)生有z人.有|AUBUq=46 , |A =24 , |耳=20 , 口 =3.5 , 爪九|=7卜血化|,舊比|=2帆比|,

26、|a“b|=10.因?yàn)閨aUbUc = a +|b + c - ab|- ac - bnq +|a“bc,所以 46=24+20+7x-10-2x-2x+x，解得 x=3,即三者的都參加的有 3人.那么參加文藝小組的有3 7=21人.【鞏固】 五年級(jí)三班學(xué)生參加課外興趣小組，每人至少參加一項(xiàng).其中有25人.-B參加自然興趣小組，35人參加美術(shù)興趣小組，27人參加語(yǔ)文興趣小組，A參加語(yǔ)文同時(shí)又參加美術(shù)興趣小組的有12人，參加自然同時(shí)又參加美色 yC語(yǔ)丈術(shù)興趣小組的有8人，參加自然同時(shí)又參加語(yǔ)文興趣小組的有9人，語(yǔ)文、美術(shù)、自然3科興趣小組都參加的有 4人.求這個(gè)班的學(xué)生人數(shù).【解析】設(shè)參加自然興

27、趣小組的人組成集合A,參加美術(shù)興趣小組的人組成集合日，參加語(yǔ)文興趣小組的人組成集合C.IA =25, ib =35, q=27, |iq=12, Iab =8, |iq=9,|i=4.|aUbUc|= a + B +|C- A-AC - BaC+AaBC.所以，這個(gè)班中至少參加一項(xiàng)活動(dòng)的人有25+35+27-12-8-9+4=62，而這個(gè)班每人至少參加一項(xiàng).即這個(gè)班有62人.【鞏固】 五年級(jí)三班有46名學(xué)生參加三項(xiàng)課外活動(dòng)，其中24人參加了繪畫小組，20人參加了合唱小組，參加朗誦小組的人數(shù)是既參加繪畫小組又參加朗誦小組人數(shù)的3.5倍，又是三項(xiàng)活動(dòng)都參加人數(shù)的 7倍，既參加朗誦小組又參加合唱小組

28、的人數(shù)相當(dāng)于三項(xiàng)都參加人數(shù)的2倍，既參加繪畫小組又參加合唱小組的有10人，求參加朗誦小組的人數(shù)?！窘馕觥?設(shè)三項(xiàng)都參加的人數(shù)有X人，則參加朗誦小組的人數(shù)為7X人，參加繪畫小組又參加朗誦小組的人數(shù)為2X人，參加朗誦小組又參加合唱小組的人數(shù)為2X人，于是有46=（24+20+7X-2X-2X-10+X ），解得X=3,所以參加朗誦小組的人數(shù)為 21人。BA10C【例11】三個(gè)面積均為50平方厘米的圓紙片放在桌面上（如圖），三個(gè)紙片共同重疊的面積是10平方厘米三個(gè)紙片蓋住桌面的總面積是100厘米問：圖中陰影部分面積之和是多少？【解析】 將圖中的三個(gè)圓標(biāo)上 A、B、C 根據(jù)包含排除法，三個(gè)紙片蓋住桌面

29、的總 面積=（A圓面積圓面積 Q圓面積）一（A與B重合部分面積與C重合部分面積與C重合部分面積 ）三個(gè)紙片共同重疊的面積，得：100 = （50 50 50 -（ A與B重合部分面積A與C重合部分面積B與C重合部分面積）*10，得到A、B、C三個(gè)圓兩兩重合面積之和為：160 100 =60平方厘米，而這個(gè)面積對(duì)應(yīng)于圓上的那三個(gè)紙片共同重疊的面積的三倍與陰影部分面積的和，即: 60 =10 3陰影部分面積，則陰影部分面積為：60 -30 =30 （平方厘米）【鞏固】如圖，已知甲、乙、丙 3個(gè)圓的面積均為 30,甲與乙、乙與丙、甲與丙重合部 分的面積分別為 6, 8, 5，而3個(gè)圓覆蓋的總面積為

30、73求陰影部分的面積.【解析】設(shè)甲圓組成集合 A,乙圓組成集合 B,丙圓組成集合 C.A = B = C =30, |aGb|=6, |bQc|=8, |AGq=5, | aUbUc|=73, 而 aUbUc| = a + b c |aCb卜|Bnq_|ADq+|Aa bc .有73=30 X 3-6-8-5+，即卜門BPiq=2,即甲、乙、丙三者的公共面積（部分面積）為2.那么只是甲與乙（），乙與丙（），甲與丙（）的公共的面積依次為 6-2=4 , 8-2=6 , 5-2=3 ,所以有陰影部分（、部分之和）的面積為73-4-6-3-2=58 .【例12】如圖，三角形紙板、正方形紙板、圓形紙板

31、的面積相等，都等于60平方厘米.影部分的面積總和是 40平方厘米，3張板蓋住的總面積是100平方厘米，紙板重疊部分的面積是多少平方厘米？【解析】陰影部分是有兩塊重疊的部分，被計(jì)算兩次，而三張紙重疊部分是被計(jì)算了三次所以三張紙重疊部分的面積（60 3 -100 -40） 2 =20（平方厘米）.【鞏固】如圖所示，A、B、C分別是面積為12、28、16的三張不同形狀的紙片，它們重疊在一起，露8、7 , A、B、C這三張?jiān)谕饷娴目偯娣e為38 若A與B、B與C的公共部分的面積分別為 紙片的公共部分為 3 求A與C公共部分的面積是多少？【解析】設(shè)A與C公共部分的面積為 x，由包含與排除原理可得： 先“包

32、含”：把圖形 A、B、C的面積相加：12 28 *16=56，那么 每?jī)蓚€(gè)圖形的公共部分的面積都重復(fù)計(jì)算了1次，因此要排除掉. 再“排除”：56-8-7-x，這樣一來，三個(gè)圖形的公共部分被全部減 掉，因此還要再補(bǔ)回. 再“包含”：56-8-7-x，這就是三張紙片覆蓋的面積.根據(jù)上面的分析得：56 -8 -7 -x 3 =38，解得：x =6 .【例13】在某個(gè)風(fēng)和日麗的日子，10個(gè)同學(xué)相約去野餐， 每個(gè)人都帶了吃的， 其中6個(gè)人帶了漢堡，6個(gè) 人帶了雞腿，4個(gè)人帶了芝士蛋糕，有 3個(gè)人既帶了漢堡又帶了雞腿，1個(gè)人既帶了雞腿又帶了芝士蛋糕.2個(gè)人既帶了漢堡又帶了芝土蛋糕問： 三種都帶了的有幾人?

33、只帶了一種的有幾個(gè)?【解析】【鞏固】【解析】【例1【鞏固】【鞏固】【解析】【鞏固】【解析】如圖，用A圓表示帶漢堡的人，B圓表示帶雞腿的人，C圓表示帶芝士蛋糕的人. 根據(jù)包含排除法，總?cè)藬?shù)（帶漢堡的人數(shù)帶雞腿的人數(shù)帶芝士蛋 糕的人數(shù)）一（帶漢堡、雞腿的人數(shù) 帶漢堡、芝士蛋糕的人數(shù)帶雞腿、芝士蛋糕的人數(shù)廠三種都帶了的人數(shù)，即 10 -（6 6 -4 -（3 2 -1 三種都帶了的人數(shù)，得三種都帶了的人數(shù) 為：10_10=0（人）. 求只帶一種的人數(shù)，只需從 10人中減去帶了兩種的人數(shù)，即10 - （3 2 1 = 4（人）.只帶了一種的有4人.盛夏的一天，有10個(gè)同學(xué)去冷飲店，向服務(wù)員交了一份需要

34、冷飲的統(tǒng)計(jì)表：要可樂、雪碧、橙汁的各有5人；可樂、雪碧都要的有 3人；可樂、橙汁都要的有 2人；雪碧、橙汁都要的有 2人; 三樣都要的只有1人，證明其中一定有1人這三種飲料都沒有要.根據(jù)根據(jù)包含排除法，至少要了一種飲料的人數(shù)（要可樂的人數(shù)要雪碧的人數(shù)要橙汁的人數(shù)）_（要可樂、雪碧的人數(shù)要可樂、橙汁的人數(shù)要雪碧、橙汁的人數(shù)）三種都要的人數(shù)，即 至少要了一種飲料的人數(shù)為：（5 -5 -5 （3 2 2 *1=9（人）.10_9=1（人），所以其中有1人這三種飲料都沒有要.（2008年西城實(shí)驗(yàn)考題）新年聯(lián)歡會(huì)上，共有90人參加了跳舞、合唱、演奏三種節(jié)目的演出.如果只參加跳舞的人數(shù)三倍于只參加合唱的人

35、數(shù)；同時(shí)參加三種節(jié)目的人比只參加合唱的人少7人；只參加演奏的比同時(shí)參加演奏、跳舞但沒有參加合唱的人多4人；50人沒有參加演奏；10人同時(shí)參加了跳舞和合唱但沒有參加演奏；40人參加了合唱；那么，同時(shí)參加了演奏、合唱但沒有參加跳舞的有人.設(shè)只參加合唱的有x人，那么只參加跳舞的人數(shù)為 3x，由50人沒有參加演奏、10人同時(shí)參加了 跳舞和合唱但沒有參加演奏，得到只參加合唱的和只參加跳舞的人數(shù)和為50-10=40人，即x 3x =40，得x =10，所以只參加合唱的有 10人，那么只參加跳舞的人數(shù)為30人，又由“同時(shí)參加三種節(jié)目的人比只參加合唱的人少7人”，得到同時(shí)參加三項(xiàng)的有 3人，所以參加了合唱的人

36、中“同時(shí)參加了演奏、合唱但沒有參加跳舞的”有：40 -10 -10 -3 =17人.五一班有28位同學(xué)，每人至少參加數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、自然課外小組中的一個(gè)。其中僅參加數(shù)學(xué)與語(yǔ)文小組的人數(shù)等于僅參加數(shù)學(xué)小組的人數(shù)，沒有同學(xué)僅參加語(yǔ)文或僅參加自然小組，恰有6個(gè)同學(xué)參加數(shù)學(xué)與自然小組但不參加語(yǔ)文小組，僅參加語(yǔ)文與自然小組的人數(shù)是3個(gè)小組全參加的人數(shù)的5倍，并且知道3個(gè)小組全參加的人數(shù)是一個(gè)不為0的偶數(shù)，那么僅參加數(shù)學(xué)和語(yǔ)文小組的人有多少人？參加3個(gè)小組的人數(shù)是一個(gè)不為 0的偶數(shù)，如果該數(shù)大于或等于4,那么僅參加語(yǔ)文與自然小組的人數(shù)則大于等于 20,而僅參加數(shù)學(xué)與自然小組的人有6個(gè)，這樣至少應(yīng)有30人，與題

37、意矛盾，所以參加3個(gè)小組的人數(shù)為2。僅參加語(yǔ)文與自然小組的人數(shù)為10,于是僅參加語(yǔ)文與自然、僅參加數(shù)學(xué)與自然和參加3個(gè)小組的人數(shù)一共是 18人，剩下的10人是僅參加數(shù)學(xué)與語(yǔ)文以及僅參加數(shù)學(xué)的。由于這兩個(gè)人數(shù)相等，所以僅參加數(shù)學(xué)和語(yǔ)文小組的有5人。某學(xué)校派出若干名學(xué)生參加體育競(jìng)技比賽，比賽一共只有三個(gè)項(xiàng)目，已知參加長(zhǎng)跑、跳高、標(biāo) 槍三個(gè)項(xiàng)目的人數(shù)分別為 10、15、20人，長(zhǎng)跑、跳高、標(biāo)槍每一項(xiàng)的的參加選手中人中都有五分之一的人還參加了別的比賽項(xiàng)目，求這所學(xué)校一共派出多少人參加比賽？由條件可知，參加長(zhǎng)跑的人中有2人參加其它項(xiàng)目，參加跳高的人中有3人參加其它項(xiàng)目，參加標(biāo)槍的人中有4人還參加別的項(xiàng)目

38、，假設(shè)只參加長(zhǎng)跑和跳高的人數(shù)為x，只參加長(zhǎng)跑和標(biāo)槍的人數(shù)為 y,只參加標(biāo)槍和跳高的有 z人,三項(xiàng)都參加的有 n人.那么有以下方程組：由條件可知，參加長(zhǎng)跑的人中有2人參加其它項(xiàng)目，參加跳高的人中有3人參加其它項(xiàng)目，參加標(biāo)槍的人中有4人還參加別的項(xiàng)目，假設(shè)只參加長(zhǎng)跑和跳高的人數(shù)為x，只參加長(zhǎng)跑和標(biāo)槍的人數(shù)為 y，只參加標(biāo)槍和跳高的有 z人，三項(xiàng)都參加的有 n人.那么有以下方程 組：lxynx zn=2=3將3條等式相加則有 2（x+y+z）+3n=9，由這個(gè)等式可以得到，n必須是奇數(shù)，所以，n只能是1或3、5、7，如果n3時(shí)x、y、z中會(huì)出現(xiàn)負(fù)數(shù).所以n=1,這樣可以求得 x=0, y=1, z=

39、2.由此可得到這個(gè)學(xué)校一共派出了10+15+20-0-1-2-2 X仁40人.將3條等式相加則有 2 （x+y+z ） +3n=9,由這個(gè)等式可以得到，n必須是奇數(shù)，所以，n只能是1或3、5、7，如果n3時(shí)x、y、z中會(huì)出現(xiàn)負(fù)數(shù).所以n=1,這樣可以求得 x=0, y=1 , z=2.由此可得到這個(gè)學(xué)校一共派出了10+15+20-0-1-2-2 X仁40人.【例15】全班有25個(gè)學(xué)生，其中17人會(huì)騎自行車，13人會(huì)游泳，8人會(huì)滑冰，這三個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目沒有人全 會(huì)，至少會(huì)這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)之一的學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)都及格了，但又都不是優(yōu)秀若全班有6個(gè)人數(shù)學(xué)不及格，那么，數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的有幾個(gè)學(xué)生？ 有幾個(gè)人既會(huì)游泳，

40、又會(huì)滑冰？【解析】 有6個(gè)數(shù)學(xué)不及格，那么及格的有：256=19（人），即最多不會(huì)超過19人會(huì)這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)之一.而又因?yàn)闆]人全會(huì)這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，那么，最少也會(huì)有：（17 13 8） 2=19（人）至少會(huì)這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)之一于是，至少會(huì)三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)之一的只能是19人，而這19人又不是優(yōu)秀，說明全班 25人中除了 19人外，剩下的6名不及格，所以沒有數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的. 上面分析可知，及格的19人中，每人都會(huì)兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)：會(huì)騎車的一定有一部分會(huì)游泳，一部分 會(huì)滑冰；會(huì)游泳的人中若不會(huì)騎車就一定會(huì)滑冰，而會(huì)滑冰的人中若不會(huì)騎車就一定會(huì)游泳， 但既會(huì)游泳又會(huì)滑冰的人一定不會(huì)騎自行車.所以，全班有19 -17 =2 （人）既會(huì)

41、游泳又會(huì)滑冰.【鞏固】 五年級(jí)一班共有36人，每人參加一個(gè)興趣小組，共有A、B、C、D、E五個(gè)小組，若參加 A組的有15人，參加B組的人數(shù)僅次于 A組，參加C組、D組的人數(shù)相同，參加E組的人數(shù)最少， 只有4人.那么，參加 B組的有人.【解析】 參加B , C , D三組的總?cè)藬?shù)是36-15-4=17（人），C , D每組至少5人，當(dāng)C , D每組6人 時(shí)，B組為5人，不符合題意，所以參加 B組的有17-5-5=7（人）.【例16】以105為分母的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)共有多少個(gè)？它們的和為多少？【解析】 以105為分母的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)的分子與105互質(zhì)，105=3X 5X 7,所以也是求1到105不是3、5、

42、7倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)，3的倍數(shù)有35個(gè)，5的倍數(shù)有21個(gè)，7的倍數(shù)有15個(gè)，15的倍數(shù)有7個(gè)， 21的倍數(shù)有5個(gè)，35的倍數(shù)有3個(gè)，105的倍數(shù)有1個(gè)，所以105以內(nèi)與105互質(zhì)的數(shù)有105-35-21-15+7+5+3-仁48 個(gè)，顯然如果 n與105互質(zhì)，那么（105-n ）與n互質(zhì)，所以以105 為分母的48個(gè)最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)可兩個(gè)兩個(gè)湊成1，所以它們的和為 24.【鞏固】 分母是385的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)有多少個(gè)？并求這些真分?jǐn)?shù)的和【解析】385=5X 7 X 11,不超過385的正整數(shù)中被5整除的數(shù)有77個(gè)；被7整除的數(shù)有55個(gè)；被11整 除的數(shù)有35個(gè)；被77整除的數(shù)有5個(gè)；被35整除的數(shù)有11個(gè)

43、；被55整除的數(shù)有7個(gè)；被385整除的數(shù)有 1個(gè)；最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)的分子可以有385-77-55-35+5+11+7-仁240.對(duì)于某個(gè)分?jǐn)?shù) a/385如果是最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)的話，那么（385-a ） /385也是最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)，所以最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)可以每?jī)蓚€(gè)湊成整數(shù)1所以這些真分?jǐn)?shù)的和為120.【例17】（2008年西城實(shí)驗(yàn)考題）在1至2008這2008個(gè)自然數(shù)中，恰好是 3、5、7中兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)的 數(shù)共有個(gè).【解析】1到2008這2008個(gè)自然數(shù)中，3和5的倍數(shù)有 2008 =133個(gè)，3和7的倍數(shù)有 2008 =95個(gè), IL 15IL 215和7的倍數(shù)有 2008 =57個(gè)，3、5和7的倍數(shù)有=19個(gè).所以

44、，恰好是 3、5、7中兩IL 35 .IL105個(gè)數(shù)的倍數(shù)的共有 133 -19 - 95 -19 - 57 _19 =228個(gè).【鞏固】 有2000盞亮著的電燈，各有一個(gè)拉線開關(guān)控制著，現(xiàn)按其順序編號(hào)為1 ,2, 3，2000，然后將編號(hào)為2的倍數(shù)的燈線拉一下，再將編號(hào)為3的倍數(shù)的燈線拉一下，最后將編號(hào)為5的倍數(shù)的燈線拉一下，三次拉完后，亮著的燈有多少盞？【解析】 三次拉完后，亮著的燈包括不是2、3、5的倍數(shù)的數(shù)以及是 6、10、15的倍數(shù)但不是30的倍數(shù)的數(shù)。12000這2000個(gè)正整數(shù)中，2的倍數(shù)有1000 個(gè)，3的倍數(shù)有 666個(gè)，5的倍數(shù)有400個(gè)，6的倍數(shù)有333個(gè)，10的倍數(shù)有2

45、00個(gè)，15的倍數(shù)有 133個(gè)，30的倍數(shù)有 66個(gè)，亮著的燈一共有 2000-1000-666-400+2 X （333+200+133） -4 X 66=1002 盞。【鞏固】 在從1到1998的自然數(shù)中，能被2整除，但不能被3或7整除的數(shù)有多少 個(gè)？【解析】 a表示取商的整數(shù)部分.例如，7 =3 .要注意的是，符號(hào)與、-、亠符號(hào)一樣，也是一種運(yùn)算，叫取整運(yùn)算.本題中，先求出能被 2整除的數(shù)有多少個(gè)，再分別求出能被 2和3、能被2 和7分別整除的數(shù)的個(gè)數(shù)，那么用能被 2整除的數(shù)的個(gè)數(shù)減去能被 2和3 整除的數(shù)的個(gè)數(shù)，再減去能被 2和7整除的數(shù)的個(gè)數(shù)，所得的差是不是所求的得數(shù)呢？仔細(xì)想想你會(huì)

46、發(fā)現(xiàn)不是的，因?yàn)樗鄿p了能同時(shí)被 2、 3、7整除的數(shù).故能被2整除的有：1998 2 =999（個(gè)）.能被2和3同時(shí)整除的有：1998（2 3 =333（個(gè)）.能被2和7同時(shí)整除的有：1998 - （2 7 =142 .1998 （2 3 7） =47（個(gè)）.3 或 7 整除的數(shù)有 999-333 -142 47 =571 （個(gè)）.能被2、3、7同時(shí)整除的有： 所以，能被2整除，但不能被課后練習(xí)練習(xí)1.一個(gè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)12厘米，寬8厘米，另一個(gè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)10厘米，寬6厘米，它們中間重疊的部分是個(gè)邊長(zhǎng)4厘米的正方形，求這個(gè)組合圖形的面積.【解析】?jī)蓚€(gè)長(zhǎng)方形如圖擺放時(shí)出現(xiàn)了重疊 （見圖中的陰影部分），

47、重疊部分恰好 是邊長(zhǎng)為4厘米的正方形，如果利用兩個(gè)長(zhǎng)方形面積之和來計(jì)算被覆蓋 桌面的面積，那么重疊部分在兩個(gè)長(zhǎng)方形面積中各被計(jì)算了一次，而實(shí)際上這部分只需計(jì)算一次就可以了.所以，組合圖形的面積二長(zhǎng)方形面積之和-重疊部分.于是，組合圖形的面積 =12 8 10 6 -4 4 =140（平方厘米）.練習(xí)2.科技活動(dòng)小組有55人.在一次制作飛機(jī)模型和制作艦艇模型的定時(shí)科技活動(dòng)比賽中，老師到時(shí)清點(diǎn)發(fā)現(xiàn)：制作好一架飛機(jī)模型的同學(xué)有40人，制作好一艘艦艇的同學(xué)有32人每個(gè)同學(xué)都至少完成了一項(xiàng)制作問兩項(xiàng)制作都完成的同學(xué)有多少人？【解析】因?yàn)?0 ,32=72 , 72 55，所以必有人兩項(xiàng)制作都完成了.由于每個(gè)同學(xué)都至少完成了一項(xiàng)制作，根據(jù)包含排除法可知：全組人數(shù)=40 -32 一完成了兩項(xiàng)制作的人數(shù)，即55 =72 一完成了兩項(xiàng)制作的人數(shù).所以，完成了兩項(xiàng)制作的人數(shù)為：72_55=17（人）.練習(xí)3.在前100個(gè)自然數(shù)中，能被 2或3整除的數(shù)有多少個(gè)？【解析】如圖所示，A圓內(nèi)是前100個(gè)自然數(shù)中所有能被 2整除的