第二章-反z變換ppt課件

1、2.7.3 Z反變換,即由Z變換式X(z)求相應(yīng)的序列x(n)， 常用 Z-1x(z)表示， 逆z變換是一個(gè)對(duì)X(z)zn-1進(jìn)行的圍線積分，積 分路徑C是一條在X(z)收斂環(huán)域（Rx-，Rx+） 以內(nèi)反時(shí)針方向繞原點(diǎn)一周的單圍線,求解反z變換的常用方法有常見的方法有 冪級(jí)數(shù)法 部分分式法 留數(shù)法,1.冪級(jí)數(shù)法,由上已知，Z變換是一個(gè)冪級(jí)數(shù)表示式,那么，求X(z)的反變換只要將其展開為冪級(jí)數(shù)形式，再與上式相比較，其系數(shù)便是所求的序列x(n)。 冪級(jí)數(shù)的展開形式還必須依據(jù)收斂域,例2.5：已知X(z)=e1/z,|z|0,求其反Z變換,所以得,解：將其展開為冪級(jí)數(shù)形式,解,再利用Z變換的線性和位

2、移特性,于是可知X(z)所對(duì)應(yīng)的序列為,一般地，Z變換式為有理分式的情形，可以利用長(zhǎng)除法來得到其冪級(jí)數(shù)展開式,a.先按降冪排列，同上,b. 先按升冪排列,利用多項(xiàng)式除法得,2. 部分分式法,設(shè)X（z）可以分解成,其中,是簡(jiǎn)單的分式，可以通過Z變換表,查得其對(duì)應(yīng)的反Z變換.根據(jù)Z 變換的線性,得到對(duì)應(yīng)的序列,例如: 1. 如可將X(z)表示成,2. 如可將X(z)表示為,于是,例2.7 已知,將其化為部分分式之和,解,于是,3. 留數(shù)法,由Z變換X(z)求其相應(yīng)的序列x(n)，有下面的Z反變換關(guān)系式,積分路徑C是一條在X(z)收斂環(huán)域（Rx-，Rx+）內(nèi)的一條包圍原點(diǎn)的閉合曲線,上式中的積分，應(yīng)

3、用留數(shù)定理來求,若X(z)zn-1是z的有理函數(shù)，設(shè)z0是它的一個(gè)s階極點(diǎn)，可以將X(z)zn-1表示為,則 在z=z0解析， X(z)zn-1在z=z0的留數(shù)為,若z0是一階極點(diǎn)，即s=1，則此留數(shù)為,留數(shù)法思路,由于積分圍線c在X(z)的收斂域內(nèi)，所以首先要確定收斂域，如未給定要根據(jù)其極點(diǎn)確定。 考慮被積函數(shù)X(z)zn-1在c內(nèi)或c外的極點(diǎn)的情況確定用(a)式或(b)式來計(jì)算。原則是選擇X(z)zn-1有有限個(gè)極點(diǎn)且極點(diǎn)階次有限的區(qū)域來求留數(shù)，而盡量避免求z=的留數(shù)。 如收斂域在一圓外，應(yīng)計(jì)算n0時(shí)的x(n)，選擇（a）式，因?yàn)榇藭r(shí)在c內(nèi)有有限個(gè)階次有限的極點(diǎn)，zn-1在z=0處解析；

4、如收斂域在一圓內(nèi)，應(yīng)計(jì)算n0的x(n)，而利用c外的極點(diǎn)求得n0的情況同樣處理,例2.17 用留數(shù)法求 的 z 反變換。 解： ，顯然， 并且 m=1。 X(z)有兩個(gè)極點(diǎn)：z1=1 及 z2 = 1/3，故有三種可能的收斂域,1) 收斂域|z|1: 此時(shí)收斂域在|z|=1的園外，圍線c之內(nèi)包含X0(z)的兩個(gè)極點(diǎn)，所以有： 當(dāng)n1-m=0時(shí)，x(n)=0；而當(dāng)n1-m=0時(shí)，有,2）收斂域|z|1/3: 此時(shí)收斂域在|z|=1/3的園內(nèi)，圍線c之外包含X0(z)的兩個(gè)極點(diǎn)，所以有： 當(dāng)n1=m=0時(shí)，x(n)=0；而當(dāng)n1-m=0時(shí)，有,3) 收斂域1/3 z 1: 此時(shí)收斂域在一個(gè)環(huán)內(nèi)，X

5、0(z)的極點(diǎn) z1=1在圍線c之外，而 z2=1/3在圍線c之內(nèi), 于是有： 當(dāng)n1-m=0時(shí)， 當(dāng)n1-m=0時(shí)， 因此，當(dāng)收斂域在環(huán)內(nèi),例,則被積函數(shù)可寫為,n0時(shí)：X1在c內(nèi)和c上解析，故Z反變換積分為0，即有x(n)=0; n0時(shí)： X1在c外只有一個(gè)一階極點(diǎn)z=2。此時(shí),故有,N=0時(shí),在c內(nèi)只有一個(gè)一階極點(diǎn)z=0，此時(shí),所以,綜上可知,求下列Z反變換,例：設(shè),解：|z|3，所以x(n)為右邊序列，X(z)應(yīng)按z的降冪排列,z2-6z+9,3z,3z-1,3z-18+27z-1,18-27z-1,18z-2,18-108z-1+162z-2,81z-1-162z-2,81z-3,8

6、1z-1-486z-2+729z-3,得：X(z)=3z-1+18z-2+81z-3,3z-1+232z-2+333z-3,x(n)=n3nu(n-1,例：設(shè),解,收斂域|z|2,例：求z的反變換，設(shè),解,當(dāng) n0 時(shí)，圍線內(nèi)有一個(gè)極點(diǎn)：z=1/2,當(dāng) n=0 時(shí)，圍線內(nèi)有兩個(gè)極點(diǎn)：z=0和z=1/2,當(dāng) n0 時(shí)， X(z) zn-1 的分母多項(xiàng)式z的階次比分子多項(xiàng) 式的階次高二階或二階以上，故可用式來計(jì)算x(n)。由 于此時(shí)在圍線外無極點(diǎn)，所以：x(n)=0,綜合、，得到x(n,2.6 單邊Z變換,2.6.1單邊Z變換的定義 2.6.2單邊Z反變換 其計(jì)算方法與雙邊Z反變換相同，但是其解并

7、不一定是唯一的，因?yàn)閱芜匷反變換算出的只是序列n0時(shí)的表達(dá)式，n0部分未定,可以看出，與雙邊變換的不同就在于對(duì)于n的求和范圍不同， 其冪級(jí)數(shù)中只含z的負(fù)指數(shù)項(xiàng)，單邊Z變換的收斂域在半徑為 某個(gè)值的圓周之外，包括z=在內(nèi)。如果序列在n0的定義 相同，則它們的單邊Z變換就相同，盡管n0的定義可能不同,2.6.3單邊Z變換的性質(zhì),前節(jié)中的雙邊Z變換的所有性質(zhì)除與序列位移有關(guān)的性質(zhì)之外都適用于單邊Z變換。 單邊Z變換的位移特性 設(shè)n0為正整數(shù)， 右移時(shí),1-n0的序列移入正向區(qū)間，使Z變換的結(jié)果增加了n0項(xiàng),左移時(shí),設(shè)n2=0,1,n0-1時(shí),左移時(shí)，雖然表達(dá)式與雙邊變換相同，但原正向區(qū)間的前n0個(gè)值

8、不能參加級(jí)數(shù)運(yùn)算，需假設(shè)這n0個(gè)值都為零，才能與原Z變換序列建立聯(lián)系,單邊Z變換與雙邊Z變換的差異,單邊Z變換適用與需要初值條件解決因果系統(tǒng)的響應(yīng)問題，可以從某個(gè)需要的時(shí)刻開始，初始條件體現(xiàn)了在n0的情形對(duì)n0以后的反效作用。 在無法提供初始條件的場(chǎng)合，如噪聲激勵(lì)，或只需了解穩(wěn)定狀態(tài)的場(chǎng)合如濾波器的設(shè)計(jì)，則使用雙邊Z變換,用單邊Z變換解線性差分方程,線性差分方程描述的因果系統(tǒng)，當(dāng)給定適當(dāng)?shù)某跏紬l件時(shí)，需用單邊Z變換求解，以得到系統(tǒng)是輸出響應(yīng),2.7.4 Z變換與傅氏變換的關(guān)系,序列x(n)的Z變換為,令復(fù)變量,表示z在單位圓上取值，因此，傅氏變換就是單位圓上的Z變換,同理，Z反變換中,設(shè)單位圓

9、在X（z)的收斂域內(nèi)，因此可將單位圓作為積分圍線 c，即有,此即離散信號(hào)x(n)的傅氏變換的反變換,Z變換和傅氏變換實(shí)際上都是級(jí)數(shù)求和，因此都存在收斂問題， 這就對(duì)序列x(n)有一定的要求,傅氏變換,Z變換,同理,可見，傅氏變換的收斂對(duì)x(n)的要求強(qiáng)于Z變換收斂 對(duì)x(n)的要求，如果傅氏變換不收斂，還可以找到適當(dāng)?shù)?模值r使得其Z變換收斂,綜上可知,模擬信號(hào)及其抽樣信號(hào)在時(shí)域和頻域中的相互關(guān)系,2.8系統(tǒng)的差分方程描述,1.非遞歸型 指輸出對(duì)輸入無反饋，輸出值僅取決于系統(tǒng)，在n時(shí)刻的輸出值可以表示為,對(duì)線性非移變系統(tǒng),若此系統(tǒng)是因果的,若又有iN,N階線性差分方程,輸出對(duì)輸入有反饋，輸出值

10、不僅取決于輸入值而且與 輸出值有關(guān)。 對(duì)于線性、非移變、因果系統(tǒng)，有,2.遞歸型,可見，當(dāng)bi=0時(shí)，遞歸型變?yōu)榉沁f歸系統(tǒng)。非遞歸是遞歸 的特例,2.8.2系統(tǒng)函數(shù) 一個(gè)線性、非移變、因果系統(tǒng)的差分方程為,對(duì)上式兩邊作雙邊Z變換，得,定義該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，即系統(tǒng)函數(shù)為,而我們已經(jīng)知道,由序列卷積的Z變換特性有,由（3）式和（5）式比較可知，系統(tǒng)函數(shù)H(z)實(shí)際上就是系統(tǒng)的單位 取樣響應(yīng)h(n)的Z變換,系統(tǒng)函數(shù)H(z) 表征系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)時(shí)的特性，Y(z)經(jīng)反變換后的輸出也是系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)的輸出,當(dāng)需要求解在一定的初始條件下因果系統(tǒng)的響應(yīng)問題時(shí)，要采用單邊 Z變換。則求解（1）式兩邊的單邊Z變換得,故

11、可求得,由此可見，輸出響應(yīng)的單邊Z變換，不僅與系統(tǒng)的傳遞函數(shù)有關(guān)，而且與 輸入輸出的初始狀態(tài)有關(guān)，只有當(dāng)初始值為零時(shí)才與雙邊Z變換的結(jié)果相同,如果令,此即系統(tǒng)的頻率響應(yīng),一線性時(shí)不變系統(tǒng)y(n)=x(n)-1/2y(n-1)求單位抽樣響應(yīng),2.8.3 系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn),前面得到,可見，H(z)是兩個(gè)Z-1的多項(xiàng)式之比，于是可以對(duì)其分子分母因式分解，得,這里假設(shè),可見，ci就是系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)，而dj就是其極點(diǎn)。也就是說系統(tǒng)函數(shù) 可用其零點(diǎn)和極點(diǎn)來表示,系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，上式中令,將向量Ci和Dj用極坐標(biāo)表示,而且,因此,其中,系統(tǒng)的幅頻響應(yīng),系統(tǒng)的相頻響應(yīng),在系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)已知的情況下，可以

12、利用幾何作圖法求系統(tǒng)的頻率響應(yīng),可以看出零點(diǎn)、極點(diǎn)在z平面上的位置關(guān)系,在單位圓上的位置移動(dòng)而改變：在零點(diǎn)附近，幅頻響應(yīng)將出現(xiàn)谷值 （最小值），特別地，當(dāng)零點(diǎn)位于單位圓上時(shí)，谷值為零；在極點(diǎn)附近， 幅值將出現(xiàn)峰值（最大值），若極點(diǎn)位于單位圓上，峰值為無窮大,2.8.4 線性非移變因果系統(tǒng)的穩(wěn)定性,這里來討論系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)位置與系統(tǒng)的穩(wěn)定性的關(guān)系。對(duì)于線性 非移變系統(tǒng)，只需考察,就可以斷定該系統(tǒng)是否穩(wěn)定,設(shè)一N階線性非移變系統(tǒng)，系統(tǒng)函數(shù)為H(z)，由于其單位取樣響應(yīng)是因果的，H(z)的收斂域在一半徑為R-的圓外。為方便討論，假設(shè)H(z)只有一階極點(diǎn)，用pi表示(i=1,2,N,1)設(shè)R-1，即所

13、有極點(diǎn)都在單位圓內(nèi),利用Z反變換的留數(shù)法求解可知,這說明，極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)是系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件,2）假設(shè)有一個(gè)極點(diǎn)pk在單位圓外,同理，可求得,由于,所以有,可見，單位圓外極點(diǎn)的存在使得系統(tǒng)不穩(wěn)定,綜上所見，一個(gè)線性時(shí)不變的因果系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)函數(shù) （傳遞函數(shù)）H(z)的所有極點(diǎn)都在z平面的單位圓內(nèi)。顯然，對(duì)于因果線性 時(shí)不變系統(tǒng)，單位圓必定在其系統(tǒng)H(z)的收斂域內(nèi),2.9 Matlab方法 2.9.1 常用序列及序列運(yùn)算的Matlab實(shí)現(xiàn) 1 單位抽樣序列 函數(shù) zeros(1,N) 可以產(chǎn)生一個(gè)包含 N 個(gè)零的行向量，在給定的區(qū)間上，可以用這個(gè)函數(shù)來產(chǎn)生。這個(gè)函數(shù)的輸入?yún)?shù)應(yīng)

14、該滿足條件,2單位階躍序列 函數(shù) ones(1,N) 產(chǎn)生一個(gè)由 N 個(gè) 1 組成的行向量,在給定的區(qū)間上，可以用它來產(chǎn)生。這個(gè)函數(shù)的輸入?yún)?shù)應(yīng)該滿足條件 。 3矩形序列 其 Matlab 實(shí)現(xiàn)為： rect = zeros(1,N),ones(1,M),zeros(1,P,4實(shí)指數(shù)序列 符號(hào)“.”用來實(shí)現(xiàn)一個(gè)實(shí)指數(shù)序列。 例2.18 用Matlab實(shí)現(xiàn) 。 n =0:10; x = (0.5).n; stem(n,x,圖2.26 例2.18的圖形,5正弦序列 函數(shù)sin（或cos）產(chǎn)生正（余）弦序列。 例2.19 用Matlab 實(shí)現(xiàn) x(n)=2sin(0.6n) + 3cos(0.3n+

15、 /3)， 0n10。 n = 0:0.1:10; x = 2*sin(0.6*pi*n) + 3*cos(0.3*pi*n+ pi/3); plot(n,x,圖2.27 例2.19的圖形,6序列的翻褶 y(n)=x(-n)的Matlab實(shí)現(xiàn)為： y=fliplr (x); n=-fliplr (n,7信號(hào)的能量： 在Matlab中采用函數(shù)conj來求一個(gè)復(fù)數(shù)的共軛，而離散序列的能量的 Matlab 實(shí)現(xiàn)可以采用下述任一種方法。 （1）E=sum(x.*conj(x); （2）E=sum(abs(x)，.2,例2.20 用Matlab實(shí)現(xiàn)下列序列，并畫出相應(yīng)圖形。 解： n=0:10; x=n

16、*Unitstepseq(0,0,10)+3*(0.5).(3*n); stem(n,x); xlabel(n); ylabel(x(n,圖2.28 例2.20 的圖形,8序列的離散線性卷積計(jì)算 Matlab 中計(jì)算兩個(gè)有限長(zhǎng)序列的線性卷積的函數(shù)是conv ，該函數(shù)假設(shè)兩個(gè)序列都是從n=0開始的，其調(diào)用格式如下： y = conv(x,h,例2.21 求以下兩個(gè)序列的線性卷積。 x(n)=11,6,3,6,-9，-3n1h(n)=8,17,3,20,9,14，-1n4。 x=11,6,3,6,-9; h=8,17,3,20,9,14; y=conv(x,h,于是用Matlab求得： y = 8

17、8 235 159 337 258 133 204 -84 3 -126 y(n)定義的區(qū)間可以這樣求出： 因?yàn)?，其中x(k)的非零區(qū)間為,3k1 而h(n-k)的非零區(qū)間為 -1n-k4 將這兩個(gè)不等式相加就得到y(tǒng)(n)的非零區(qū)間： -4n5,2.9.2 離散信號(hào)變換的Matlab 實(shí)現(xiàn) 1 離散信號(hào)的DTFT DTFT就是2.6節(jié)討論的離散信號(hào)的傅里葉變換。在Matlab中，可以利用freqz 函數(shù)計(jì)算序列的DTFT在給定的離散頻率點(diǎn)上的抽樣值。 假設(shè) 可以表示為 ，則freqz函數(shù)有如下幾種調(diào)用方式,1）H,w = freqz(b,a,N) 其中，b和a 分別表示X(ej)的分子和分母

18、多項(xiàng)式的系數(shù)向量。此函數(shù)在單位園上半部上等間隔地計(jì)算N個(gè)點(diǎn)處的頻率響應(yīng)，返回該系統(tǒng)的N點(diǎn)頻率響應(yīng)矢量 w 和 N 點(diǎn)復(fù)數(shù)頻率響應(yīng)矢量 H。如果 N 沒有說明，則缺省值為 512,2）H = freqz(b,a,w) 它返回矢量 w 指定的那些頻率點(diǎn)上的頻率響應(yīng)，頻率范圍在0到之間。 （3）H = freqz (b,a,F,Fs) 給定單位為 Hz 的抽樣頻率 Fs，返回矢量 F 指定的那些頻率點(diǎn)上的復(fù)數(shù)頻率響應(yīng)，單位也是 Hz,4）H,w = freqz(b,a,N,whole) 在整個(gè)單位園上等間隔地計(jì)算N 點(diǎn)頻率響應(yīng)，即頻率的范圍是02。 （5）H,F = freqz (b,a,N,Fs)

19、 和 H,F = freqz (b,a,N,whole,Fs,給定抽樣頻率 Fs，單位為 Hz；返回單位為 Hz 的頻率矢量 F。 也可以利用Matlab提供的函數(shù)abs、angle、real、image等來計(jì)算DTFT的幅度（ ）、相位 以及實(shí)部和虛部,例 2.22 已知因果系統(tǒng) ，試畫出 的幅度響應(yīng) 和相位響應(yīng),圖2.29 例2.22的系統(tǒng)的頻率響應(yīng),1 z變換與z反變換 （1） 函數(shù)tf2zp和zp2tf 函數(shù)tf2zp和zp2tf可以進(jìn)行系統(tǒng)函數(shù)的不同表示形式之間的轉(zhuǎn)換。 假設(shè) ，利用函數(shù)z,p,k=tf2zp(b,a)，可以將H(z) 轉(zhuǎn)換成 零、極點(diǎn)的表示形式,其中輸入變量b、a分

20、別是按z的降冪排列的分子、分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量；輸出變量z表示H(z)的零點(diǎn)，p表示H(z)的極點(diǎn)，k表示增益。 函數(shù)b,a=zp2tf(z,p,k)用來實(shí)現(xiàn)相反的過程,1） 函數(shù)zplane 函數(shù)zplane可以用來畫出z變換的零、極點(diǎn)圖，該函數(shù)有以下兩種調(diào)用方式： zplane(zeros,poles)，其中zeros、poles分別為z變換的零點(diǎn)和極點(diǎn)； zplane(b,a)，其中b、a分別為z變換中分子和分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量，注意這里的多項(xiàng)式按照z的降冪排列,例2.23 已知離散系統(tǒng)的差分方程為 求其z變換，畫出零、極點(diǎn)示意圖，并判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解： 由差分方程可得,圖2.30

21、例2.23 的系統(tǒng)的零極點(diǎn)示意圖,由于系統(tǒng)的極點(diǎn)全部在單位圓內(nèi)，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的,3）函數(shù)residuez residuez 函數(shù)可以計(jì)算有理函數(shù)的留數(shù)和直接項(xiàng)（即多項(xiàng)式項(xiàng)），因此可以用來求z反變換。 設(shè)多項(xiàng)式為： residuez函數(shù)的調(diào)用有以下兩種方式,用語句 R,p,C = residuez(b,a) 可以求得的留數(shù)、極點(diǎn)和直接項(xiàng)，其中輸入數(shù)據(jù)b、a分別是分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量（這些多項(xiàng)式都按z的降冪排列），輸出數(shù)據(jù) R 包含著留數(shù)，p 包含著極點(diǎn)，C 包含著直接項(xiàng)。 語句 b,a = residuez(R,p,C) 有三個(gè)輸入變量和兩個(gè)輸出變量，它把部分分式變成多項(xiàng)式的系數(shù)行向量 b 和 a,例2.24 求 （ ）的 z 反變換。 解： b = 0,1; a = 3,-4,1; R