第42講-平均不等式

1、第42講-平均不等式平均不等式本節(jié)主要內(nèi)容是兩個、三個或 n個（n N+）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它的幾何平均數(shù)， 也就.ab(a,b3abc(a,b,c R )3-器3舊2.耳 ，a2,，a*對于一般正整數(shù)n的平均不等式，我們將在本節(jié)的附錄里給出證明.A類例題2 2例1證明：對任意實數(shù)a1,b1,有& -b- 87b 1 a 1分析：由對稱性，容易算出當(dāng)a=b=2時等號成立，此時4(b1)b2廠 4(a 1) 424(b1)證明：化b 12b 4(b 1) 4a同理b2a 14(a 1)4b兩同向不等式相加得a2b28, a=b=2 時等號成立.高考說明：不等式中什么時候等號成立，應(yīng)該看作 是

2、一種信息，有時能幫助我們找到證題的入 口本題對平均不等式用得巧妙、簡捷、富有啟 發(fā)性.鏈接：本題可以稍作引申:當(dāng) a1,b1,c1 時,12例2已知a2,an是n個正數(shù)，滿足c=1求證：(2+ a1) (2+ a2)(2+ an) 3n (1989年全國聯(lián)賽題)分析：考慮到已知條件a1.a2an=1,因此如何 從( 2+ a1)(2+ a2)(2+ an)過渡到能用已知 條件就成關(guān)鍵再注意到2+ a1, 2+ a2等都與3 比較接近，并且還有相等的可能，因此證法便自 然得到.證明：1+1+ a1 33.1.1.a,即 2+ a1 33 a同理 2+ a2 33 a22+ an 33 an將這n

3、個同向不等式相乘得(2+ a(2+ a2)高考（2+ an ） 3.3時2a； 3n，當(dāng) ai= a2= an 時等號成立.說明：本題證明中將2+ ai拆成1+1+ ai,這種 恒等變形（分拆）還有形形色色的“湊”和“配”, 在解題時是經(jīng)常用到的.這些技巧的運用并無固 定的程式和章法可套，只能根據(jù)題目的特點，因 題而異.經(jīng)驗和洞察力要靠我們不斷地實踐和積 累.鏈接：本題也可以從左邊入手乘開，或?qū)?3n 表為（2+1） n二項展開都可以獲得成功，過程略 顯繁瑣.例3設(shè)ab0,那么a2+ 的最小值是b（a b）（2005年全國高中聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽） 分析：本題取自課本的一個習(xí)題（人教社版， 第二冊

4、（上），題中有兩個變量a，b,解題時 總希望字母愈少愈好，故最好把原式處理成一個 變量問題，再證明它大于或等于一個常數(shù). 在這 中間我們又注意到和-b之和為a，因式b(a b)baba2 2解:a14,b(a b)22b(a b) a2a2+1a2424，因此a2+1的最小值b(a b)a2b(a b)高考是4.當(dāng)ba2；時取得最小值.說明：當(dāng)若干個變量的和為常量或積為常量 時，我們就可以考慮用平均值不等式， 再說在短 短的演算過程中兩次使用了平均值不等式.鏈接：如果題目變?yōu)樽钚≈?，你會做嗎？情景再現(xiàn)ab，求 a2+vb(知的1.設(shè)abc，證明2.設(shè) Xi, X2Xn RXl+ X2+ Xn3

5、.證明3a b c(33 abc) F+B類例題例4已知4 ab44 c4.4444a b c a4b4 c4a4 b4a c4b c,求證Xi2X2X 2X 3Xn iX：XnXia b 2(ab),2 7其中a, b, cabc=0求證14c42（2004年北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽高一）冋虧分析：如果通分或去分母也許能行得通， 但計 算量太大，因此這種情況下往往考慮利用“W” 或的變形(而不是恒等變形)統(tǒng)一分母.證明：4a4+b4+c4= 2a4+ a4+ b4+ a4+ c4 2a4+2a2b2+2a2c24所以a2(a2 b2 c2)2 222T2a (a b c )同理可得b42b4b2

6、20b2 c2)c444b 4c2c2(a2 b2 c2)三式相加得4.44222abcabc1-47444444744222；4abca4bcab4c 2(a b c )2當(dāng)a2=b2=c2H 0時上式等號成立.說明：平均不等式還有一些特殊形式，從中還 能推導(dǎo)出另外一些“副產(chǎn)品”，而所有這些在證 題中是常常用得到的，例如：a2+ b22ab(a, b R)a+-2(a R+)a(ab0)高考A3+b3+c3 3abc(a, b, c R+)(a,b R)a2b2 c2；3(a, b, c R)2 2a b2a b c3此外該題處理分母的方法給我們深刻印象, 值得借鑒.例5已知a, b, c是

7、正數(shù)且abc 1試證：a b b c c acab2(a b c)分析：不等式的左邊是分式，處理分式的原則 一般是能不通分時盡量不通分，能不去分母時盡 量不去分母，避開它，繞道走，減小計算量，卻 同樣達到目的.改變結(jié)構(gòu)，轉(zhuǎn)換命題，使得新命 題便于用已知條件，便于用平均值不等式.原題等價2 c(a b c) a(a b c) b(a b c)而 a b = (a b c) c 丄 c(a b c) c( a b c) c333 abc因而 c) a(a b c) b(a b c) a高考當(dāng)a=b=c=1時等號成立.說明：轉(zhuǎn)換命題或加強命題是證題的一個重要 手段，也是一個策略.例5與例4都是分式不

8、等 式，都用平均不等式解決問題，但途徑、風(fēng)格截 然不同.例6 設(shè)a, b, c是正實數(shù)，且滿足abc= 1,證 明(a 1 b)(b 1 -)(c 1 -) 1 .(第bca41 屆 IMO分析：不等式左邊三個括號所代表的數(shù)有可能為 負數(shù)(或零)，因此，不能直接用平均不等式.但 仔細觀察、計算發(fā)現(xiàn)三個括號最多只能有一個不 是正數(shù).因此，應(yīng)先討論.此外，即使全正，用 三個正數(shù)的算術(shù)平均，推導(dǎo)也難以進行.故應(yīng)該 用兩個正數(shù)的算術(shù)平均不小于相應(yīng)的幾何平均. 證法一：1 a 1 -1 , b 1 1，c 1丄三個式的值如果一個不b 丁c 丁a為正(即為零或負)，另兩個為非負，不等式顯 然成立.2以上三

9、個式的值最多有一個不為正數(shù)，證1a 10b (abc 1)b 1-0c(相加)2ab 0這不可能, 少兩個為正.如三個數(shù)全為正1 b)(bb故三個式子的值最(a1b(1b ab)(bab)1 b 1 ab 1 b ab 2 b()高考明如下假設(shè)有兩個不正，不妨設(shè)1ab b01 ab b 01 ab b01bc c0abc bc c0 ab b 10a2b同理(b1 -)(c 1 c1.(c 1-)(a 1 -)ab三式相乘得(a 1丄)b2ca1c2a1b)(b1-)(c 1c丄)2a3(abc) 11-)(cc因此(a 1和1成立綜上原不等式成立丄)r當(dāng)a=b=c=1時等號a證法二：令a=-

10、, b=y, c=- ( x, y, z Ft)yzx代入后原不等式化為要證 (x-y+z ) (y- z+x)(z- x+y) 0.原式化為uzZyz+Wx+uy-xypO.將此式看作是關(guān)于z的方程，該方程必有解.故 1 = 4y2 4u(ux2uy2 xy) 0 .即u2x2 uyx y2(u2 1) 0 .將此式看作是關(guān)于X的不 等式，該不等式必定有解(u2 0),故 2 = u2y2 4u2y2(u2 1) 0 . u取正值時原式中y工0,于是 得4u 5 u于也就是umax=F比較兩種解法，后者顯得自然流暢，而前者把待 定系數(shù)法應(yīng)用到不等式中使人感到耳目一新.鏈接：本題解法為我們解決

11、多元函數(shù)的最值提高考01供了新的方法.例8 a, b為正實數(shù)，x(0, ,求旦上2sin x cosx的最小值.分析：這是一道含有三角函數(shù)的題.因此解題 過程一定會用上三角公式，經(jīng)驗告訴我們?nèi)绻?接不好求，則可轉(zhuǎn)而求其平方的最值.解：令原式為f(x)，則f(x)2=2a2sin x2absin xcosxcos2 xa2 (sin2x cos2 x)2ab(sin 2 x cos2 x)2sin xsin xcosxb2(sin2x cos2 x)2cos x2 2 2 2 2=a +b +a cot x+2abtanx+2abcotx+b2tan x a2+b2+(a2cot2x+abta

12、 nx+abta nx)+(b2t2an 2x+abcotx+abcot x)( 223a2 b2 3超 a4b23勺 a2b4 (a3 b3)2當(dāng) tanx. ab= a2cotx，也就是 tanx =-時取得最小值.b.信息中心：高考鏈接：本題做法很多，可以用柯西不等式來證， 也可以用求導(dǎo)數(shù)的方法求得結(jié)果，其過程都不很 長本題有明顯的幾何背景：如圖點p位于第一象限，過p引直線交x軸正 方向與A,交y軸正方向與B，求線段AE的最 小值.令/ ABO=x,容易算得| PB | =亠，| PA | sin x=亠，貝9| AB | =旦+上，n是任意正整數(shù)，還 cosxsinx cosx22 n

13、 2有相應(yīng)的不等式 斗+ -V （a 產(chǎn)，這個不等sin x cos x7式的證明也不很困難，只要用上n個正數(shù)的平均 值定理即可，這個不等式證完.例8就可以看作 是它的一個特例.例9 設(shè)u，v， w為正實數(shù)，滿足條件 u VW v wu w uv 1 ， 試 J求 u + v + w的最小 值.（第三屆中國女子數(shù)學(xué)奧林匹克）分析：從改造已知條件入手，VW是v與W的幾何平均，很容易想到于.vw，因此有V w w u u v u.vw 一u vw v I wuw uv 1也即 uv vw wu這個條件從形式上更接近于 u+v+w解：由于于uv ,因此由已知條件可得uv vw wu 1又 (u +

14、v + w)2=u2 v2 w2 2uv 2vw 2wu uv vw wu 2uv 2vw 2wu3(uv vw wu)3（u + V + W ）、3另一方面，顯然U = V = W =手滿足題中條件，3因此U + V + W的最小值為3說明：本題實質(zhì)是據(jù)一個已知不等式，去證明 另一個不等式，其中的過程就是一個簡單的乘法 公式和平均值不等式的應(yīng)用.例10 n為任意正整數(shù)，求證（1 3（1丄）n1nn 1分析：原不等式等價于證明 唏 下（1丄）“ 該式 n 1 Y n左邊可看作是某n+1個正數(shù)的算術(shù)平均如右邊能寫成相應(yīng)的幾何平均，則問題得證.證明：考慮n+1個正數(shù)（1丄）,（1）,（1丄）,1,

15、n nn 77n個由平均不等式(1 亠)n1n 1n 1即LXJn1(1 -)nn(1 -) (1 -) . (1 -) 1 nnn說明：證題的關(guān)鍵是命題的改造和巧妙的“配” 和“湊”，有針對性的“配”、“湊”能使已知條 件和相關(guān)定理得到最合理的運用.同時，它也使 得條件和結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系顯現(xiàn)出來.因此這種技 能和技巧值得我們很好地學(xué)習(xí)和用心去體會.從原題形式看不出它與平均值不等式有什么 直接聯(lián)系，這需要我們對題目要進行進一步的挖 掘，并且要增強運用平均不等式的意識.鏈接：從數(shù)列的觀點看，該不等式表明數(shù)列（1丄）是一個單調(diào)遞增數(shù)列.在高等數(shù)學(xué)里還n進一步證明它是有界數(shù)列，Hm（1 1）n e，

16、e是與nn同樣活躍的一個超越數(shù).例10的證法很多，相比之下用平均值不等式 的證明可說是最為自然和簡捷.情景再現(xiàn)6. x 0,求證：（1 ：2）231637.設(shè) x，y，z，w是不全為0的實數(shù)，求:幼2272的最大值.x y z w習(xí)題1.已知 x, y, z ，且 x yz (x +y+z) =1,證 明(x +y) (y+ z) 2，并指出何時等號成立.2.n2,求證：logn 1 logn i3.設(shè)數(shù)列an滿足ai=1，an+ian=n+1 (n為任意正整數(shù))，求證：丄2( . n 1 1).k 1 ak4.設(shè) a, a1, b, b1 均為正實數(shù)，a； b2 a2 b2 1,求 證空成1

17、.a1 b5.a, b, c r，求證:c1 .1 c ca6.X1，X2, X3, X4R ,212X2ab1 a ab a b bc2X22 21 X31X4求證:X1.X2.X3.X4 .7a, b, c R ,1)證明(a b 町 g 1 92)證明119b c c a 2(a b c)3)證明七&旦a b b c c a(1963年莫斯科數(shù)學(xué)競賽)8.設(shè)正實數(shù)X , y滿足X3 y3 x y ,求證:高考x2 4y2 1 . ( 2005年女子數(shù)學(xué)奧林匹克)9. 設(shè)a, b, x, y都是正數(shù)，并且x2 y2 1，求證廠2 2222 22a x b ya y b x a b .10.

18、 設(shè)正實數(shù)x , y, z滿足x +y+z= x yz，求 x7(yz 1) y7(zx 1) z7(zy 1)的最小值.(2003年中國國家集訓(xùn)隊測試題)11. 設(shè)實數(shù)a , b滿足ab 0 ,證明：a2b2(a4b)22 2a 10ab b12并求等號成立的條件.一般地，證明：對任意實數(shù) a2b2(a b)2a2 ab b2 并求等號433V件(第十四屆愛爾其數(shù)學(xué)奧林匹克)12.0ai0, An=1a? . a* nGn = n a,a2.an，貝U An Gn，當(dāng)且僅當(dāng) a1=a2 =an 時 等號成立.我們用數(shù)學(xué)歸納法來證明它，1時不等式顯然成立.假設(shè)n = k時不等式成立，那么高考2

19、kAk 1Ak+1 = F(k 1)Ak1 (k 1)Ak12k12ka1 a2ak ak 1 (k 1)Ak 11 ra12a2kakak 1(k 1) Ak 1 1 r a1a22 kak ak 1Ak 1Ak 1k(va1a2.akAk 1k_aki(Aki)k1 (a1a2 .ak )ak 1 ( Ak 1 )(Gk1)k1.(A 1)k12k1(Ak 1)2k (Gk Jk TA Jk1Gk 1即n =k+ 1時不等式成立由上可知，對 成立.n n不等式本節(jié)“情景再現(xiàn)”解答a e abbe abbeb e1 a e.a b2X22.X22xi ,a2X2X3X32x3 ,相加后即得.

20、3.e /ab 、ab34.由(a b)(a2b2)0得,b3 abe ab2a2babe2Xn 1XnXn2xn 1 ,4e2Xn X1Xi2Xn,3? abe3(-3 abe)2(專、ab)a3 b3 ab2a2b ,同理廠b e abe1a3 b3 abeab(a1be(a b c)，e3 a3 abeae(a b e) ?相加后對不等式右邊稍作化簡便得.5.令 x=a+2b+e，y= a+b+2e，z=a+b+3e，貝V有 x- y= b- e，z-y= e,由此可得 a+3e=2y-x, b= z+x-2 y,高考c= z- y，故a 3c4b8c 2y x 4( z x 2y)8(

21、 z y)a 2b c a b 2c a b 3c xyz17 2- 4- 4- 8-17 2.8 2.3217 12.2 上式中xy yz的等號可以成立.事實上，由上述推導(dǎo)過程知， 等號成立當(dāng)且僅當(dāng)平均不等式中的等號成立，而這等價于2工x4-y4 xI也即y8= zz:;，即 I?/，亦a b 2ca b 3c處2b c）,解此不定方程，得到2(a 2b c)b（1 2）a，只要滿足此條件便能取得最小值c （4 3、2）a17 12.2彳，即（1 x2）363,也就是x3.3(1 x2)2167,顯然只需考慮7該題解法可完全仿照例z0, w0的情形.引進待定正常數(shù)222小222y z 2 y

22、z, z w 2 zw, 即卩w22x 0, y0,則有2y2xy, y2222小x y 2 xy,2z c 2 2yz, z2ZW,將上述二式相加得1(2)y2(丄-)z2w2 22xy 2 yz zw,1 - ，解得 2 1,1,2 1，于是冋虧mauBV!(x2 y2 z2 w2) xy 2yz2zw，xy 2yz zw 2 xz2 w22所求最大值是本節(jié)習(xí)題解答1. (x y)(y z)容易算得xyxz y2 yz1時取得等號.,2 1xyzxzy(xz)2 xzy(x yz)2.log n1 -loglog2 1)22n2n 1n 1logn logn 2 22logn *2Iogn

23、1,iogn1（瞥）2 1，據(jù)對數(shù)換底公式log n1 log3.由已知，易證an 0(n 1,2,3.),又n 1, anan 1 n ,相減得 aa3a1，1a3an(an 1an 1 )a2=2.丄ana4 a2 ,1a5a4a31an 11an相加得n 1an 1k 1 ak2 ana31)a1相加2a133 a6，即32乞a1a2 3a2 .同理22b2 3b2 ,高考32(-a12 2aib13(a2 b2)33乞1a1b15分析：欲證原不等式成立,只要證ab 1 b bc 1 c ca1 ca，去分母，即證(1 cca)a(1 b be) b(1 a ab) (1 ca)(1開，

24、化簡，即證a2b2c2 1 2abc，a ab)(1 b bc)，經(jīng)過展 此式顯然成立，原不等式獲證6.令Ui2Xi12(i 1,2,3,4)，據(jù)已知則有 U1U2U3U41,2X1U11u1UiUiU2 U3U433 U2U3U4，同理x；_U2_33 U1U3U42X3U333 U|U2U4 ?2X4_U4_33 U1U2U3,相乘得(X1X2X3X4)2丄81x1x2x3x47.1)3%abc ,33 abc相乘便得8.2)據(jù)1)1 1abb3)由于a b ca bca b(a b)2)2(a(bc)(c1a).(-a2(a b c)a b cb ca_bb c c a4xy2b c)(；a b cc a32由平均不等式得x2y 4y3 y3，又5y32 5x2y44xy2，所以x2 4y2(x2 4y2)(x y) x3 4xy2 x2y 4y3 x3 y39.分析法，將欲證不等式兩邊平方，即證a2b2，乘開即證a2b2，而 a4 b4 2a2b2，因此冋.(a2x2 b2y2)(a2y2 b2x2) ab(a2x2 b2y2)(a2y2 b2x2)4222, 2/44、.422a x y a b (x y ) b x y 題變更為要證 a2b2(x4 y4) 2a2b2x2y2 a2b2 此式顯然成立，原不等式 得證10.因為 x , y , z0,且 x