《基本不等式》典型例題

1、歡迎下載1學(xué)習(xí)好資料高中數(shù)學(xué)必修五典題精講典題精講例1 (1)已知Ov xv，求函數(shù)y=x(1-3x)的最大值;31(2)求函數(shù)y=x+ 的值域.x思路分析：(1)由極值定理，可知需構(gòu)造某個和為定值，可考慮把括號內(nèi)外x的系數(shù)變成互為相反數(shù)；(2)中，未指出x 0,因而不能直接使用基本不等式，需分x 0與x v 0討論.(1)解法一：/ y=x(1-3x)=c10 v xv ,. 1-3x 0.313x(1-3x) 3宀(2): 2=丄,12當(dāng)且僅當(dāng)13x=1-3x，即x= 時，等號成6121立.x= 時,6函數(shù)取得最大值1解法二： 0v xv -3.y=x(1-3x)=3x( 】-x) 0.3

2、x3:22 12=，當(dāng)且僅當(dāng)12x= 1 -x,即31x=時，等號成立.61 1 x=時，函數(shù)取得最大值612(2)解：當(dāng)x0時，由基本不等式，得1y=x+ xx=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時，等號成立.x1 1當(dāng) xv 0 時，y=x+ =- 3 (-x)+x(x)11-x 0,.(-X)+ 2當(dāng)且僅當(dāng)-x=，即x=-1時，等號成立.(-x)-X1 y=x+ -1時，求f(x)=x+的最小值.X +11思路分析：x -1= x+1 0,變x=x+1-1時x+1與的積為常數(shù).X +1解： x -1, x+1 0.學(xué)習(xí)好資料歡迎下載/ f(x)=x+1=x+1 +x 1-1 2 (x 1)1(x 1)-

3、1=1.1當(dāng)且僅當(dāng)x+1=，即x=0時取得等號X +1-f(x) min = 1.變式訓(xùn)練2求函數(shù)y=x4 3x23x21的最小值.x y思路分析：從函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)來看，它與基本不等式結(jié)構(gòu)相差太大，而且利用前面求最值的方 法不易求解，事實上，我們可以把分母視作一個整體，用它來表示分子，原式即可展開 解：令 t=x2+1，則 t 1且 x2=t-1.x4 3x23 (t -1)2 3(t -1) 3 t2 t 11,y= 2=t 1.x2 +1tttt=1,即t=1時，等號成立 t t+1 2t *1 =2,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)x=0時，函數(shù)取得最小值3.19例2已知x 0,y 0,且一 + =1，求x

4、+y的最小值.x y思路分析：要求x+y的最小值，根據(jù)極值定理，應(yīng)構(gòu)建某個積為定值，這需要對條件進行必要的 變形，下面給出三種解法，請仔細體會.解法一：利用“1的代換”， x+y=(x+y)(丄 + 9 )=10+) 9xx y x y x 0,y 0,.空 2 y.9x=6.x y V x y當(dāng)且僅當(dāng)= 9x，即y=3x時，取等號x y19+=1,. x=4,y=12.當(dāng)x=4,y=12時，x+y取得最小值16.學(xué)習(xí)好資料歡迎下載19v解法二：由 + =1,得x=x yv -9/ x 0,y 0, y 9.x+y=+y=y+y 9+10.y -999=y+1=(y-9)+y -9 y-9/

5、y 9, y-9 0.y -9 9y -92 (y9)9=6.y-9當(dāng)且僅當(dāng)y-9= ，即y=12時，取得等號，此時y 9x=4. 當(dāng)x=4,y=12時，x+y取得最小值16.解法三：由=1，得 y+9x=xy,y (x-1)(y-9)=9. x+y=10+(x-1)+(y- 9) 10+2 (x -1)(y -9) =16,19當(dāng)且僅當(dāng)x-1=y-9時取得等號又 + =1,x y x=4,y=12.當(dāng)x=4,y=12時，x+y取得最小值16.綠色通道：本題給出了三種解法，都用到了基本不等式，且都對式子進行了變形，配湊出基本不等式滿足的條件，這是經(jīng)常需要使用的方法，要學(xué)會觀察，學(xué)會變形，另外解

6、法二，通過消元，化二元問題為一元問題，要注意根據(jù)被代換的變量的范圍對另外一個變量的范圍的影響黑色陷阱：本題容易犯這樣的錯誤：1996+2 ，即 6.x y , xyxy x+y2. xy 2X 6=1. x+y 的最小值是 12.19產(chǎn)生不同結(jié)果的原因是不等式等號成立的條件是丄=衛(wèi)，不等式等號成立的條件是x=y.在同x V一個題目中連續(xù)運用了兩次基本不等式，但是兩個基本不等式等號成立的條件不同，會導(dǎo)致錯誤結(jié)論.a b變式訓(xùn)練 已知正數(shù)a,b,x,y滿足a+b=10,=1, x+y的最小值為18,求a,b的值.x V學(xué)習(xí)好資料歡迎下載思路分析：本題屬于“ 1的代換問題abbxaybxay解：x+

7、y=(x+y)()=a+b=10+xyyxyx/ x,y O,a,b0, x+y 10+2 . ab =18,即、ab=4.又 a+b=10,3=2,a =8,5 J，p. 5 f丿或乜p =8 p =2.4例 3 求 f(x)=3+lgx+的最小值(Ov x v 1).lg x思路分析：T Ov x v 1,4 Igx v 0, v 0不滿足各項必須是正數(shù)這一條件，不能直接應(yīng)用基本不等式，正確的處理方法lg x是加上負(fù)號變正數(shù).44解： Ov xv 1, Igx v 0, v 0. - 0.lg xlg x44 (-Igx)+(-) 2 (-lg x)( )=4.lg x Vlg x,44-

8、lgx+冬4. f(x)=3+lgx+ 0,3 -2x2亠)3 2x.丄立_2x8=4,23 -2x23 -2x當(dāng)且僅當(dāng)3 2x8，即3 2x1x=-時取等號21 1 n oy=4x-5+3=- (5-4x)+ +34x 55 -4x2,(4x)#5-4x+3=-2+3=1.1當(dāng)且僅當(dāng)5-4x=，即x=1時等號成立.5 4x1.所以當(dāng)x=1時，函數(shù)的最大值是3變式訓(xùn)練2當(dāng)xv時，求函數(shù)22 2355于是y 2 2x 3y =2 6xy,2727 2 6xy w 18得 xy 0, / Ov y v 6.3 3S=xy=(9- y)y= (6-y)y.22/ Ov y v 6,. 6-y 0.s

9、2 2x *3y =2、6xy =24,.l=4x+6y=2(2x+3y) 48當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y時，等號成立.2x =3y,x =6,由丿解得丿xy=24,y=4.故每間虎籠長6 m,寬4 m時，可使鋼筋網(wǎng)總長最小.方法二:由 xy=24 ,得x丄.l=4x+6y=96+6y=6(%) 6 訃咯 yy y . y=48,當(dāng)且僅當(dāng)16=y，即y=4時，等號成立，此時yx=6.故每間虎籠長6 m,寬4 m時，可使鋼筋總長最小.綠色通道：在使用基本不等式求函數(shù)的最大值或最小值時，要注意：(1) x,y都是正數(shù)；(2) 積xy (或x+y )為定值；(3) x與y必須能夠相等，特別情況下，還要根據(jù)條

10、件構(gòu)造滿足上述三個條件的結(jié)論變式訓(xùn)練某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為200平方米的三級污水處理池 (平面圖如圖3-4-2所示)，由于地形限制，長、寬都不能超過16米如果池外周壁建造單價為每米400元,中間兩道隔墻建造單價為每米248元，池底建造單價為每平方米80元,池壁的厚度忽略不計，試設(shè)計污水處理池的長和寬，使總造價最低，并求出最低造價.思路分析：在利用均值不等式求最值時，必須考慮等號成立的條件，若等號不能成立，通常要用函數(shù)的 單調(diào)性進行求解解：設(shè)污水處理池的長為x米,則寬為Z00米(0 v XW 16,y Z00 16).；.12.5 x 800Xx *+16 000=44 800,xV

11、 x324當(dāng)且僅當(dāng) x=(x 0),即 x=18 時等號成立 而 18一 : 12.5,16 , Q(x) 44 800.x下面研究Q(x)在12.5,16 上的單調(diào)性.對任意 12.5 Wxv X2W 16則 X2-X1 0,X1X2 Q(X1). Q(x)在12.5,16上是減函數(shù). Q(x) Q(16)=45 000.答:當(dāng)污水處理池的長為16米，寬為12.5米時，總造價最低，最低造價為45 000元. 問題探究問題某人要買房，隨著樓層的升高，上下樓耗費的精力增多，因此不滿意度升高.當(dāng)住第n層樓時, 上下樓造成的不滿意度為n.但高處空氣清新，嘈雜音較小，環(huán)境較為安靜，因此隨著樓層的升高，環(huán)境8不滿意度降低.設(shè)住第n層樓時，環(huán)境不滿意程度為.則此人應(yīng)選第幾樓，會有一個