高中數(shù)學(xué)必修1知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、高中數(shù)學(xué)必修 1 知識(shí)點(diǎn)第一章集合與函數(shù)概念 1.1 集合【 1.1.1 】集合的含義與表示（ 1 ）集合的概念集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.（ 2 ）常用數(shù)集及其記法N 表示自然數(shù)集，N或 N表示正整數(shù)集，Z 表示整數(shù)集，Q 表示有理數(shù)集，R 表示實(shí)數(shù)集 .（ 3 ）集合與元素間的關(guān)系對象 a 與集合 M 的關(guān)系是 aM ，或者 aM ，兩者必居其一 .（ 4 ）集合的表示法自然語言法：用文字?jǐn)⑹龅男问絹砻枋黾?列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合.描述法： x | x 具有的性質(zhì) ，其中 x 為集合的代表元素.圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.（ 5）集合的

2、分類含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集.含有無限個(gè)元素的集合叫做無限集.不含有任何元素的集合叫做空集 ( ).【 1.1.2】集合間的基本關(guān)系（ 6）子集、真子集、集合相等名稱記號(hào)意義性質(zhì)示意圖(1)AAAB(2)AA 中的任一元素都A(B)子集BA（或?qū)儆?B(3)若 AB 且 BC ，則 AC或BA)(4) 若 AB 且 BA ，則 ABAB真子集（或BA ）集合AB相等A B ，且 B 中至少有一元素不屬于AA 中的任一元素都屬于 B， B 中的任一元素都屬于 A（ 1 ）A （ A 為非空子集）(2) 若 A B 且 B C ，則 A C(1)AB(2)BABAA(B)（ 7 ）已知集合

3、A 有 n( n1) 個(gè)元素，則它有2n 個(gè)子集，它有 2n1個(gè)真子集，它有 2n1個(gè)非空子集，它有 2n2非空真子集 .【 1.1.3 】集合的基本運(yùn)算（ 8 ）交集、并集、補(bǔ)集名稱記號(hào)意義性質(zhì)示意圖（ 1） A I AAA I B x | xA,且（ 2） AI交集xB（ 3） A I BAA I BB（ 1） A U AAA U B x | xA,或（ 2） A UA并集xB（ 3） A U BAA U BBABAB1AI (eU A) x | x U , 且x A痧( A I B) (UA) U (? B)e AUU補(bǔ)集U痧(A U B)(UA) I (? B)UU2 A U (eU

4、A)U【補(bǔ)充知識(shí)】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法（ 1 ）含絕對值的不等式的解法不等式解集| x |a(a0)| x |a( a0)| axb |c,| axb |c(c0)（ 2 ）一元二次不等式的解法判別式0b24ac二次函數(shù) x |axax | xa 或 xa把 axb 看 成一 個(gè) 整 體 ， 化 成 | x |a ，| x |a(a0) 型不等式來求解00yax2bxc(a0)的圖象O一元二次方程bb24acax2bxc0(a0)x1,22ax1 x2b無實(shí)根的根（其中 x1 x2 )2aax2bxc0(a0) x | x x1或 x x2 x | xbR的解集2aax2bx

5、c0(a0) x | x1xx2的解集 1.2 函數(shù)及其表示【 1.2.1 】函數(shù)的概念（ 1 ）函數(shù)的概念設(shè)A、 是兩個(gè)非空的數(shù)集， 如果按照某種對應(yīng)法則f ，對于集合A中任何一個(gè)數(shù)x，B在集合 B 中都有唯一確定的數(shù)f ( x) 和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)（包括集合A ， B 以及A 到 B 的對應(yīng)法則 f ）叫做集合 A 到 B 的一個(gè)函數(shù)，記作 f : AB 函數(shù)的三要素:定義域、值域和對應(yīng)法則只有定義域相同，且對應(yīng)法則也相同的兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù)（ 2 ）區(qū)間的概念及表示法設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且ab ，滿足axb 的實(shí)數(shù)x 的集合叫做閉區(qū)間， 記做 a, b ；滿足 a的 實(shí) 數(shù)xb

6、的實(shí)數(shù)x 的 集 合x 的集合叫做開區(qū)間，記做( a, b) ；滿足叫 做 半 開 半 閉 區(qū) 間 ， 分 別 記 做axb ，或 a, b) ， (a, baxb； 滿 足xa, xa, xb, xb 的實(shí)數(shù)x 的集合分別記做 a,),( a,),(, b,(, b)注意： 對于集合 x | axb與區(qū)間(a,b)，前者a 可以大于或等于b ，而后者必須ab ，（前者可以不成立，為空集；而后者必須成立）（ 3 ）求函數(shù)的定義域時(shí)，一般遵循以下原則： f ( x) 是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù) f ( x) 是分式函數(shù)時(shí)，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù) f ( x) 是偶次根式時(shí)，定義域是使被開

7、方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí)，底數(shù)須大于零且不等于 1 ytan x 中， xk(kZ ) 2零（負(fù)）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零若 f ( x) 是由有限個(gè)基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算而合成的函數(shù)時(shí)，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集對于求復(fù)合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若已知f ( x) 的定義域?yàn)?a, b ，其復(fù)合函數(shù) f g (x)的定義域應(yīng)由不等式ag ( x)b 解出對于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域， 根據(jù)問題具體情況需對字母參數(shù)進(jìn)行分類討論由實(shí)際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實(shí)際意義（ 4 ）求函數(shù)的值域

8、或最值求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最?。ù螅?shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最?。ù螅┲狄虼饲蠛瘮?shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同求函數(shù)值域與最值的常用方法：觀察法：對于比較簡單的函數(shù)，我們可以通過觀察直接得到值域或最值配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值判別式法：若函數(shù)yf (x) 可以化成一個(gè)系數(shù)含有y 的關(guān)于 x 的二次方程a( y) x2b( y) xc( y)0 ，則在 a( y)0 時(shí)，由于 x, y 為實(shí)數(shù)，故必須有b2 ( y)4a( y) c( y)0 ，

9、從而確定函數(shù)的值域或最值不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值換元法：通過變量代換達(dá)到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題反函數(shù)法： 利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值函數(shù)的單調(diào)性法【 1.2.2 】函數(shù)的表示法（ 5 ）函數(shù)的表示方法表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系列表法：就是列出表格來表示兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系圖象法：就是用圖象表示兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系（ 6 ）映射的概念設(shè) A 、 B 是

10、兩個(gè)集合，如果按照某種對應(yīng)法則f ，對于集合A 中任何一個(gè)元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)（包括集合A ， B 以及 A 到 B 的對應(yīng)法則f ）叫做集合A 到 B 的映射，記作f : AB 給定一個(gè)集合A 到集合 B 的映射，且aA, bB 如果元素a和元素 b 對應(yīng)，那么我們把元素 b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象 1.3 函數(shù)的基本性質(zhì)【 1.3.1 】單調(diào)性與最大（?。┲担?1 ）函數(shù)的單調(diào)性定義及判定方法函數(shù)的定義性 質(zhì)如果對于屬于定義域I 內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2 ,當(dāng) x 1 x 2 時(shí)，都有 f(x 1 )f(x

11、2) ，那么就說f(x) 在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù) 函數(shù)的單調(diào)性如果對于屬于定義域I 內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1 、 x2 ，當(dāng)x 1f(x2) ， 那么 就 說f(x) 在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)圖象yy=f(X)f(x2 )f(x1 )ox1x2yy=f(X)f(x 1)f(x 2 )ox 1x 2判定方法（ 1）利用定義（ 2）利用已知函數(shù)的單調(diào)性（ 3）利用函數(shù)圖象（在某個(gè)區(qū)間圖x象上升為增）（ 4）利用復(fù)合函數(shù)（ 1）利用定義（ 2）利用已知函數(shù)的單調(diào)性（ 3）利用函數(shù)圖象（在某個(gè)區(qū)間圖x象下降為減）（ 4）利用復(fù)合函數(shù)在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個(gè)減函數(shù)的和是減函數(shù)，

12、增函數(shù)減去一個(gè)減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個(gè)增函數(shù)為減函數(shù)對于復(fù)合函數(shù)y f g( x) ，令 ug (x) ，若 yf (u) 為增， ug (x) 為增，則yf g (x) 為增；若 yf (u) 為減， ug(x) 為減，則 yf g( x) 為增；若 y f (u)為增， u g( x) 為減，則y f g( x) 為減；若 yf (u) 為減， ug (x) 為增，則y f g (x) 為減（ 2 ）打“”函數(shù)yf ( x)xa (a0)x的圖象與性質(zhì)f (x) 分別在ox(,a 、 a , )上為增函數(shù)，分別在a ,0) 、(0,a 上為減函數(shù)（ 3 ）最大（?。┲刀x一般地，設(shè)函

13、數(shù)yf (x) 的定義域?yàn)镮 ，如果存在實(shí)數(shù)M 滿足：（ 1 ）對于任意的xI ，都有 f ( x)M ；（ 2 ）存在 x0I ，使得 f ( x0 )M 那么，我們稱M 是函數(shù)f (x) 的最大值，記作fmax (x)M 一般地，設(shè)函數(shù) y f ( x) 的定義域?yàn)?I ，如果存在實(shí)數(shù) m 滿足：（ 1 ）對于任意的 x I ，都有 f ( x) m ；（ 2）存在 x0 I ，使得 f ( x0 ) m 那么，我們稱 m 是函數(shù) f ( x) 的最小值，記作 fmax ( x) m 【 1.3.2 】奇偶性（ 4 ）函數(shù)的奇偶性定義及判定方法函數(shù)的定義圖象判定方法性 質(zhì)如果對于函數(shù)f(x

14、) 定義域（ 1 ）利用定義（要內(nèi)任意一個(gè) x，都有 f( 先判斷定義域是否x)= f(x) ,那么函數(shù) f(x)關(guān)于原點(diǎn)對稱）叫做奇函數(shù) （ 2 ）利用圖象（圖函數(shù)的象關(guān)于原點(diǎn)對稱）奇偶性如果對于函數(shù)f(x) 定義域（ 1 ）利用定義（要內(nèi)任意一個(gè) x，都有 f( 先判斷定義域是否x)= f(x) ,那么函數(shù) f(x) 叫關(guān)于原點(diǎn)對稱）做偶函數(shù) （ 2 ）利用圖象（圖象關(guān)于 y 軸對稱）若函數(shù)f (x) 為奇函數(shù)，且在 x 0 處有定義，則 f (0) 0 奇函數(shù)在y 軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在 y 軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相反在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍

15、是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的積（或商）是偶函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的積（或商）是奇函數(shù)補(bǔ)充知識(shí)函數(shù)的圖象（ 1 ）作圖利用描點(diǎn)法作圖：確定函數(shù)的定義域；化解函數(shù)解析式；討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性）；畫出函數(shù)的圖象利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：要準(zhǔn)確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖象平移變換y f ( x) y f ( x)伸縮變換h 0,左移 h個(gè)單位 h 0,右移 | h|個(gè)單位k 0,上移 k個(gè)單位 k 0,下移 | k|個(gè)單位y f (x h) y f (x) kyf ( x)01,伸1,縮yf ( x

16、)0A 1,縮A 1,伸對稱變換y f ( x) y Af ( x)yf ( x)yf ( x)yf ( x)y f ( x)（ 2 ）識(shí)圖x軸f (x)yf ( x)y軸yf (x)y原點(diǎn)f ( x)yf ( x)直線y xyf 1( x)y去掉 y軸左邊圖象yf (| x |)保留 y軸右邊圖象，并作其關(guān)于y軸對稱圖象保留 x軸上方圖象y| f ( x) |將x軸下方圖象翻折上去對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系（ 3 ）用圖函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問題提供

17、了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問題結(jié)果的重要工具要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法第二章基本初等函數(shù) ( ) 2.1 指數(shù)函數(shù)【 2.1.1 】指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算（ 1 ）根式的概念如果 xna, aR, xR, n1，且 nN ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根當(dāng) n 是奇數(shù)時(shí)， a 的 n 次方根用符號(hào)n a 表示；當(dāng) n 是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)a 的正的 n 次方根用符號(hào)n a表示，負(fù)的 n 次方根用符號(hào)n a 表示； 0的 n 次方根是0 ；負(fù)數(shù) a沒有 n 次方根式子 n a 叫做根式，這里n 叫做根指數(shù)， a叫做被開方數(shù)當(dāng)n 為奇數(shù)時(shí)， a 為任意實(shí)數(shù)；當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)， a0 根

18、式 的 性 質(zhì) ： ( n a ) na ； 當(dāng) n 為 奇 數(shù) 時(shí) ， n ana ； 當(dāng) n 為 偶 數(shù) 時(shí) ，n an | a |a(a0)a(a0)（ 2 ）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念mn am正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：an(a0,m nN,且 n 1) 0 的正分,數(shù)指數(shù)冪等于 0 mm1 ) m (a 0, m, n N , 且 正 數(shù) 的 負(fù)分 數(shù) 指 數(shù) 冪 的 意 義 是 ： a n(1 ) nn (aan 1) 0 的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義注意口訣： 底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù)（ 3 ）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì) ar asar s( a0, r , s R) ( ar )sars (a 0

19、, r , s R) (ab)rar br (a0, b0, rR)【 2.1.2 】指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（ 4 ）指數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)定義函數(shù)yax (a0 且 a1) 叫做指數(shù)函數(shù)圖象a10a1定義域值域過定點(diǎn)奇偶性單調(diào)性函數(shù)值的變化情況a 變化對 圖象的影響R(0,)圖象過定點(diǎn)(0,1) ，即當(dāng) x0 時(shí)， y1非奇非偶在 R 上是增函數(shù)在 R 上是減函數(shù)ax1( x 0)a x1(x 0)ax1( x 0)a x1(x 0)ax1( x 0)a x1(x 0)在第一象限內(nèi)，a 越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，a 越大圖象越低 2.2 對數(shù)函數(shù)【 2.2.1 】對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算（ 1 ）對數(shù)的

20、定義若 axN (a0, 且 a1) ，則 x 叫做以 a 為底 N 的對數(shù)，記作xlog a N ，其中 a 叫做底數(shù)，N叫做真數(shù)負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)對數(shù)式與指數(shù)式的互化：xlog a NaxN (a0, a1, N0) （ 2 ）幾個(gè)重要的對數(shù)恒等式log a 10 ， log aa1 ， loga abb （ 3 ）常用對數(shù)與自然對數(shù)常用對數(shù)： lg N ，即 log 10N ；自然對數(shù)： ln N ，即 log e N （其中 e2.71828）（ 4 ）對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果 a0, a1,M0, N0，那么加法： log a Mloga Nlog a (MN )減法： log a Mlog

21、a NMlog aN數(shù)乘： n log a M log a M n (nR) alog a NNlog bMnn loga M(b0,n)換底公式：abRlog a Nlog b N (b0,且 b1)log b a【2.2.2 】對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（ 5 ）對數(shù)函數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)名稱定義函數(shù)ylog ax(a0 且 a1) 叫做對數(shù)函數(shù)圖象a10a1定義域值域過定點(diǎn)奇偶性單調(diào)性函數(shù)值的變化情況(0,)R圖象過定點(diǎn)(1,0)，即當(dāng)時(shí)，y0x 1非奇非偶在 (0,) 上是增函數(shù)在 (0,) 上是減函數(shù)log a x0(x1)log ax0(x1)log a x0(x1)log ax0(x1)log

22、a x0(0x1)log ax0(0x 1)a 變化對 圖象的影響在第一象限內(nèi)，a 越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，a 越大圖象越靠高(6) 反函數(shù)的概念設(shè)函數(shù)yf ( x) 的定義域?yàn)锳 ，值域?yàn)镃 ，從式子yf ( x) 中解出x ，得式子x( y) 如果對于y 在 C 中的任何一個(gè)值，通過式子x( y) ， x 在 A 中都有唯一確定的值和它對應(yīng)，那么式子x( y) 表示 x 是 y 的函數(shù)，函數(shù)x( y) 叫做函數(shù)yf ( x) 的反函數(shù)，記作xf 1 ( y) ，習(xí)慣上改寫成yf 1( x) （ 7）反函數(shù)的求法確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；從原函數(shù)式y(tǒng)f (x) 中反解出xf

23、1 ( y)；將xf 1 ( y) 改寫成yf1( x)，并注明反函數(shù)的定義域（8 ）反函數(shù)的性質(zhì)原函數(shù)yf ( x) 與反函數(shù)yf 1 ( x)的圖象關(guān)于直線yx 對稱函數(shù)yf (x) 的定義域、值域分別是其反函數(shù)yf 1 ( x) 的值域、定義域若P(a, b) 在原函數(shù)yf ( x)的圖象上，則P (b, a) 在反函數(shù)yf 1( x)的圖象上一般地，函數(shù)yf (x) 要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù) 2.3 冪函數(shù)（ 1 ）冪函數(shù)的定義一般地，函數(shù)yx 叫做冪函數(shù)，其中x 為自變量，是常數(shù)（2 ）冪函數(shù)的圖象（ 3 ）冪函數(shù)的性質(zhì)圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象冪

24、函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、二象限(圖象關(guān)于y 軸對稱 )；是奇函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、三象限(圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱)；是非奇非偶函數(shù)時(shí)，圖象只分布在第一象限過定點(diǎn)：所有的冪函數(shù)在(0,) 都有定義，并且圖象都通過點(diǎn)(1,1) 單調(diào)性：如果0，則冪函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，并且在0,) 上為增函數(shù)如果0 ，則冪函數(shù)的圖象在 (0,) 上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近x 軸與 y 軸奇偶性： 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)， 冪函數(shù)為奇函數(shù)， 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， 冪函數(shù)為偶函數(shù) 當(dāng)q（其pq中 p, q 互質(zhì)， p 和 qZ ），若 p 為奇數(shù) q 為奇數(shù)時(shí)， 則 yx p 是奇函數(shù)， 若 p 為奇數(shù) q 為qq偶數(shù)時(shí)，則

25、 yx p 是偶函數(shù)，若p 為偶數(shù) q 為奇數(shù)時(shí)，則yx p 是非奇非偶函數(shù)圖象特征： 冪函數(shù) yx, x(0, ) ，當(dāng)1 時(shí)，若 0x1，其圖象在直線yx 下方，若 x1 ，其圖象在直線yx 上方，當(dāng)1時(shí)，若 0x1，其圖象在直線yx 上方，若 x1，其圖象在直線yx 下方補(bǔ)充知識(shí)二次函數(shù)（ 1 ）二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：f ( x)ax2bxc(a0) 頂點(diǎn)式：f (x)a( xh) 2k (a0) 兩根式：f ( x)a( xx1 )( xx2 )(a0) （ 2）求二次函數(shù)解析式的方法已知三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，宜用一般式已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對稱軸有關(guān)或與最大（?。┲涤嘘P(guān)時(shí)， 常使

26、用頂點(diǎn)式若已知拋物線與x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且橫線坐標(biāo)已知時(shí)，選用兩根式求f ( x) 更方便（ 3 ）二次函數(shù)圖象的性質(zhì)二次函數(shù)f ( x)ax2bxc(a0)的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為xb , 頂點(diǎn)2a坐標(biāo)是 (b , 4ac b2) 2a4a當(dāng) a0時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在(bb) 上遞增，當(dāng), 上遞減，在 ,2a2axb時(shí)， fmin (x)4acb2；當(dāng) a0 時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)在( ,b 上遞2a4a2a增，在 b ,) 上遞減，當(dāng) xb時(shí)， f max ( x)4ac b22a2a4a二次函數(shù)f ( x)ax2bxc(a0) 當(dāng)b24ac0 時(shí)，圖象與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)

27、M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2| |x1x2 | a|（ 4 ）一元二次方程ax 2bxc 0(a0) 根的分布一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分知識(shí)在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理（韋達(dá)定理）的運(yùn)用，下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來分析一元二次方程實(shí)根的分布設(shè)一元二次方程ax2bxc0( a0) 的兩實(shí)根為x1, x2 ，且x1x2 令f ( x)ax2bxc ，從以下四個(gè)方面來分析此類問題：開口方向：a對稱軸位置：bx判別式：端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)2 a k x1x 2yybf (k ) 0a0x

28、2a?OkOkx1x2x1x2xxb?0f (k )xa 02a x1 x2 kyybf ( k)0a 0x?2aOx2Ox2kx1kxx1xba 0?f (k ) 0x2 a x1 k x2af (k ) 0ya0O kyf (k)0?x1x2x?f (k )0 k 1 x1 x2 k2ya0? f (k1 ) 0f (k2 )0?x1x 2O k1k 2xbx2ax1OOkx2a0yxk1x1?f (k1 )0a0xb2ak2x2x?f ( k2 )0有且僅有一個(gè)根x1（或 x2 ）滿足 k1 x1 （或 x2 ） k2f(k 1)f(k 2)0 ，并同時(shí)考慮f (k 1)=0 或 f(k2 )=0 這兩種情況是否也符合ya 0y? f (k1 ) 0f (k1 ) 0?k