2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 專題突破 2.3 數(shù)列 高考小題 2 數(shù)列的簡單問題課件 理

1、第2課時 數(shù)列的簡單問題 考向一由遞推關(guān)系求通項考向一由遞推關(guān)系求通項 ( (壓軸題型考點壓軸題型考點) ) 【典例典例】 1.1.已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 滿足滿足a a1 1=1,=1,且且 則數(shù)列則數(shù)列aan n 的通項公式為的通項公式為( () ) n nn 1 11 aa( ) (n2nN*) , 33 且 C.aC.an n=n+2=n+2 D.a D.an n=(n+2)3=(n+2)3n n nn n 3nn2 Aa Ba n23 【解析解析】選選B.B.由由a an n= a= an-1 n-1+ (n2 + (n2且且nNnN* *) )得得,3,3n na an n=

2、= 3 3n-1 n-1a an-1 n-1+1,3 +1,3n-1 n-1a an-1 n-1=3 =3n-2 n-2a an-2 n-2+1,3 +1,32 2a a2 2=3a=3a1 1+1,+1,以上各式以上各式 相加得相加得3 3n na an n=n+2,=n+2,故故a an n= .= . 1 3 n 1 ( ) 3 n n2 3 2.(20192.(2019天津一模天津一模) )已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 滿足滿足:a:a1 1= ,= , , ,則數(shù)列則數(shù)列aan n 的通項公式為的通項公式為 a an n= =( () ) n 1n nn aa(1) n2n2 1 2

3、11 A. B 1 n n1n1 n2 1n C 1 D. n n1n1 【解析解析】選選C.C.通解通解:a:an+1 n+1-1= -1= = (a= (an n-1),-1), 令令b bn n=a=an n-1,-1, 則則 從而得到從而得到 , , n nn a(1) 1 n2n2 n n2 3524n 1234n 1 bbbbb123n1 bbbbb345n1 ， n 1 b2 bn n1 又又b b1 1=a=a1 1-1=- ,-1=- ,得得b bn n= b= b1 1 , , 所以所以a an n= .= . 優(yōu)解優(yōu)解:a:a1 1= =1- ,a= =1- ,a2 2=

4、 =1- ,a= =1- ,a3 3= =1- ,= =1- , ,歸納可得歸納可得a an n=1- .=1- . 1 2 2 n n1 1 n n1 1 1 n n1 1 2 1 1 2 5 6 1 2 3 11 12 1 3 4 1 n n1 3.3.數(shù)列數(shù)列aan n 中中,a,an n0,0,前前n n項和為項和為S Sn n, ,且且 , ,則數(shù)列則數(shù)列aan n 的通項公式為的通項公式為_. _. nn n aa1 S(n 2 N*) 【解析解析】由由S Sn n= ,a= ,an n0,(nN0,(nN* *) )得得a a1 1= ,= , 解得解得a a1 1=1,=1,又

5、又S Sn-1 n-1= = (n2), (n2), 兩式相減得兩式相減得2a2an n= + a= + an n-a-an-1 n-1, , 化簡得化簡得(a(an n+a+an-1 n-1)(a )(an n-a-an-1 n-1-1)=0, -1)=0, 因為因為a an n+a+an-1 n-10, 0, nn aa1 2 11 aa1 2 n 1n 1 aa1 2 22 nn 1 aa 則則a an n-a-an-1 n-1=1(n2), =1(n2), 則數(shù)列則數(shù)列aan n 是首項和公差都等于是首項和公差都等于1 1的等差數(shù)列的等差數(shù)列, ,則則a an n=n.=n. 答案答案

6、: :a an n=n=n 【題眼直擊題眼直擊】 題目題目 題眼題眼思維導(dǎo)引思維導(dǎo)引 1.1. 相鄰兩項成同一倍數(shù)關(guān)系相鄰兩項成同一倍數(shù)關(guān)系, ,想到用想到用 疊加法求數(shù)列的通項疊加法求數(shù)列的通項. . 2.2. 相鄰兩項的倍數(shù)關(guān)系與相鄰兩項的倍數(shù)關(guān)系與n n有關(guān)有關(guān), ,想想 到用疊乘法求數(shù)列的通項到用疊乘法求數(shù)列的通項. . 3.3. 已知已知a an n與與S Sn n的關(guān)系的關(guān)系, ,想到利用通項想到利用通項 a an n與前與前n n項和項和S Sn n之間的關(guān)系求解之間的關(guān)系求解. . 【拓展提升拓展提升】 求數(shù)列通項常用的方法求數(shù)列通項常用的方法 (1)(1)定義法定義法: :形

7、如形如a an+1 n+1=a =an n+C(C+C(C為常數(shù)為常數(shù)),),直接利用定義直接利用定義 判斷其為等差數(shù)列判斷其為等差數(shù)列. . 形如形如a an+1 n+1=ka =kan n(k(k為非零常數(shù)為非零常數(shù)) )且首項不為零且首項不為零, ,直接利用直接利用 定義判斷其為等比數(shù)列定義判斷其為等比數(shù)列. . (2)(2)疊加法疊加法: :形如形如a an+1 n+1=a =an n+f(n),+f(n),利用利用a an n=a=a1 1+(a+(a2 2-a-a1 1)+(a)+(a3 3- - a a2 2)+(a)+(an n-a-an-1 n-1), ),求其通項公式求其通

8、項公式. . (3)(3)疊乘法疊乘法: :形如形如 =f(n)0,=f(n)0,利用利用a an n=a=a1 1 , , 求其通項公式求其通項公式. . n 1 n a a 32n 12n 1 aaa aaa (4)(4)待定系數(shù)法待定系數(shù)法: :形如形如a an+1 n+1=pa =pan n+q(+q(其中其中p,qp,q均為常數(shù)均為常數(shù), , pq(p-1)0),pq(p-1)0),先用待定系數(shù)法把原遞推公式轉(zhuǎn)化為先用待定系數(shù)法把原遞推公式轉(zhuǎn)化為 a an+1 n+1-t=p(a -t=p(an n-t),-t),其中其中t= ,t= ,再轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解再轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解. .

9、 q 1 p (5)(5)構(gòu)造法構(gòu)造法: :形如形如a an+1 n+1=pa =pan n+q+qn n( (其中其中p,qp,q均為常數(shù)均為常數(shù),pq(p-,pq(p- 1)0),1)0),先在原遞推公式兩邊同除以先在原遞推公式兩邊同除以q qn+1 n+1, ,得 得 , , 構(gòu)造新數(shù)列構(gòu)造新數(shù)列bbn n , ,得得b bn+1 n+1= b = bn n+ ,+ ,接下來接下來 用待定系數(shù)法求解用待定系數(shù)法求解. . n 1n n 1n aap1 qq qq n n n a (b) q 其中 p q 1 q 【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】 1.1.數(shù)列數(shù)列aan n 滿足滿足a a1 1=2,

10、a=2,an+1 n+1= a = an n,nN,nN* *, ,則則a an n=_.=_. 2 n2 n1 【解析解析】由已知由已知 所以由所以由a a1 1=2,a=2,an n= = =(n+1)2 =(n+1)2n-1 n-1. . 答案答案: :(n+1)2(n+1)2n-1 n-1 n 1 n 1n n 2 n2an2 aa ,2, n1an1 得 3n2 n 121 aaan143 2,2,2, ana3 a2 ， 3nn 12 1 n 1n 221 aaaa a aaaa n1n43 22222 nn132 2.2.已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 中中,a,a1 1=3,=3,

11、且點且點P Pn n(a(an n,a,an+1 n+1)(nN )(nN* *) )在直在直 線線4x-y+1=04x-y+1=0上上, ,則數(shù)列則數(shù)列aan n 的通項公式為的通項公式為_._. 【解析解析】點點P Pn n(a(an n,a,an+1 n+1)(nN )(nN* *) )在直線在直線4x-y+1=04x-y+1=0上上, , 有有4a4an n-a-an+1 n+1+1=0. +1=0.即即a an+1 n+1=4a =4an n+1,+1, 得得a an+1 n+1+ . + . 所以所以 是公比為是公比為4,4,首項為首項為a a1 1+ + 的等比數(shù)列的等比數(shù)列.

12、. a an n+ 4+ 4n-1 n-1, , n 11 4(a) 33 n 1 a 3 110 33 110 33 故有故有a an n= 4= 4n-1 n-1- - 答案答案: :a an n= 4= 4n-1 n-1- - 10 3 1 . 3 10 3 1 3 【補償訓(xùn)練補償訓(xùn)練】 已知在數(shù)列已知在數(shù)列aan n 中中,a,an+1 n+1= a = an n (nN (nN* *),),且且a a1 1=4,=4, 則數(shù)列則數(shù)列aan n 的通項公式的通項公式a an n=_.=_. n n2 【解析解析】由由a an+1 n+1= a = an n , ,得 得 兩邊分別相乘兩

13、邊分別相乘, ,得得 , ,由由a a1 1=4,=4,得得a an n= .= . 答案答案: : 3nn 1 n 1n 22 aaan1n2 an1 ana ， n 1 a2 ann1 （） 8 nn1（） 8 nn1（） 2 1 a21 4 a3 ， n n2 考向二數(shù)列求和考向二數(shù)列求和 ( (壓軸題型考點壓軸題型考點) ) 【典例典例】 1.(20191.(2019洛陽一模洛陽一模) )已知已知S Sn n是非零數(shù)列是非零數(shù)列aan n 的前的前n n項的項的 和和, ,且且S Sn n=2a=2an n-1-1 , ,則 則S S2 020 2 020等于 等于 ( () ) A.

14、1-2A.1-22 019 2 019 B.2B.22 020 2 020-1 -1 C.2C.22 019 2 019-1 -1D.1-2D.1-22 020 2 020 【解析解析】選選B.B.因為因為S Sn n=2a=2an n-1,-1,所以所以S S1 1=1,=1,且且S Sn n=2(S=2(Sn n- - S Sn-1 n-1)-1, )-1,即即S Sn n=2S=2Sn-1 n-1+1, +1,得得S Sn n+1=2(S+1=2(Sn-1 n-1+1), +1), 由此可得數(shù)列由此可得數(shù)列SSn n+1+1是首項為是首項為2,2,公比為公比為2 2的等比數(shù)列的等比數(shù)列,

15、 , 得得S Sn n+1=2+1=2n n, ,即即S Sn n=2=2n n-1,-1,所以所以S S2 020 2 020=2 =22 020 2 020-1. -1. 2.2.已知函數(shù)已知函數(shù) 則則a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a100 100= = ( () ) A.0A.0B.100B.100C.-100C.-100D.10 200D.10 200 2 n 2 n (n), f naf nf n1 n (n), 為奇數(shù) 且， 為偶數(shù) 【解析解析】選選B.B.由題意由題意,a,a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a100 100=1 =12 2- - 2 22

16、2-2-22 2+3+32 2+3+32 2-4-42 2-4-42 2+5+52 2+99+992 2-100-1002 2-100-1002 2+101+1012 2= = -(1+2)+(3+2)-(99+100)+(101+100)=-(1+2)+(3+2)-(99+100)+(101+100)= -(1+2+99+100)+(2+3+100+101)=-1+101=100.-(1+2+99+100)+(2+3+100+101)=-1+101=100. 3.3.已知已知S Sn n為數(shù)列為數(shù)列aan n 的前的前n n項和項和, ,且且a a1 1=1, ,=1, , 則則S S2 0

17、21 2 021=_. =_. n nn 1 a a3 【解析解析】由由a an na an+1 n+1=3 =3n n, ,得得a an-1 n-1a an n=3 =3n-1 n-1(n2), (n2), 所以所以 =3(n2),=3(n2), 則數(shù)列則數(shù)列aan n 的所有奇數(shù)項和偶數(shù)項均構(gòu)成以的所有奇數(shù)項和偶數(shù)項均構(gòu)成以3 3為公比的為公比的 等比數(shù)列等比數(shù)列, ,又又a a1 1=1,a=1,a1 1a a2 2=3,=3,所以所以a a2 2=3,=3, 所以所以S S2 021 2 021= 3 = 31 011 1 011-2. -2. 答案答案: :3 31 011 1 01

18、1-2 -2 n 1 n 1 a a 1 010 1 011 31 3 11 3 1 31 3 （） 【題眼直擊題眼直擊】 題目題目 題眼題眼思維導(dǎo)引思維導(dǎo)引 1.1. a an n與與S Sn n的關(guān)系式的關(guān)系式, ,想到分析出數(shù)列想到分析出數(shù)列 模型模型, ,運用求和公式求解運用求和公式求解 2.2. 奇數(shù)項與偶數(shù)項的表達式不同奇數(shù)項與偶數(shù)項的表達式不同, ,想想 到分組轉(zhuǎn)化求和到分組轉(zhuǎn)化求和 3.3. 相鄰兩項的關(guān)系與相鄰兩項的關(guān)系與n n有關(guān)有關(guān), ,想到構(gòu)想到構(gòu) 造新數(shù)列求和造新數(shù)列求和 【拓展提升拓展提升】 分類討論思想在數(shù)列求和中的應(yīng)用分類討論思想在數(shù)列求和中的應(yīng)用 (1)(1)

19、當(dāng)數(shù)列通項中含有當(dāng)數(shù)列通項中含有(-1)(-1)n n時時, ,在求和時要注意分在求和時要注意分n n為奇為奇 數(shù)與偶數(shù)處理數(shù)與偶數(shù)處理. . (2)(2)對已知數(shù)列滿足對已知數(shù)列滿足 =q,=q,在求在求aan n 的前的前n n項和時分奇數(shù)項和時分奇數(shù) 項和偶數(shù)項分別求和項和偶數(shù)項分別求和. . n 2 n a a 【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】 1.1.數(shù)列數(shù)列aan n 的前的前n n項和為項和為S Sn n,a,a1 1=2,S=2,Sn n= a= an+1 n+1,b ,bn n= = loglog2 2a an n, ,則數(shù)列則數(shù)列 的前的前n n項和項和T Tn n=_.=_. n 1

20、 (1) 2 nn 1 1 b b 【解析解析】a a1 1=2,S=2,Sn n= a= an+1 n+1,n2 ,n2時時, , S Sn-1 n-1= a = an n, , 兩式作差兩式作差, ,得得a an n= a= an+1 n+1- a - an n, , 化簡得化簡得 =2,=2, 檢驗檢驗: :當(dāng)當(dāng)n=1n=1時時,S,S1 1=a=a1 1= a= a2 2, , n 1 (1) 2 n 1 1 (1) 2 n 1 (1) 2 n 1 1 (1) 2 n 1 n a a 1 2 即即a a2 2=4, =2,=4, =2, 所以數(shù)列所以數(shù)列aan n 是以是以2 2為首項

21、為首項,2,2為公比的等比數(shù)列為公比的等比數(shù)列; ; a an n=2=2n n,b,bn n=log=log2 2a an n=n, ,=n, , 前前n n項和項和T Tn n= = 答案答案: : 2 1 a a nn 1 1111 b bnn1nn1 （） 111111n 11. 223nn1n1n1 n n1 2.2.若數(shù)列若數(shù)列aan n 的各項均為正數(shù)的各項均為正數(shù), ,前前n n項和為項和為S Sn n, ,且且a a1 1=1,=1, S Sn+1 n+1+S +Sn n= (nN= (nN* *),),則則a a25 25=_. =_. n 1 1 a 【解析解析】因為因為

22、S Sn+1 n+1+S +Sn n= (nN= (nN* *),), 所以所以S Sn n+S+Sn-1 n-1= (n2), = (n2), 所以所以S Sn+1 n+1+S +Sn n-S-Sn n-S-Sn-1 n-1= , = , 所以所以a an+1 n+1+a +an n= ,= ,所以所以a an+1 n+1- , - , 所以所以a a2 2- =-2,- =-2, n 1 1 a n 1 a n 1n 11 aa n n 1n 11 (a) aa 1 21 11 (a) aa n 1n 11 aa 解得解得a a2 2= -1,a= -1,a2 2=-1- (=-1- (舍

23、去舍去),), 所以所以a a3 3- ,- , 解得解得a a3 3= ,a= ,a3 3= (= (舍去舍去),), a a4 4- - 解得解得a a4 4= ,a= ,a4 4=- (=- (舍去舍去),),于是可以猜于是可以猜 2 32 111 (a)( 21)2 2 aa21 22 3232 3 43 111 (a)( 32)2 3 aa32 ， 4343 想想,a,a25 25= . = . 答案答案: : 252452 6 52 6 考向三數(shù)列與其他知識的綜合問題考向三數(shù)列與其他知識的綜合問題 ( (壓軸題型考點壓軸題型考點) ) 【典例典例】1.1.設(shè)曲線設(shè)曲線y=2 020

24、 xy=2 020 xn+1 n+1(nN (nN* *) )在點在點(1,2 020)(1,2 020) 處的切線處的切線 與 與x x軸的交點的橫坐標為軸的交點的橫坐標為x xn n, ,令令a an n=log=log2 020 2 020 x xn n, , 則則a a1 1+a+a2 2+a+a2 019 2 019的值為 的值為( () ) A.2 020A.2 020B.2 019B.2 019 C.1C.1D.-1D.-1 【解析解析】選選D.D.因為因為y=2 020(n+1)xy=2 020(n+1)xn n, ,所以切線方程是所以切線方程是 y-2 020=2 020(n

25、+1)(x-1),y-2 020=2 020(n+1)(x-1),所以所以x xn n= ,= , 所以所以a a1 1+a+a2 2+a+a2 019 2 019=log =log2 020 2 020(x (x1 1xx2 2xx2 019 2 019)= )= loglog2 020 2 020 =log =log2 020 2 020 =-1. =-1. n n1 122 019 () 232 020 1 2 020 2.(20192.(2019濰坊二模濰坊二模) )已知函數(shù)已知函數(shù)f(n)=nf(n)=n2 2cos(n)cos(n) , , 且且a an n=f(n),=f(n),

26、則則a a1 1+a+a2 2+a+a100 100= = ( () ) A.0A.0B.100B.100C.5 050C.5 050D.10 200D.10 200 【解析解析】選選C.aC.a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a100 100=-1 =-12 2+2+22 2-3-32 2+4+42 2-99-992 2+ + 1001002 2=(2=(22 2-1-12 2)+(4)+(42 2-3-32 2)+(100)+(1002 2-99-992 2)=3+7+199=)=3+7+199= =5 050. =5 050. 503 199 2 （） 3.3.在數(shù)列在數(shù)列aan

27、 n 中中,a,a1 1+ + =2=2n n-1(nN-1(nN* *),),且且a a1 1= = 1,1,若存在若存在nNnN* *使得使得a an nn(n+1)n(n+1)成立成立 , ,則實數(shù) 則實數(shù)的最的最 小值為小值為_._. 32n aaa 23n 【解析解析】方法一方法一: :依題意得依題意得, ,數(shù)列數(shù)列 的前的前n n項和為項和為2 2n n-1,-1, 當(dāng)當(dāng)n2n2時時, =(2, =(2n n-1)-(2-1)-(2n-1 n-1-1)=2 -1)=2n-1 n-1, ,且 且 =2=21 1-1=1=2-1=1=21-1 1-1, , 因此因此 =2=2n-1 n

28、-1(nN (nN* *), .), .記記b bn n= ,= , 則則b bn n0, =1,b0, =1,bn+1 n+1b bn n, ,數(shù)列數(shù)列 bbn n 是遞增數(shù)列是遞增數(shù)列, ,數(shù)列數(shù)列bbn n 的最小項是的最小項是b b1 1= .= .依題意得依題意得, , n a n n a n 1 a 1 n a n n 1 n a2 nn1n1 （） n 1 2 n1 n 1 n b2n1n2nn2 bn2n2n2 （）（） 1 2 存在存在nNnN* *使得使得 =b =bn n成立成立, ,即有即有bb1 1= ,= , 的最小值是的最小值是 . . n a nn1（） 1 2

29、 1 2 方法二方法二: :由方法一知由方法一知a an n=n2=n2n-1 n-1, ,因為 因為a an nn(n+1),n(n+1),所以所以 n2n2n-1 n-1n(n+1), n(n+1),所以所以 , ,由方法一知由方法一知, ,當(dāng)當(dāng)n=1n=1 時時, , 有最小值有最小值 , ,所以所以 , ,所以所以最小值為最小值為 . . 答案答案: : n 1 2 n1 n 1 2 n1 1 2 1 2 1 2 1 2 【題眼直擊題眼直擊】 題目題目 題眼題眼思維導(dǎo)引思維導(dǎo)引 1.1. 由曲線的切點想到導(dǎo)數(shù)由曲線的切點想到導(dǎo)數(shù) 的幾何意義的幾何意義 2.2.正負相間想到并項求和正負相間想到并項求和 3.3. 分離參數(shù)求不等式恒成分離參數(shù)求不等式恒成 立問題立問題 【拓展提升拓展提升】 數(shù)列與不等式的交匯多為不等式恒成立與證明和形式數(shù)列與不等式的交匯多為不等式恒成立與證明和形式 的不等式的不等式, ,在求解時要注意等價轉(zhuǎn)化即分離參數(shù)法與放在求解時要注意等價轉(zhuǎn)化即分離參數(shù)法與放 縮法的技巧應(yīng)用縮法的技巧應(yīng)用. . 【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】 1.1.已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列aan n 的前的前n n項和為項和為S Sn n,a,a1 1=-9,a=-9,a2 2+a+a3 3=-12,=-12, 則使則使S Sn n取得最小值時取得最小值時n n的值為的值為 (