最新6定積分——求曲線的弧長

1、平面曲線的弧長平面曲線的弧長 定義定義: 若在弧若在弧 AB 上任意作內(nèi)接折線上任意作內(nèi)接折線 , 0 M 1i M i M n M A B y o x 當(dāng)折線段的最大當(dāng)折線段的最大 0 時時,折線的長度趨向于一個確定的極限折線的長度趨向于一個確定的極限 , 此極限為曲線弧此極限為曲線弧 AB 的弧長的弧長 , 即即 并稱此曲線弧為可求長的并稱此曲線弧為可求長的. ii MM 1 定理定理: 任意光滑曲線弧都是可求長的任意光滑曲線弧都是可求長的. ( (證明略證明略) ) n i 1 0 lim s 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則稱則稱 6定積分求曲線的弧長 一、一、 弧微分弧微分 )

2、(xfy 設(shè)設(shè) 在在(a , b)內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù), 其圖形為其圖形為 AB, 弧長弧長)(xsAMs x s MM MM x MM MM MM x yx 22 )()( MM MM 2 )(1 x y x s xs x 0 lim)( 2 )(1 y x A B )(xfy a b x o y x M xx M y 1lim 0 MM MM x 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 6定積分求曲線的弧長 則弧長微分公式為則弧長微分公式為 ttytxsd)()(d 22 )(xs 2 )(1 y xysd)(1d 2 或或 22 )(d)(ddyxs 若曲線由參數(shù)方程表示若曲線由參數(shù)方程

3、表示: )( )( tyy txx 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 弧微分公式弧微分公式 sd y xab o (1) 曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出: )()(bxaxfy )(xfy 弧長元素弧長元素(弧微分弧微分) : xxxd xyd1 2 因此所求弧長因此所求弧長 xys b a d1 2 xxf b a d)(1 2 22 )(d)(ddyxs 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (2) 曲線弧由參數(shù)方程給出曲線弧由參數(shù)方程給出: )( )( )( t ty tx 弧長元素弧長元素(弧微分弧微分) : 因此所求弧長因此所求弧長 tttsd)()( 22 ttt

4、d)()( 22 22 )(d)(ddyxs 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (3) 曲線弧由極坐標(biāo)方程給出曲線弧由極坐標(biāo)方程給出: )()( rr ,sin)(,cos)(ryrx令 因此所求弧長因此所求弧長 d)()( 22 rrs d)()( 22 yx d)()( 22 rr 則得則得 sd 弧長元素弧長元素(弧微分弧微分) : 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )ch( c x c c x c csh 1 例例9. 兩根電線桿之間的電線兩根電線桿之間的電線, 由于其本身的重量由于其本身的重量, )(chbxb c x cy 成懸鏈線成懸鏈線 . 求這一段弧長求這一段弧長 . 解

5、解: xysd1d 2 x c x dsh1 2 x c x dch b x c x s 0 dch2 c x c sh2 0 b c b csh2 2 ch xx ee x ) (chx 2 sh xx ee x ) (sh x xsh xch 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 c xbb o y 下垂下垂 懸鏈線方程為懸鏈線方程為 例例10. 求連續(xù)曲線段求連續(xù)曲線段tty x dcos 2 解解:,0cosx 22 x xysd1 2 2 2 的弧長的弧長. xxd)cos(12 2 0 2 x x d 2 cos22 2 0 0sin222 2 2 x 4 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返

6、回 結(jié)束 例例11. 計算擺線計算擺線 )cos1 ( )sin( tay ttax )0( a 一拱一拱)20(t 的弧長的弧長 . 解解:ts t y t x d)()(d 2 d d2 d d )cos1 ( 22 tata 22 sintd ttad)cos1 (2 t t ad 2 sin2 t t asd 2 sin2 2 0 2 cos22 t a 0 2 a8 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 x y oa2 d 222 aa 例例12. 求阿基米德螺線求阿基米德螺線 相應(yīng)于 02 一段的弧長一段的弧長 . 解解: )0( aar x a2 o ar d)()( 22 rrsd d1 2 a d1 2 0 2 as (P25