數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文

1、目 錄摘要1abstract11問(wèn)題的提出22研究目的和意義2 21研究目的 22研究意義 221理論意義 222實(shí)踐意義3研究的思想和主要方法 31研究思路 32研究方法4排列組合的主要內(nèi)容41理解基本概念：分清兩個(gè)原理 42分清排列和組合5排列組合體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想51特殊化思想52分類(lèi)思想53求補(bǔ)思想54化歸思想55轉(zhuǎn)化思想551從數(shù)量、形式上轉(zhuǎn)化552從觀念理解上進(jìn)行轉(zhuǎn)化553從綜合題的辯析中進(jìn)行轉(zhuǎn)化6排列組合的巧妙解法7 結(jié)論參考文獻(xiàn)致謝 高中數(shù)學(xué)新課改背景下組合與排列教學(xué)研究 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 指導(dǎo)老師 摘要：在新課標(biāo)改革背景下，為了找出更加適合學(xué)生和教師對(duì)排列組合內(nèi)容的

2、學(xué)習(xí)和教學(xué)方法，采用文獻(xiàn)資料法、調(diào)查法、個(gè)案分析法、比較分析法等，從高中生學(xué)習(xí)排列組合的特點(diǎn)著手，介紹了排列組合的基本概念、基本思想，通過(guò)一些例子具體的證明了概念和思想在解題中的重要性，還介紹了排列組合的一些特殊解法，并一一舉例說(shuō)明。由此得出要采用適當(dāng)?shù)姆椒?，了解其中包含的思想，才能正確解答有關(guān)排列組合的難題。關(guān)鍵字：排列組合；數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)high school mathematics curriculum and arrangement of teaching and research portfolioqiu jucollege of mathematics and informat

3、ion, mathematics and applied mathematics grade 2007， instructor： tang shan-gangabstract：under the new curriculum reform in order to find a more suitable combinations of students and teachers on the content of the learning and teaching methods, this paper, literature, investigation, case analysis, co

4、mparative analysis, etc from the combinations of high school students learning feature set, introduces the basic concepts of permutations and combinations, basic idea, through some specific examples of proof of concept and the importance of thinking in solving problems, but also introduced some spec

5、ial combinations of solution, and eleven example, let we can clearly understand the permutations and combinations in the teaching and learning should be noted that a number of issues, so that it can better learn and teach this chapterthe resulting appropriate method to be used to understand the thou

6、ghts contained in order to correctly answer questions about permutation and combination problems. key words： high school 刪除劃線(xiàn)permutations and combinations；maths learning；maths teaching1 問(wèn)題的提出在高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中，排列與組合一直是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)。這種以計(jì)數(shù)問(wèn)題為特征的內(nèi)容在中學(xué)數(shù)學(xué)中是較為特殊的，由于其思想方法比較獨(dú)特靈活，因而它也是發(fā)展學(xué)生抽象能力和邏輯思維能力的好素材，可用于訓(xùn)練學(xué)生在計(jì)數(shù)、猜想

7、、一般化和系統(tǒng)思維等方面得能力，有助于發(fā)展如等價(jià)和順序關(guān)系等概念。概率的計(jì)算和組合概念的發(fā)展是相互聯(lián)系的，因而排列組合是為學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)儲(chǔ)備知識(shí)1。文獻(xiàn)1給出了目前國(guó)內(nèi)外對(duì)該論題的研究現(xiàn)狀、水平及發(fā)展趨勢(shì)。研究此論題的理論意義、實(shí)踐意義。給出了排列組合的的等價(jià)定義，定義中包含的內(nèi)容，組合排列的性質(zhì)，還有排列組合中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想。高中生應(yīng)重視排列組合的學(xué)習(xí)，不但從中體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法，提高數(shù)學(xué)能力，而且還可以和其他知識(shí)領(lǐng)域結(jié)合。然而，經(jīng)過(guò)文獻(xiàn)查閱發(fā)現(xiàn)排列組合教學(xué)方面的資料比較少，學(xué)生在學(xué)習(xí)這章知識(shí)普遍感到困難排列組合相對(duì)于其他章節(jié)的數(shù)學(xué)內(nèi)容來(lái)說(shuō)比較獨(dú)立，涉及的都是正整數(shù)，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)不存在以前所學(xué)數(shù)

8、學(xué)基礎(chǔ)好壞的問(wèn)題。那么學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中哪些知識(shí)點(diǎn)上感到困難？造成困難的因素是什么？是什么原因引起的？作為排列組合教學(xué)的現(xiàn)狀是怎樣？存在哪些問(wèn)題？如有，應(yīng)該怎樣改?要解決這些問(wèn)題需要進(jìn)一步的研究。2研究目的和意義21研究目的本研究試圖在排列組合教學(xué)研究文獻(xiàn)的分析、教學(xué)現(xiàn)狀調(diào)研基礎(chǔ)上，探索提高教學(xué)質(zhì)量的途徑和方法。22研究意義221理論意義本研究可豐富排列組合教學(xué)研究的文獻(xiàn)，為教師在排列組合教學(xué)做進(jìn)一步研究提供參考、幫助；為提高高中生排列組合學(xué)習(xí)效率提供理論依據(jù)。2.2.2實(shí)踐意義本研究對(duì)教師在排列組合的教學(xué)有所幫助促進(jìn)，為實(shí)際教學(xué)提供了參考依據(jù)，教師可通過(guò)本研究找到教學(xué)中不足，從而改進(jìn)教學(xué)方法、

9、教學(xué)策略；學(xué)生可通過(guò)本研究了解自身學(xué)習(xí)中存在的問(wèn)題及原因，從而改進(jìn)學(xué)習(xí)方式。3研究的思路和主要方法3.1研究思路本課題主要研究高中生學(xué)習(xí)排列組合的必要性、可行性及教師現(xiàn)階段如何教學(xué)，今后如何改進(jìn)等方面內(nèi)容。3.2研究方法本研究主要采用的研究方法主要包括：文獻(xiàn)法、調(diào)查法、個(gè)案分析法、比較分析法。4排列組合的主要內(nèi)容4.1理解基本概念：分清兩個(gè)原理學(xué)好分類(lèi)計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理是學(xué)習(xí)本章的基礎(chǔ)，起應(yīng)用貫穿于本章始終。分清這兩個(gè)原理的關(guān)鍵在于明確完成一個(gè)事件是需要“分類(lèi)”還是“分步”完成?！白鲆患?，完成它可以有n類(lèi)方法”，這里是對(duì)完成這件事件的所有方法的一個(gè)分類(lèi)，每一輛尅方法都能單獨(dú)完成這件事。分

10、類(lèi)時(shí)，首先要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)確定一個(gè)適當(dāng)?shù)姆诸?lèi)標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類(lèi)；其次，分類(lèi)時(shí)要注意滿(mǎn)足一條基本要求：每一種方法必須屬于而且只能屬于某一類(lèi)。只有滿(mǎn)足這一點(diǎn)，才可以用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理?！白鲆皇录瓿伤枰殖蒼個(gè)步驟”，這里指完成這件事的任何一種方法，都要經(jīng)過(guò)n個(gè)步驟才能完成這一件事。分步時(shí)，首先要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，確定一個(gè)分步的可行標(biāo)準(zhǔn)，然后再這個(gè)確定的標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分步，其次要注意分步時(shí)需要滿(mǎn)足一個(gè)基本要求：完成這件事必須完成這n個(gè)步驟后才算圓滿(mǎn)完成。只有滿(mǎn)足這些條件，才能用分步計(jì)數(shù)原理。2文獻(xiàn)2給出了怎樣理解排列組合的基本概念，怎樣區(qū)分排列、組合問(wèn)題，必須要分清兩個(gè)原理：分類(lèi)計(jì)數(shù)原理和分

11、步計(jì)數(shù)原理，并列舉了實(shí)際怎樣區(qū)分這兩個(gè)原理。例4.1某外語(yǔ)組有9人，每人至少會(huì)英語(yǔ)和日語(yǔ)中的一門(mén)，其中7人會(huì)英語(yǔ)，3人會(huì)日語(yǔ)，從中選出會(huì)英語(yǔ)和日語(yǔ)各一人，有多少種不同的選法？分析“完成一件事”指從9人中選出會(huì)英語(yǔ)和日語(yǔ)各一人，由題意可知，9人中既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ)只有1人，因此可根據(jù)此人是否當(dāng)選將所有選法分為三類(lèi)：（1）此人不當(dāng)選；（2）此人按英語(yǔ)當(dāng)選；（3）此人按日語(yǔ)當(dāng)選。解：既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ)的有7+3-9=1人，僅會(huì)英語(yǔ)的有6人，僅會(huì)日語(yǔ)的有2人，先分類(lèi)，后分步，先從僅會(huì)英語(yǔ)、日語(yǔ)的人中各選一人，有62種選法，從僅僅會(huì)英語(yǔ)和英語(yǔ)、日語(yǔ)都會(huì)的人中各選一人，有61種選法，從僅僅會(huì)日語(yǔ)與英語(yǔ)、日語(yǔ)都

12、會(huì)的人中各選1人，有21種選法，根據(jù)加法原理，一共有62+61+21=20種不同的選法。分類(lèi)討論解決的問(wèn)題，必須思維清晰，保證分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)的唯一性，這樣才能保證分類(lèi)不重復(fù)，不遺漏。4.2分清排列與組合排列：從知識(shí)體系來(lái)看，處于一個(gè)承上啟下的地位。它既在推導(dǎo)排列數(shù)公式的過(guò)程中使分步計(jì)數(shù)原理獲得了重要應(yīng)用，又使排列數(shù)公式成為推導(dǎo)組合數(shù)公式的主要依據(jù)。排列的定義包含兩個(gè)基本內(nèi)容：一是“取出元素”；一是“按照一定順序排列”。“一定順序”就是與位置有關(guān)。排列數(shù)公式的導(dǎo)出需要強(qiáng)調(diào)一段話(huà)“每一種填法就得到一個(gè)排列；反過(guò)來(lái)，任意一個(gè)排列總可以由這樣的一種天罰得到”。這說(shuō)明“一個(gè)排列”與“一種填法”是一一對(duì)應(yīng)的，因

13、此通過(guò)分步計(jì)數(shù)原理得到的所有不同的填法總數(shù)就是所要的排列數(shù)。組合和排列所研究的問(wèn)題完全平行，并且組合數(shù)公式的推導(dǎo)要依據(jù)排列數(shù)公式。組合的定義包含一個(gè)基本內(nèi)容：就是“按照一定的方法取出元素”。相同排列：元素個(gè)數(shù)相同；所含元素相同；各個(gè)元素排列的先后順序相同。相同組合：元素個(gè)數(shù)相同；所含元素相同。組合數(shù)公式的推導(dǎo)，從最簡(jiǎn)單的情況入手，在具體例子的基礎(chǔ)上歸納出來(lái)的。推導(dǎo)的思路是依據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，從個(gè)不同的元素任取個(gè)的排列數(shù)分成先“求組合數(shù)”，后求“全排列數(shù)”兩步完成。這樣更清楚地揭示出組合與排列的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而利用這種對(duì)應(yīng)關(guān)系和已知的排列數(shù)公式得到組合數(shù)公式。組合數(shù)性質(zhì)：性質(zhì)1：cnm=cnn-m是

14、解釋從n個(gè)元素中取m個(gè)與從n個(gè)元素中取n一m個(gè)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系為主線(xiàn)，由特殊延伸到一般得到結(jié)論。并利用組合數(shù)公式對(duì)性質(zhì)1證明，以提高學(xué)生對(duì)組合式子的變形能力。性質(zhì)2：cn+1m=cnm+cnm-1也是從具體例題中發(fā)現(xiàn)并解釋?zhuān)偻茝V到一般情況。分清一個(gè)具體問(wèn)題是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題，關(guān)鍵在于看從n個(gè)不同元素取出m（m小于等于n）個(gè)元素是否與順序有關(guān)，有序的是排列問(wèn)題，無(wú)序則屬于組合問(wèn)題。排列組合問(wèn)題的共同點(diǎn)是“從n個(gè)不同元素中，任取m個(gè)元素”，取出的元素均為不同元素，排列與m個(gè)元素的順序有關(guān)，組合與m個(gè)元素的順序無(wú)關(guān)。以此來(lái)區(qū)分是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題。例如：從1、2、3這3個(gè)數(shù)中每次出2個(gè)數(shù)相乘，

15、有多少不同的積，就與位置無(wú)關(guān)，是組合問(wèn)題；問(wèn)2個(gè)數(shù)相除有多少個(gè)不同的商，就與位置有關(guān)，是排列問(wèn)題。5排列組合體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，我們?cè)诮鉀Q任何數(shù)學(xué)問(wèn)題無(wú)不在某種數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下進(jìn)行的，同時(shí)，數(shù)學(xué)思想 又是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通的理解和升華，是一個(gè)更深層次的內(nèi)容，數(shù)學(xué)中只有從講授某些具體教學(xué)內(nèi)容的表層知識(shí)時(shí)去挖掘深層的數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)知識(shí)才有了核心，學(xué)生頭腦中才會(huì)形成完整的知識(shí)體系。因此，在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)注意數(shù)學(xué)思想的滲透。排列和組合是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的重要組成部分之一，它在解決實(shí)際問(wèn)題以及科學(xué)技術(shù)的研究中都有廣泛的應(yīng)用;并且是今后學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)等知識(shí)的基礎(chǔ)，邏輯推理更是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基

16、礎(chǔ)，同時(shí)也是發(fā)展學(xué)生邏輯推理能力的良好素材。在排列組合問(wèn)題中充分體現(xiàn)了對(duì)稱(chēng)、分類(lèi)、等價(jià)轉(zhuǎn)化、整體、方程、類(lèi)比、集合、映射、化歸的數(shù)學(xué)思想。3它應(yīng)用性強(qiáng)，具有題型多變，條件隱晦，思維抽象，分類(lèi)復(fù)雜，問(wèn)題交錯(cuò)，易出現(xiàn)重復(fù)和遺漏以及不易發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤等特征。讓學(xué)生通過(guò)觀察、操作、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、推理與交流等活動(dòng)，初步感受數(shù)學(xué)思想方法的奇妙與作用，受到數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練，逐步形成有順序地、全面地思考問(wèn)題的意識(shí)，同時(shí)培養(yǎng)他們探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的興趣與欲望，發(fā)現(xiàn)、欣賞數(shù)學(xué)美的意識(shí)，進(jìn)而達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)第一學(xué)段的要求：使學(xué)生“在解決問(wèn)題的過(guò)程中，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的、有條理的思考”。45.1特殊化思想特殊化思想是利用問(wèn)題中的特殊因素，采取特殊

17、方法解決問(wèn)題的思維過(guò)程。對(duì)于有條件限制的排列組合應(yīng)用問(wèn)題，應(yīng)抓住其中的特殊元素和特殊位置，對(duì)它們優(yōu)先考慮或采取特殊的手段處理。5文獻(xiàn)5結(jié)合排列組合一章的教學(xué)內(nèi)容概括了數(shù)學(xué)思想的滲透問(wèn)題。例5.17人排成一排，分別滿(mǎn)足下列條件的排法有多少種？6（1）甲乙2人在兩端，丙不在正中間。（2）甲乙丙互不相鄰。（3）甲乙丙必須相鄰。分析：（1）把7人排成一排看作有7個(gè)位置7個(gè)元素，先安排甲、乙、丙這3個(gè)“特殊元素”，再排其余4人，排法共有(種)。（2）先除去甲、乙、丙這三個(gè)“特殊元素”，考慮其他4人排隊(duì)，然后在4人之間的5個(gè)空隙（包括頭尾）中插入甲、乙、丙排法共有（種）。（3）先將甲、乙、丙3人看作一體，

18、認(rèn)為是一個(gè)“特殊元素”，與其他人排隊(duì)共有種排法，再考慮甲、乙、丙之間又有順序，故排法共有（種）。例5.1的某些拓展： 若有個(gè)人排成一列，其中有個(gè)人互不相鄰的排法數(shù)？分析：先除去這個(gè)“特殊元素”，考慮其他個(gè)人排隊(duì)，然后在人之間的個(gè)空隙（包括頭尾）中插入這人。還有要先從人中選出人的方法有，然后再進(jìn)行排列。故滿(mǎn)足條件的排法共有（種）。5.2分類(lèi)思想當(dāng)所遇到的問(wèn)題情境復(fù)雜、層次多、視角廣時(shí)，可以按照一定的標(biāo)準(zhǔn)，分成一系列不同層次或不同的側(cè)面，從而把原問(wèn)題變成了幾個(gè)小問(wèn)題逐一加以解決。這就是分類(lèi)思想。把復(fù)雜的簡(jiǎn)單化，非常有利于問(wèn)題的解決。75.3求補(bǔ)思想解決某些排列組合問(wèn)題時(shí)，可以先考慮沒(méi)有限制時(shí)的排列

19、（或組合）的總數(shù)，再?gòu)闹袦p去其中所以不滿(mǎn)足條件的排列（或組合）的個(gè)數(shù)，就得所求滿(mǎn)足條件的總數(shù)。例5.3以正方體的8個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角三角形共有多少個(gè)？解：以正方體的8個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的個(gè)數(shù)為，其中非直角三角形的個(gè)數(shù)為8，故以正方體的8個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角三角形共有（個(gè)）。5.4化歸思想化歸思想的實(shí)質(zhì)是化繁為簡(jiǎn)，化難為易，化未知為已知。某些排列組合問(wèn)題的解決過(guò)程，就是應(yīng)用化歸思想的過(guò)程。例5.4.1 馬路上有編號(hào)為1、2、38、9、10的十只路燈，為節(jié)約用電，可把其中的三只路燈關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩只或者三只，也不能關(guān)掉兩端的路燈，則滿(mǎn)足條件的關(guān)燈方法共有多少種？分析：用“*”表示被關(guān)的

20、燈，用“o”表示不被關(guān)的燈例如：“o*oo*o*ooo”表示第2、5、7號(hào)燈被關(guān)掉，由此可見(jiàn)，問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為：求7個(gè)“o”形成的6個(gè)“空”（不包括首尾）中選出3個(gè)的組合數(shù)。答案應(yīng)為=20（種）。例5.4.2 把20個(gè)相同的小球放入編號(hào)為1、2、3的3個(gè)盒子中，使得每個(gè)盒子中的球數(shù)不少于它的編號(hào)，那么不同的放法共有多少種？分析1：先分別放入2號(hào)、3號(hào)盒子中1個(gè)、2個(gè)球，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：求把剩余的17個(gè)球放入3個(gè)盒子中，使得每個(gè)盒子中至少放入1個(gè)球的放法，而此問(wèn)題又等價(jià)于：求不定方程x+y+z=17的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)，也就是求用兩條豎線(xiàn)將排在一排的17個(gè)“1”分成三組的方法數(shù)，最終將問(wèn)題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為：求由

21、17個(gè)“1”形成的16個(gè)“空”（不包括首尾）中選出2個(gè)的組合數(shù)。答案應(yīng)為種。分析2：先分別放入1號(hào)、2號(hào)、3號(hào)盒子中1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)球，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：求剩余的14個(gè)球任意放入3個(gè)盒子中的放法。按各個(gè)盒中放球的個(gè)數(shù)分類(lèi)可求得：共有不同放法（種）。5.5轉(zhuǎn)化思想5.5.1從數(shù)量、形式上進(jìn)行轉(zhuǎn)化8文獻(xiàn)10給出了從3個(gè)方面介紹了排列組合中“轉(zhuǎn)化思想”的應(yīng)用。 例5.5.1 教育局組織12人的考察團(tuán)，名額分給9所學(xué)校，每校至少1個(gè)名額，共有多少種方案 ？ 解析：12個(gè)名額是相同的元素，分給 9個(gè)不同的對(duì)象，每個(gè)對(duì)象至少有一個(gè)元素，有c118=165種方法。注： 這是隔板法的老題，同學(xué)們一般都答對(duì)，而新高

22、考以考察能力為重點(diǎn)，同樣的知識(shí)點(diǎn)， 可以用不同形式來(lái)考察。 請(qǐng)看下例。教育局組織30人的考察團(tuán)，名額分給9所學(xué)校，每校至少3個(gè)名額， 共有多少種方案？解析： 直接做比較困難，且本題不屬于我們常記的題型， 但可以轉(zhuǎn)化為我們常見(jiàn)的題型， 如下： 方案的同否只與名額的個(gè)數(shù)有關(guān)，因此每個(gè)學(xué)校先給兩個(gè)名額，并不影響總的方法數(shù)，由此本題可轉(zhuǎn)化為 12個(gè)名額分給 9 所學(xué)校， 每校至少1個(gè)名額。 答案有c118=165 種方法。注： 我們稱(chēng)這種轉(zhuǎn)化為“減量法”。教育局組織3人的考察團(tuán)， 名額分給9所學(xué)校， 共有多少種方案 ？解析：3個(gè)名額分給 9 所學(xué)校，顯然有學(xué)校分不到，若一一列舉，太煩瑣。怎么辦 ？(可

23、以分三類(lèi)： c91+a92+c93)我們發(fā)現(xiàn)若額外的每個(gè)學(xué)校給一個(gè)名額,方法數(shù)不變，(設(shè)3個(gè)名額分給9所學(xué)校共有x 種案，根據(jù)分步原理：額外的每個(gè)學(xué)校給一個(gè)名額，再將3個(gè)名額分給9所學(xué)校。共有 1x = x 種方法。如此本題轉(zhuǎn)化為上述題型，有 種方法。注：我們稱(chēng)這種轉(zhuǎn)化為“增量法”。5.5.2從觀念理解上進(jìn)行轉(zhuǎn)化例5.5.29 求 x + y + z + m = 24 共有多少組正整數(shù)解？解析：此題分類(lèi)不易解決。若用窮舉法，未知數(shù)太多，不宜入手。若尋找解多元方程的思想，更不可取。不妨轉(zhuǎn)化一下觀念：因?yàn)榍蟮氖钦麛?shù)解，可看作 24個(gè)同色小球放入 4個(gè)相同盒子，每個(gè)盒子至少一球的方法數(shù)。 即 種方

24、法。5.5.3從綜合題的辨析中進(jìn)行轉(zhuǎn)化例5.5.3 把體育組 9個(gè)相同的足球放入編號(hào)為 1、2、3 的三個(gè)箱子里，要求每個(gè)箱子放球的個(gè)數(shù)不少于其編號(hào)數(shù)，則不同的方法有多少種 ？解析：設(shè) x + y + z =9，且 x 1， y 2， z3， x、y、z n*。令 y= y 1， z= z 2，則本題轉(zhuǎn)化為x+ y+ z= 6 共有多少正整數(shù)解？易知c52=10 種。實(shí)際上，我們可以解釋為先放入2號(hào)箱 1 球，放入 3 號(hào) 箱 2 球共 1 種放法（因?yàn)槭窍嗤淖闱? 為第一步， 再將剩下的6 球放入三個(gè)箱子， 每箱至少一球?yàn)榈诙剑鶕?jù)分步原理，得共種方法。數(shù)學(xué)思想的滲透是在具體教學(xué)問(wèn)題的分

25、析和教學(xué)過(guò)程中實(shí)現(xiàn)的。堅(jiān)持在課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想是提高課堂教學(xué)效果，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的一種非常有效的作法。106排列組合的巧妙解法排列組合應(yīng)用題應(yīng)用廣泛，題型多變，條件隱晦，思維抽象，得數(shù)頗大，不易驗(yàn)證，因而在解這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，要做到：排列組合分清，加、乘辨明，避免重、漏。在教學(xué)過(guò)程中非常有必要把書(shū)本知識(shí)進(jìn)行活化，在課堂上運(yùn)用數(shù)學(xué)思維的滲透引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、比較、聯(lián)想、分析、綜合、抽象、概括等思維過(guò)程去理解知識(shí)、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、總結(jié)方法?？偟膩?lái)說(shuō)，可以概括為11“八字方針”，即“加、減、乘、除、捆、插、隔、化”。文獻(xiàn)11給出了在解排列組合問(wèn)題的思想過(guò)程中提煉的思想方法，簡(jiǎn)稱(chēng)“八字方針”。6.1

26、加“加”就是分類(lèi)計(jì)數(shù)原理在解題中的運(yùn)用。完成一件事，有n類(lèi)方法，在第一類(lèi)方法中有種不同的方法，在第二類(lèi)方法中有類(lèi)不同的方法，在第n類(lèi)方法中有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法。126.2減“減”是分類(lèi)計(jì)數(shù)原理中逆方向解題中的運(yùn)用。完成一件事，當(dāng)正面解決分類(lèi)較困難，而不完成這件事的情況卻容易分類(lèi)時(shí)，則只需在完成這件事與否的方法總數(shù)中，減去不完成這件事的方法總數(shù)即可。6.3乘“乘”就是 分步計(jì)數(shù)原理中在解題的運(yùn)用。完成一件事，需要分成個(gè)步驟，這個(gè)步驟是連續(xù)的，只有完成每一步事情才算完成，即是說(shuō)步與步之間存在著“相互串聯(lián)”的物理意義。6.4除“除”是針對(duì)問(wèn)題中具有“對(duì)稱(chēng)”關(guān)系而采用的一種方

27、法。如果完成一件事中存在著一些特殊的元素，將這些元素相互對(duì)換以后，并不會(huì)影響完成這件事的方法總數(shù)，我們就稱(chēng)這些元素具有“對(duì)稱(chēng)”關(guān)系。例6.410個(gè)人坐成一排，其中甲在乙的左邊，甲乙不一定相鄰的坐法共有多少種？分析：?jiǎn)栴}中的甲乙是兩個(gè)特殊元素，把題中的條件“甲在乙的左邊”對(duì)換成“乙在甲的左邊”，其方法總數(shù)是一樣的，所以甲與乙具有“對(duì)稱(chēng)”關(guān)系?！凹自谝业淖筮叀焙汀耙以诩椎淖筮叀钡淖?，應(yīng)各占坐法總數(shù)的一半。解：10個(gè)人坐成一排的坐法總數(shù)有種，因此甲在乙的左邊的坐法總數(shù)為2。例6.4的拓展 ：上述問(wèn)題可以拓展為更一般的“定序”問(wèn)題。將n個(gè)不同的元素排成一列，其中在的左邊，在的左邊，在的左邊（不一定相

28、鄰），總共有種排法。另外 ，在平均分組問(wèn)題中，由于各組內(nèi)的元素個(gè)數(shù)相同 ，所以組內(nèi)的元素進(jìn)行整體對(duì)換后分組總數(shù)不受影響，即組與組是“對(duì)稱(chēng)”的。因而 ，平均分組問(wèn)題同樣可運(yùn)用“除”法解決。6.5捆“捆”是對(duì)元素進(jìn)行整體處理的形象化描述。我們只要把必須相鄰的元素“捆”成一個(gè)整體，就能保證這些元素相鄰而不散亂。例6.5 把 4 封信投入三個(gè)信箱的兩個(gè)中 ，有多少種不同投法 ？分析：4 封信的投法分為兩類(lèi)，第一類(lèi)是一個(gè)信箱 3 封，一個(gè)信箱 1 封；第二類(lèi)是兩個(gè)信箱各 2 封?？紤]第一類(lèi)的方法種數(shù)時(shí)，為了保證 3 封信同一個(gè)信箱,需要將其中的 3 封信“捆”一個(gè)單元素處理；同理 ，在考慮第二類(lèi)方法總數(shù)

29、時(shí) ，需要將其中的每個(gè) 2 封信各“捆”成一個(gè)單元素處理。解當(dāng)一個(gè)信箱 3 封 ，一個(gè)信箱 1 封時(shí)，有種投法；當(dāng)兩個(gè)信箱各投 2 封時(shí) ，先將 4 封“捆”成兩堆(平均分組) ，有 種 ，再投入三個(gè)信箱有種 ，此類(lèi)中共有種方法。因此，4 封信投入三個(gè)信箱中的其中兩個(gè)，共有+=42種方法。點(diǎn)擊“折射”：特殊元素被“捆”之后 ,其整體處理的方式可折射成多個(gè)方向，既可作為單元素排列，也可作為單元素組合，還可作為單元素平移等等。例如：是等差數(shù)列，從，中任取 3 個(gè)不同的數(shù)，使這三個(gè)數(shù)仍成等差數(shù)列 ，則這樣不同的等差數(shù)列最多有(18 + 16 + 14 + + 2) 2 = 180 個(gè)。究其方法 ，就

30、是將元素“捆”后平移。上例的拓展：將n個(gè)蘋(píng)果分成任意的3堆，分法數(shù)共有多少？如果任意兩堆蘋(píng)果的和大于第三堆，那么分法數(shù)又有多少？分析：要分成3堆，必須每一堆都有1個(gè)（包含1個(gè)）以上的蘋(píng)果，共有cn-12 種。 此問(wèn)題留在以后教學(xué)中解決。6.6插“插”是保證某些特殊元素互不相鄰的常用手段，如例4中關(guān)燈的方法。在具體操作時(shí)，是先將普通元素排列，然后將這些特殊元素“插入”普通元素的間隙之間，從而保證它們互不相鄰的要求。6.7隔“隔”的思想方法適用于整數(shù)分解型排列與組合問(wèn)題。其思路是先把整數(shù)分解成單位數(shù)1的和，然后把這個(gè)和式分隔成若干段，使每種分隔都和完成事情的一種方法相對(duì)應(yīng)。例6.7.1方程+=99

31、（xi，i=1,2,3,4，5），有多少組解？分析：99=1+1+1+1，完成事情的要求是把99個(gè)1分配到5個(gè)位置上，完成事情的每種方法都對(duì)應(yīng)著右邊和式分隔成5段得一種方法，分割點(diǎn)顯然就是98個(gè)“+”號(hào)。解：由99=1+1+1+1知，右邊的和式分隔成5段有種方法，也就是得知方程有組解。例672某學(xué)校從高中三個(gè)年級(jí)中選 20人組成校田徑隊(duì) ，要求高一至少 4 人，高二至少 5 人，高三至少 6 人 ，共有幾種選法 ?解先確定高一選 3 人 ，高二選 4 人，高三選 5 人，再在三個(gè)年級(jí)中選 8 人。對(duì)這 8 人的選擇條件應(yīng)該是高一、高二、高三都至少選1 人，具備“隔”法前提。所以田徑隊(duì)員的選法共

32、c73=35 種。點(diǎn)擊“難點(diǎn)”：從“隔”法中不難發(fā)現(xiàn) ，采用“隔”需要具有一定的前提：分隔段至少要有一個(gè)單位數(shù) 1。否則 ，將失去方法與分隔段之間的一一對(duì)應(yīng)“隔 ”，就無(wú)法保證結(jié)果的正確性。因此 ，構(gòu)建“隔”的前提是“隔”法中的難點(diǎn)。6.8化即是化歸思想?！盎本褪峭ㄟ^(guò)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系 ，尋求由此及彼、由近及遠(yuǎn)、由易及難的解題途徑。例 6.8 若凸八邊形的對(duì)角線(xiàn)兩兩相交且除頂點(diǎn)外再無(wú)三線(xiàn)共點(diǎn)，試問(wèn)這些交點(diǎn)有多少個(gè)在其內(nèi)部 ?分析凸八邊形共有條對(duì)角線(xiàn) ，這些對(duì)角線(xiàn)共有 個(gè)交點(diǎn)，要從這 118個(gè)交點(diǎn)中找出有多少個(gè)在其內(nèi)部 ，難度可想而知。但我們只要注意到內(nèi)部的交點(diǎn)與以凸八邊形的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形成一

33、一對(duì)應(yīng) ，問(wèn)題變得十分簡(jiǎn)單了。解以凸八邊形的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形共有個(gè)，即對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)有70個(gè)在凸八邊形的內(nèi)部。7實(shí)際應(yīng)用中常見(jiàn)錯(cuò)誤 在運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和“八字方針”解決排列組合問(wèn)題時(shí)，往往由于輕視，覺(jué)得基本原理和基本公式都十分簡(jiǎn)單，在解題是就容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，常見(jiàn)的錯(cuò)誤如下：文獻(xiàn)13歸納了再解答排列組合問(wèn)題時(shí)學(xué)生常常犯的一些錯(cuò)誤，一般都是對(duì)概念理解不夠深入，并給出了大量例子來(lái)指導(dǎo)，避免再次犯這種常見(jiàn)錯(cuò)誤。7.1錯(cuò)誤理解分類(lèi)計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理例7.1有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙、丙各需1人承擔(dān)，從10人中選派4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法有。13錯(cuò)誤解法：+=60種。解法的錯(cuò)誤在于：把、當(dāng)

34、作完成任務(wù)的方法，我們應(yīng)該注意：方法與步驟的區(qū)別在于：方法可以完成任務(wù)的全部，而步驟僅僅解決任務(wù)的一部分，所以在這里、是解決任務(wù)的步驟。正確解答：=2520種。7.2錯(cuò)誤地選擇分析對(duì)象例7.2已知10位同學(xué)參加三項(xiàng)田徑比賽，決出前三名（不允許并列名次）。有多少種情況？錯(cuò)誤解答：第一名同學(xué)有9種選擇；第二名同學(xué)有8種選擇；以此類(lèi)推分析：第一名同學(xué)不僅僅有9種選擇，還有可能沒(méi)有名次，如果進(jìn)行分類(lèi)討論，由于每位同學(xué)都可能有名次，也可能沒(méi)名次，所以情況非常復(fù)雜。解：以名次為分析對(duì)象第一項(xiàng)比賽：第一名有10種可能，第二名有9種可能，第三名有8種可能；第二項(xiàng)比賽：第一名有10種可能，第二名有9種可能，第三

35、名有8種可能；第三項(xiàng)比賽：第一名有10種可能，第二名有9種可能，第三名有8種可能。故有：種。7.3重復(fù)計(jì)數(shù)這一點(diǎn)相比于其他的常見(jiàn)錯(cuò)誤相對(duì)簡(jiǎn)單一些，如果我們學(xué)會(huì)采用合理的方法進(jìn)行解題，可以做到減少此類(lèi)問(wèn)題發(fā)生。7.4忽略特殊情況 7.5無(wú)法有效轉(zhuǎn)換例751圓周上有個(gè)等分點(diǎn)（，），以其中三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角三角形的個(gè)數(shù)為。在解此題時(shí)許多人覺(jué)得無(wú)法動(dòng)筆，我們對(duì)直角三角形可以理解，一邊為直徑，故所求直角三角形有即個(gè)。例7.5.2 有甲、乙、丙、丁等10個(gè)人一起吃飯，他們選擇了一張圓木桌，其中甲、乙不能相鄰，甲、丙不能相鄰，乙、丙不能相鄰，請(qǐng)問(wèn)他們的坐法共有多少種？分析：這是一個(gè)圓排列問(wèn)題，與直線(xiàn)排列有差別，在此問(wèn)題中我們將甲、乙、丙三人看作特殊元素，考慮先將其他7人先安排好，7人的排列方法有種，再將他們?nèi)伺帕杏?！種方法。所以此題的解決方法共有種。再將此問(wèn)題拓展為“有個(gè)人圍著圓桌而坐，其中有個(gè)人互不相鄰的的坐法數(shù)，其中”改過(guò)來(lái)分析：此題中互不相鄰的個(gè)人并不是指定的，且。 首先我們從中選擇個(gè)人的方法有種，然后將這個(gè)人除開(kāi)，將剩下的個(gè)人