九年級數(shù)學(xué)下冊第2章圓知識歸納新版湘教版

1、圓 24.1 圓 定義：（1）平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓。 （2)平面上一條線段，繞它的一端旋轉(zhuǎn)360，留下的軌跡叫圓。 圓心：（1）如定義（1）中，該定點為圓心 （2）如定義（2）中，繞的那一端的端點為圓心。 （3）圓任意兩條對稱軸的交點為圓心。 （4） 垂直于圓內(nèi)任意一條弦且兩個端點在圓上的線段的二分點為圓心。 注：圓心一般用字母O表示 直徑：通過圓心，并且兩端都在圓上的線段叫做圓的直徑。直徑一般用字母d表示。 半徑：連接圓心和圓上任意一點的線段，叫做圓的半徑。半徑一般用字母r表示。 圓的直徑和半徑都有無數(shù)條。圓是軸對稱圖形，每條直徑所在的直線是圓的對稱軸。在同圓或

2、等圓中：直徑是半徑的2倍，半徑是直徑的二分之一.d=2r或r=二分之d。 圓的半徑或直徑?jīng)Q定圓的大小，圓心決定圓的位置。 圓的周長：圍成圓的曲線的長度叫做圓的周長，用字母C表示。 圓的周長與直徑的比值叫做圓周率。 圓的周長除以直徑的商是一個固定的數(shù)，把它叫做圓周率，它是一個無限不循環(huán)小數(shù)（無理數(shù)），用字母表示。計算時，通常取它的近似值，3.14。 直徑所對的圓周角是直角。90的圓周角所對的弦是直徑。 圓的面積公式：圓所占平面的大小叫做圓的面積。r2，用字母S表示。 一條弧所對的圓周角是圓心角的二分之一。 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等。 在同圓或等圓

3、中，如果兩條弧相等，那么他們所對的圓心角相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等。 在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么他們所對的圓心角相等，所對的弧相等，所對的弦心距也相等。 周長計算公式 1.、已知直徑：C=d 2、已知半徑：C=2r 3、已知周長：D=c 4、圓周長的一半:12周長(曲線) 5、半圓的長：12周長+直徑 面積計算公式： 1、已知半徑：S=r平方 2、已知直徑：S=（d2）平方 3、已知周長：S=(c2)平方24.2 點和圓、直線和圓的位置關(guān)系 1. 點和圓的位置關(guān)系 點在圓內(nèi)點到圓心的距離小于半徑 點在圓上點到圓心的距離等于半徑 點在圓外點到圓心的距離大于半徑 2. 過三點

4、的圓不在同一直線上的三個點確定一個圓。3. 外接圓和外心經(jīng)過三角形的三個頂點可以做一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓。外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心。4. 直線和圓的位置關(guān)系相交：直線和圓有兩個公共點叫這條直線和圓相交，這條直線叫做圓的割線。相切：直線和圓有一個公共點叫這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個點叫做切點。相離：直線和圓沒有公共點叫這條直線和圓相離。5. 直線和圓位置關(guān)系的性質(zhì)和判定如果O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d，那么 直線和O相交； 直線和O相切； 直線和O相離。圓和圓定義：兩個圓沒有公共點且每個圓的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓

5、的外離。兩個圓有唯一的公共點且除了這個公共點外，每個圓上的點都在另一個圓的外部，叫做兩個圓的外切。兩個圓有兩個交點，叫做兩個圓的相交。兩個圓有唯一的公共點且除了這個公共點外，每個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部，叫做兩個圓的內(nèi)切。兩個圓沒有公共點且每個圓的點都在另一個圓的內(nèi)部時，叫做這兩個圓的內(nèi)含。原理：圓心距和半徑的數(shù)量關(guān)系：兩圓外離 dR+r 兩圓外切 d=R+r兩圓相交 R-rdr) 兩圓內(nèi)切 d=R-r(Rr)兩圓內(nèi)含 dr)24.3 正多邊形和圓 1、正多邊形的概念：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。2、正多邊形與圓的關(guān)系：(1)將一個圓n(n3)等分(可以借助量角器)，依次連結(jié)各

6、等分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形。(2)這個圓是這個正多邊形的外接圓。3、正多邊形的有關(guān)概念：(1)正多邊形的中心正多邊形的外接圓的圓心。(2)正多邊形的半徑正多邊形的外接圓的半徑。(3)正多邊形的邊心距正多邊形中心到正多邊形各邊的距離。(4)正多邊形的中心角正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角。4、正多邊形性質(zhì)：(1)任何正多邊形都有一個外接圓。(2)正多邊形都是軸對稱圖形，當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時，它又是中心對稱圖形，正n邊形的對稱軸有n條。(3)邊數(shù)相同的正多邊形相似。重點：正多邊形的有關(guān)計算。知識講解1、正多邊形定義：各邊相等，各角也相等的多邊形叫正多邊形。例如：正三角形、正四邊形(正方形

7、)、正六邊形等等。如果一個正多邊形有n條邊，那么，這個多邊形叫正n邊形。 再如：矩形不是正多邊形，因為它只具有各角相等，而各邊不一定相等；菱形不是正多邊形，因為，它只具有各邊相等，而各角不一定相等。2、正多邊形與圓的關(guān)系。正多邊形與圓有密切關(guān)系，把圓分成n(n3)等份，依次連結(jié)分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形。相鄰分點間的弧相等，則所對的弦(正多邊形的邊)相等，相鄰兩弦所夾的角(多邊形的每個內(nèi)角)都相等，從而得出，所連的多邊形滿足了所有邊都相等，所有內(nèi)角都相等，從而這個多邊形就是正多邊形。如：將圓6等分，即，則ABBCCDDEEFFA。 觀察A、B、C、D、E、F所對的弧可以發(fā)現(xiàn)都是相等

8、的弧，所以，ABCDEF。所以，將一個圓6等分，依次連結(jié)各分點所得到的是O的內(nèi)接正六邊形。3、正多邊形的有關(guān)計算。(1)首先要明確與正多邊形計算的有關(guān)概念：即正多邊形的中心O，正多邊形的半徑Rn就是其外接圓的半徑，正多邊形的邊心距rn，正多邊形的中心角n，正多邊形的邊長an。(2)正n邊形的n條半徑把正n邊形分成n個全等的等腰三角形，等腰三角形的頂角就是正n邊形的中心角都等于；如果再作出正n邊形各邊的邊心距，這些邊心距又把這n個等腰三角形分成了2n個全等的直角三角形。 如圖：是一個正n邊形ABCD根據(jù)以上講解，我們來分析RtAOM的基本元素：斜邊OA正n邊形的半徑Rn；一條直角邊OM正n邊形的

9、邊心距rn；一條直角邊AM正n邊形的邊長an的一半即AMan；銳角AOM正n邊形的中心角n的一半即AOM；銳角OAM正n邊形內(nèi)角的一半即OAM(n2)180；可以看到在這個直角三角形中的各元素恰好反映了正n邊形的各元素。因此，就可以把正n邊形的有關(guān)計算歸納為解直角三角形的問題。4、正多邊形的有關(guān)作圖。(1)使用量角器來等分圓。由于在同圓中相等的圓心角所對的弧也相等，因此作相等的圓心角(即等分頂點在圓心的周角)可以等分圓；根據(jù)同圓中相等弧所對的弦相等，依次連接各分點就可畫出相應(yīng)的正n邊形。(2)用尺規(guī)來等分圓。對于一些特殊的正n邊形，還可以用圓規(guī)和直尺作出圖形。正四、八邊形。在O中，用尺規(guī)作兩條

10、互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形。 再逐次平分各邊所對的弧(即作AOB的平分線交于 E) 就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊形。正六、三、十二邊形的作法。通過簡單計算可知，正六邊形的邊長與其半徑相等，所以，在O中，任畫一條直徑AB，分別以A、B為圓心，以O(shè)的半徑為半徑畫弧與O相交于C、D和E、F，則A、C、E、B、F、D是O的6等分點。 顯然，A、E、F(或C、B、D)是O的3等分點。同樣，在圖(3)中平分每條邊所對的弧，就可把O12等分。5、正多邊形的對稱性。正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心，如果正多邊形有

11、偶數(shù)條邊，那么，它又是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心。如：正三角形、正方形。24.4 弧長和扇形面積 知識點1、弧長公式因為360的圓心角所對的弧長就是圓周長C2R，所以1的圓心角所對的弧長是，于是可得半徑為R的圓中，n的圓心角所對的弧長l的計算公式：，說明：（1）在弧長公式中，n表示1的圓心角的倍數(shù)，n和180都不帶單位“度”，例如，圓的半徑R10，計算20的圓心角所對的弧長l時，不要錯寫成。（2）在弧長公式中，已知l，n，R中的任意兩個量，都可以求出第三個量。知識點2、扇形的面積如圖所示，陰影部分的面積就是半徑為R，圓心角為n的扇形面積，顯然扇形的面積是它所在圓的面積的一部分，因為圓心

12、角是360的扇形面積等于圓面積，所以圓心角為1的扇形面積是，由此得圓心角為n的扇形面積的計算公式是。又因為扇形的弧長，扇形面積，所以又得到扇形面積的另一個計算公式：。知識點3、弓形的面積（1）弓形的定義：由弦及其所對的弧（包括劣弧、優(yōu)弧、半圓）組成的圖形叫做弓形。（2）弓形的周長弦長弧長（3）弓形的面積如圖所示，每個圓中的陰影部分的面積都是一個弓形的面積，從圖中可以看出，只要把扇形OAmB的面積和AOB的面積計算出來，就可以得到弓形AmB的面積。當(dāng)弓形所含的弧是劣弧時，如圖1所示， 當(dāng)弓形所含的弧是優(yōu)弧時，如圖2所示，當(dāng)弓形所含的弧是半圓時，如圖3所示，注意：（1）圓周長、弧長、圓面積、扇形面積的計算公式。圓周長弧長圓面積扇形面積公式（2）扇形與弓形的聯(lián)系與區(qū)別（2）扇形與弓形的聯(lián)系與區(qū)別圖示面積知識點4、圓錐的側(cè)面積圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，如圖所示，設(shè)圓錐的母線長為l，底面圓的半徑為r，那么這個扇形的半徑為l，扇形的弧長為2，圓錐的側(cè)面積，圓錐的全面積說明：（1）圓錐的側(cè)面積與底面積之和稱為圓錐的全面積。（2）研究有關(guān)圓錐的側(cè)面積和全面積的計算問題，關(guān)鍵是理解圓錐的側(cè)面積公式，并明確圓錐全面積與側(cè)面積之間的關(guān)系。知識點5、圓