在“解決問題”的教學(xué)中引領(lǐng)學(xué)生建模

1、在“解決問題”的教學(xué)中引領(lǐng)學(xué)生建模義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在前言中指出，模型思想的建立 是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑， 建立和求解 模型可以提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)。 如何幫助學(xué)生從已有 經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解 釋與運(yùn)用的過程？我們積極尋找以教促學(xué)的教學(xué)策略， 針對(duì)蘇教 版二年級(jí)下冊(cè)“解決實(shí)際問題”， 從模型構(gòu)建、 提升與突破三個(gè) 方面入手，點(diǎn)撥學(xué)生思維，發(fā)展學(xué)生初步的比較、分析、抽象、 概括、運(yùn)用等能力。一、自主操作探究，合作交流建模 心理學(xué)家皮亞杰認(rèn)為“智慧的鮮花是開放在手指尖上的”， 一語道出了操作實(shí)踐的重要性。動(dòng)手操作是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方

2、 式，有利于發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，讓學(xué)生在解決問題中，經(jīng)歷 知識(shí)形成，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。因此，我們?cè)诮虒W(xué)活動(dòng)中，要盡可能 給學(xué)生提供操作探究的機(jī)會(huì)。1. 在操作感悟中，建構(gòu)數(shù)量關(guān)系模型 如教材第 1 頁例題 1，重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生通過分鉛筆的操作， 感知平均分后有剩余的現(xiàn)象。（1）經(jīng)驗(yàn)操作。把 10支鉛筆按 2 支一份平均分，可以分給 幾個(gè)人？明確： 10支鉛筆。每人分 2支，正好分給 5 人。把 10 支鉛筆按 3 支、4 支、5 支一份平均分，分別會(huì)出現(xiàn)怎樣的結(jié)果。 用小棒代替鉛筆分一分， 再和小組同學(xué)說說分的過程 和結(jié)果。（ 2）演示操作。 10 支鉛筆，每人分 3 支，結(jié)果又是怎樣？ 展示操作

3、過程。結(jié)合學(xué)生演示，明確： 10支鉛筆，每人分 3 支， 可以分給 3人，還剩 1 支。繼續(xù)演示反饋“每人分 4支”“每人 分 5 支”的情況。 學(xué)生在操作和交流中充分感知平均分東西， 有 時(shí)能全部分完， 有時(shí)會(huì)剩下一些不能繼續(xù)分了， 從而產(chǎn)生對(duì)余數(shù) 的感性認(rèn)識(shí)。（ 3）填寫表格。 你能把每次分鉛筆的結(jié)果記錄在表格里嗎？ 學(xué)生通過填表對(duì)操作過程和結(jié)果進(jìn)行梳理， 對(duì)平均分后出現(xiàn) 的情況進(jìn)行分類：把一些物體平均分后，有時(shí)正好分完，有時(shí)會(huì) 有剩余。教師適時(shí)點(diǎn)撥，像這樣平均分后還有剩余的情況，也可 以用除法算式來表示。從學(xué)生操作以后所填寫的表格里，提取“ 10 支鉛筆，每人 分 3 支，可以分給 3

4、人，還剩 1 支”這個(gè)事實(shí)，寫出除法算式“ 10+ 3=3（人）1 （支）”，指出算式里的“ 1”是“余數(shù)”。（4）模型體驗(yàn)。根據(jù)“ 10 支鉛筆，每人分 4 支，可以分給 2人，還剩 2 支”這個(gè)事實(shí)，寫出相應(yīng)的除法算式，初步學(xué)會(huì)有 余數(shù)除法算式的寫法和讀法。教學(xué)中，緊扣分鉛筆的操作過程和結(jié)果， 引導(dǎo)理解除法算式， 使學(xué)生在具體事實(shí)和相應(yīng)算式之間建立聯(lián)系。 體會(huì)這道算式比表 內(nèi)除法多了“余數(shù)”，是由于平均分東西沒有全部分完所造成 的。學(xué)生在操作活動(dòng)中獲得了感性的經(jīng)驗(yàn)， 有余數(shù)的除法數(shù)量關(guān) 系的模型也就呼之而出。2. 在操作感悟中，理解“余數(shù)要比除數(shù)小”的道理“余數(shù)都比除數(shù)小”對(duì)低年級(jí)孩子來講

5、， 是一個(gè)比較抽象的 數(shù)學(xué)規(guī)律， 學(xué)生理解這個(gè)道理會(huì)有一些困難。 如果采取直接的方 式告訴學(xué)生， 就不能內(nèi)化為學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。 他們需要豐富的感 性認(rèn)識(shí)為緩沖帶， 逐步上升成理性認(rèn)識(shí)的過程。 教材重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué) 生通過擺正方形的操作，理解除數(shù)和余數(shù)之間的關(guān)系。如教材第 2 頁例題 2。首先明確用 4根小棒可以擺 1個(gè)正方形， 8根小棒可以擺出 2 個(gè)正方形。在此基礎(chǔ)上提出“像這樣用12、 13、14、 15、 16根小棒擺正方形結(jié)果會(huì)怎樣。 學(xué)生通過操作， 填寫算式和表格豐 富了對(duì)有余數(shù)除法的認(rèn)識(shí)。12- 4=3 （個(gè)）13- 4=3 （個(gè)）1 （根）14- 4=3 （個(gè)）2 （根）15- 4=3

6、 （個(gè)）3 （根）16- 4=4 （個(gè)）結(jié)合算式和表格引導(dǎo)學(xué)生深入思考：（1） 用 12根小棒或 1 6根小棒擺正方形，小棒正好用完， 沒有剩余；用 13、 14、 15 根小棒擺正方形，都有剩余的小棒， 為什么剩下的小棒根數(shù)分別是 1 根、2根、3根？（2）用 12、13、14、15根小棒都是擺成 3 個(gè)正方形，用 16根小棒擺成 4 個(gè)正方形，為什么多了 1 個(gè)正方形？（3）如果用更多根小棒擺正方形，余數(shù)可能超過3 嗎？隨著學(xué)生對(duì)這些問題的思考與感悟， 他們就能發(fā)現(xiàn)： 剩下的 小棒夠擺一個(gè)正方形，就要繼續(xù)擺下去，直到不夠擺為止，這里 的余數(shù)只能是 1、 2、3。 “余數(shù)都比除數(shù)小”就不再是

7、一個(gè)機(jī) 械記憶的知識(shí)，而是一個(gè)通過操作建模體驗(yàn)的數(shù)學(xué)規(guī)律。二、加強(qiáng)數(shù)學(xué)語言訓(xùn)練，提高數(shù)學(xué)建模能力 數(shù)學(xué)語言是一種科學(xué)語言，它是對(duì)數(shù)學(xué)概念、解題思路、推 導(dǎo)過程等的表述。它具有準(zhǔn)確、簡(jiǎn)練、符號(hào)化的特點(diǎn)。它有利于 培養(yǎng)學(xué)生揭示事物本質(zhì)的能力，幫助學(xué)生更好的概括事物的規(guī) 律。訓(xùn)練數(shù)學(xué)語言的過程就是通過師生、 生生之間的交流提升思 維品質(zhì)的過程，它是提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的有效途徑。1. 在計(jì)算過程中，注重學(xué)生復(fù)述 計(jì)算題教學(xué)的重點(diǎn)是讓學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上掌握計(jì)算 方法。在低年段數(shù)學(xué)的計(jì)算教學(xué)中，加強(qiáng)算理教學(xué)，重視過程復(fù) 述訓(xùn)練， 既可以幫助學(xué)生鞏固所學(xué)的計(jì)算方法， 又能提高數(shù)學(xué)語 言表達(dá)能力，發(fā)展學(xué)

8、生思維。（1）除法豎式。除法豎式和學(xué)生已經(jīng)熟悉的加、減法豎式 不一樣， 在計(jì)算的過程中包含“除乘減”三步， 學(xué)生較難接 受。在教學(xué)中不能停留在將豎式當(dāng)作是一種格式， 它更是一種數(shù) 學(xué)的符號(hào)語言，具有計(jì)算與表達(dá)的雙重功能。 表內(nèi)除 法。比如教材第 4 頁例題 3，從解決實(shí)際問題切入：媽媽買了 12 個(gè)蘋果，每 4 個(gè)放一盤，放了幾盤？學(xué)生很容易列出除法算式 12+4=3 （盤）。教材告訴學(xué)生，除法也可以用豎式計(jì)算，同時(shí) 給出了這道除法的豎式，并對(duì)豎式的各個(gè)部分做出解釋。引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合平均分過程， 口述用豎式計(jì)算的過程： 利用乘 法口 ？E“三四十二”得出商3;接著用乘法計(jì)算，把3和4相乘 得 12

9、，（表示 3 盤分掉 12 個(gè)蘋果）；最后用減法計(jì)算， 12 減 12 等于 0 （表示蘋果全部分完，沒有剩余） 。在復(fù)述過程中進(jìn)一步體會(huì)除法豎式的形式、 結(jié)構(gòu)以及書寫格 式，為教學(xué)有余數(shù)除法的筆算做好準(zhǔn)備。有余數(shù)除法豎式。例題用圖畫給出 12個(gè)蘋果，要求學(xué)生 每 5 個(gè)放一盤，在圖畫中圈一圈，得出可以放 2 盤，還余 2 個(gè)， 并填寫除法算式12+ 5=口（盤）（個(gè)），把教學(xué)引入有 余數(shù)的除法。學(xué)生已經(jīng)知道被除數(shù)、除數(shù)、商在豎式中的位置，能夠?qū)懗鰣D 2 的樣子：首先引導(dǎo)學(xué)生，豎式中的商“ 2”應(yīng)該怎樣想到，聯(lián)系平均 分操作活動(dòng)，可以這樣想： 12 里面最多有 2 個(gè) 5，商是 2;接著 用乘

10、法計(jì)算 2 個(gè) 5 是 10，表示 2 盤分掉 10個(gè)蘋果;最后用減法 計(jì)算， 12 減 10等于 2，表示還剩余 2 個(gè)蘋果。在嘗試完成豎式以后， 復(fù)述展示計(jì)算步驟， 每一步計(jì)算表示 什么，以及計(jì)算時(shí)要注意什么。通過口述交流，學(xué)生進(jìn)一步明確 有余數(shù)除法求商時(shí)， 可以想被除數(shù)里最多有幾個(gè)除數(shù)， 明確豎式 的寫法以及豎式中“ 10”和“ 2”所表示的意思。學(xué)生從這樣的 復(fù)述過程中抽象出數(shù)學(xué)模型， 建立起有余數(shù)除法與表內(nèi)除法計(jì)算 方法的聯(lián)系和區(qū)別， 更好地掌握用豎式計(jì)算有余數(shù)除法的思考過 程和書寫規(guī)范。（2）加減法計(jì)算。加、減法計(jì)算是小學(xué)數(shù)學(xué)十分重要的教 學(xué)內(nèi)容，也是整數(shù)階段最后一次教學(xué)加、減法計(jì)

11、算。如學(xué)習(xí)書本 68 頁例題 142+86 的豎式計(jì)算時(shí)，要求學(xué)生通 過分析說出算理：相同數(shù)位對(duì)齊，從個(gè)位加起。個(gè)位上 2 個(gè)一加 6 個(gè)一得 8 個(gè)一，在個(gè)位上寫 8；十位上 4 個(gè)十加 8 個(gè)十，得 12 個(gè)十，在十位上寫 2，向百位進(jìn)一；百位上 1 個(gè)百，加進(jìn)上來的 1 個(gè)百，得 2 個(gè)百，在百位上寫 2。這樣通過說算理，使學(xué)生條 理清楚，思維深刻。又如書本 77 頁例題：學(xué)習(xí)隔位退位減法，用豎式計(jì)算 204-108 。在引導(dǎo)學(xué)生通過探索理解隔位退位減法的算理和算法 基礎(chǔ)上，要求學(xué)生復(fù)述：個(gè)位上不夠減，要從十位上退1，十位上是 0，就向百位退 1；百位上還剩 1 個(gè)百，十位上是 10 個(gè)

12、十； 再從十位上退 1，十位上還剩 9個(gè)十。個(gè)位上 14個(gè)一減 8 個(gè)一 得 4 個(gè)一；十位上是 9 個(gè)十減 0 得 9 個(gè)十；百位上 1 個(gè)百減 1 個(gè) 百，就沒有了。 經(jīng)常訓(xùn)練學(xué)生清晰而又準(zhǔn)確地表達(dá)自己的計(jì)算思 維，學(xué)生思維程序優(yōu)化進(jìn)程就會(huì)大大加強(qiáng)。2. 在解決問題過程中，重視讓學(xué)生說清解題思路表達(dá)解題思路， 是發(fā)展學(xué)生語言的又一重要方法。 學(xué)生在口 述解題思路時(shí)，首先需要明確題意，判斷數(shù)量關(guān)系，確定解決問 題的策略，然后組織語言，有條理地表達(dá)出來。如： 25個(gè)氣球，平均分給 6 個(gè)同學(xué)，每人分得幾個(gè)，還剩 幾個(gè)？先讓學(xué)生讀懂題意， 用數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換成符合題意的數(shù)量關(guān) 系和解題思路：把總數(shù)

13、25 個(gè)氣球平均分，分成的份數(shù)是 6，得 到的每份數(shù)是 4 個(gè)，還剩 1 個(gè)。課本 82 頁第 6 題解決實(shí)際問題（如下圖）。這是關(guān)于求比一個(gè)數(shù)少幾的數(shù)是多少的連續(xù)兩問的實(shí)際問 題，學(xué)生列式解答以后， 需要讓他們連貫地說說解決問題的思路， 每一步算的是什么，第二步算式是如何利用第一步計(jì)算得數(shù)的。 引導(dǎo)學(xué)生組織語言： 先根據(jù)二年級(jí)修補(bǔ) 254 本圖書和一年級(jí)比二 年級(jí)少修補(bǔ) 69 本，求出一年級(jí)修補(bǔ)多少本；再根據(jù)求出的一年 級(jí)修補(bǔ)的本數(shù)和二年級(jí)修補(bǔ) 254 本圖書，求出兩個(gè)年級(jí)一共修補(bǔ) 多少本。在教學(xué)中， 老師適當(dāng)點(diǎn)撥， 幫助學(xué)生逐步規(guī)范地運(yùn)用數(shù)學(xué)語 言，讓學(xué)生有根、有據(jù)、有序地口述解題思路，

14、表達(dá)數(shù)量關(guān)系。 課堂上學(xué)生你一言，我一語，不僅調(diào)動(dòng)了他們的學(xué)習(xí)積極性，使 教師能及時(shí)獲得反饋信息， 了解學(xué)生對(duì)知識(shí)掌握的程度， 更能促 進(jìn)學(xué)生舉一反三，觸類旁通，面對(duì)不同形式的問題，不會(huì)束手無 策，而是能熟練運(yùn)用策略、駕馭策略。三、走進(jìn)生活，突破模型解決實(shí)際問題數(shù)學(xué)源于生活，又廣泛地用于生活。讓數(shù)學(xué)模型回歸生活， 將現(xiàn)實(shí)生活材料當(dāng)作問題來解決，能激發(fā)學(xué)生研究問題的興趣， 更能拓展模型的外延， 突破模型化的思維定式， 有效地打破套型 解題的弊端。教材十分重視在具體的生活情境中， 利用余數(shù)意義去解決實(shí) 際問題。書中第 7 頁，練習(xí)一第 9、10 題。都是通過連續(xù)發(fā)問的 形式重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生靈活選擇算法

15、、 靈活處理余數(shù)。 引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合 實(shí)際來解決問題。 30張紙，每 4 張紙做一個(gè)燈籠，可以做幾個(gè) 燈籠，還剩幾張紙？這些紙夠做 8 個(gè)燈籠嗎？ 45 個(gè)皮球，每 6 個(gè)裝一盒，可以裝幾盒，還剩幾個(gè)？如果全部裝入盒中，至少需 要多少個(gè)盒子？兩個(gè)后續(xù)追問都需要聯(lián)系實(shí)際，或是去掉余數(shù)， 商增加 1，或是去掉余數(shù)，商不變。兩條練習(xí)有效地訓(xùn)練學(xué)生根 據(jù)實(shí)際情況和問題來判斷是把余數(shù)“進(jìn)一”還是“去尾”， 進(jìn)一 步感受了余數(shù)的應(yīng)用價(jià)值， 形成思維模型的突破， 避免了簡(jiǎn)單的 模仿。教材 80 頁最后一題是拓展練習(xí)（見圖） 首先鼓勵(lì)學(xué)生用不同的方法分析題中的數(shù)量關(guān)系， 然后組織 學(xué)生討論與交流，充分展示學(xué)生中各種不同的解題策略。例如， 學(xué)生聯(lián)系生活經(jīng)驗(yàn)，可以想到：看一本同樣的故事書，剩下的頁 數(shù)多，看的頁數(shù)就少；剩下的頁數(shù)少，看的頁數(shù)就多；剩下部分 相差的頁數(shù)應(yīng)該等于已看部分相差的頁數(shù)。小芳看的頁數(shù)最多， 小華看的頁數(shù)最少， 兩人看的頁數(shù)相差： 43-26=17（頁）。再如， 可以先假設(shè)故事書的總頁數(shù)是 100 頁，這樣小明看的頁數(shù)是 100-34=66（頁），小華看的頁數(shù)是 100-43=57 （頁），小芳看 的頁數(shù)是 100-26=74 （頁）。