-命題和幾何證明

1、療;號:01 初中數(shù)學備課組教師： 班級：初二 日期 上課時間 學生： 學生情況： 主課題：命題和證明 教學目標： 1. 了解演繹證明(證明)的概念，理解定義、命題(真命題、假命題)的概念； 2. 掌握命題的結構，會把一個命題寫成“如果那么”的形式，會指出命題的題設和結論；會判斷一個命題的真 假； 3. 理解公理和定理的概念，會區(qū)分定義、命題、公理和定理； 4. 體會證明的分析過程，了解證明的表達格式，會按規(guī)定格式證明簡單命題； 5. 掌握證明的方法和表述，從實驗幾何向推理幾何的過渡 教學重點： 1. 命題的概念； 2. 判斷一個命題的真假； 3. 證明的含義和表述格式； 4. 證明的方法和表

2、述； 教學難點： 1. 將條件和結論不十分明顯的命題改寫成“如果那 么”形式； 2. 公理命題和定義的區(qū)別； 3. 按規(guī)定格式表述證明的過程； 4. 由較復雜的題設條件得出若干結論，用到多個定理的證明； 【知識精要】 1. 演繹證明的概念 (1) 定義：從已知的概念條件出發(fā)，依據(jù)已被確認的事實和公認的邏輯規(guī)則，推導出某結論為正確的過程 (2) 證明幾何問題的方法： 綜合法：若證明A,可證明BCD-由因?qū)Ч梢阎霭l(fā)，逐步證得前提成立的必要條件，最后證得結 論成立. 分析法：有結論逐步追溯到題設的一種方法，要證命題D,可證C,要證明C,可證B;要證B,可證已 知條件A.執(zhí)果索因，即由結論出發(fā)，

3、逐步追溯結論成立的充分條件，最后追溯到題設為止 2. 定義命題真命題及假命題的概念 (1) 命題：判斷一件事情的句子叫做命題，如“兩直線平行，同位角相等” 其屮判斷為正確的命題叫做真命題；判斷為錯誤的命題叫做假命題. (2) 證明一個命題是真命題的步驟： 根據(jù)題意作出圖形，并在圖上標出必要的字母或符號； 根據(jù)題設和結論，結合圖形，寫出“已知”和“求證”； 經(jīng)過分析，找出由已知推出結論的途徑，寫出證明的過程 3. 公理和定理的概念 (1) 公理：人們在實踐屮反復驗證過的，公認的，不需要加以證明也無法證明的命題 公理是不證自明的真理，無須證明，如“兩點之間，線段最短” (2) 定理：定理就是可以證

4、明的正確命題具有總結性的特點如“直角三角形的兩個銳角互余 4. 幾何證明中常用的證明方法 (1) 證兩線平行 禾U用平行線的性質(zhì)和判定，即證有關的角相等或互補； (2) 證兩線段相等 利用三角形全等的性質(zhì)和判定；等腰三角形的性質(zhì)和判定； (3) 證兩角相等 利用平行線性質(zhì)；三角形全等的性質(zhì)和判定；等腰三角形的性質(zhì)和判定； (4) 證兩直線互相垂直 利用垂直定義；一個三角形中兩銳角互余；等腰三角形“三線合一”的性質(zhì) 【精解名題】 基礎題： 例1下列語句中，哪些是命題，哪些不是命題？ (1)若aAC 貝9/ C/ B 嗎？ (4) 2+213. (5)解方程 x - 2x_3 = 0 ；(6) 1

5、 SRZc”的矽才. 肚甬山師得知雄怡 例2指岀下列命題的題設和結論，并改寫成“如果 (1) 在同一個三角形中，等邊對等角； (2) 互為鄰補角的兩個角的平分線互相垂直 (3) 三角形的內(nèi)角和等于180 ； (4) 角平分線上的點到角的兩邊距離相等 例3.觀察下列這些數(shù)，找出它們的共同特征，給以名稱，并作出定義: 52, 2, 0, 2, (2) 過一點有且只有一條直線與已知直線平行 (3) 有兩個銳角的三角形是銳角三角形； (4) 將一個角分成兩個相等的角的射線是這個角的角平分線 5. 求證：等腰三角形頂角的頂點到兩腰中線的距離相等 6. 如圖：已知AD/BC , AE平分/ DAB EB平

6、分/ ABC,點E在CD上. 求證：AB=AD+BC 例 7如圖，AB 丄 BD, ED BD C 為 BD 的一點，AB=CD BODE. (1)求證：AC丄CE 若將CD沿DB方向平移得到圖的情形，其余條件不變，(1)中結論還成立嗎？請說明理由 提高題： 例 8如圖：在 ABC 中，AB=AC BAC =90= , BD 平分 ABC 交 AC 于點 D, CE _ BD 交BD延長線于點E.求證：BD=2CE. 例9如圖：MBC是等邊三角形，D為AC的一點，E為AB的延長線上的一點，CD=BE DE交BC于點 P. (1) 判斷線段DP于EP有怎樣的數(shù)量關系，并證明你的判斷； (2) 設

7、等邊ABC的邊長為當D為AC的中點時，求BP的長. 例10求證：有兩條邊及第三邊上的屮線分別對應相等的兩個三角形全等 例11：用反證法：證明等腰三角形底邊上的高與i腰的夾角小于90度. 例12.如圖，已知在正方形ABCD中，E是AD的中點，BF二CD+DF若/ ABE=a 求/ CBF的度數(shù).(用含a的代數(shù)式表 示) 【鞏固練習】 一、填空題 1.下列語句是命題的是 () A.紅撲撲的臉需：R. 你吃討午飯了嗎？C.直角都相等；D.連接A, B兩點. 2. 以下四個命題中，屬于公理的是 A.兩點確定一條直線； C.等腰三角形兩個底角相等； 3. F列說法，其中是平行線性質(zhì)的是 兩直線平行，同旁

8、內(nèi)角互補； B.兩條直線被第三條直線所截，同位角相等; D.等邊對等角 兩直線平行，同位角相等； 內(nèi)錯角相等，兩直線平行; 同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線平行 A.；B.; C. ; D. 4如圖，4 ABC 屮，AB二AC E 在 BC 上 D在AE上（不與A重合），則下列說法中正確的個數(shù)是 () 若E為BC中點，則有BD=CD若BD=CD則E為BC中點; 若AE BC,則有BD=CD 若BD=CD則有 AELBC. 二、填空題 B. 2 C. 3 D. 4. 5 確認一個命題是真命題需經(jīng)過 ，而定 6.如圖，已知/仁/ 2, / 3二/4, / 5=/ 6.求證: AD/BC. 證明

9、： （已知）， （內(nèi)錯角相等，兩直線平行） / 4+/2+/ 5=180 （兩直線平行，同旁內(nèi)角互補 又 ,（已知） =180 / 5+/ 3+/ 仁 180 )，即 / 5+/_ AD/BC( 7如圖,已知 ABC中, AB=AC D E分別是AC AB 的點，且ED/BC,若要證明/ ACE/ ABD則可證 ,從而AE二AD可證 ,所以/ ACE/ ABD. 8如圖，在厶ABC中，/ ACB=90 , AC二BC點D在AB上，將厶ACD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90得厶BCD , ,所以/ DBD,得 （2）有兩條邊及第三邊上的高對應相等的兩個三角形全等 10已知如圖，在厶ABC屮，CH是外角/AC

10、D的平分線，BH是/ABC的平分線. 求證：/ A二2ZH 11 如圖所示，AB/ CD點E是AC的屮點，將厶ABE沿BE 折疊后得到 FBE,延長BF交CD于G, 求證：CG=FG 12如圖：C為AB上一點，ACD和：BCE都是等邊三角 形，AE交DC于點M BD交EC于點N. 求證：(1) AE=BD ( 2) CM=CN 13.如圖：在AABC中，AB=AC D為AB上的一點, E為AC延長線上的一點，BD=CE DE交BC點F.求證 A DF=EF 14.如圖：在 AABC 中，AB=2AC AD 平分 Z BAC, AD=BD 求證：CD_AC. 【自我提高】 一、選擇填空題 如圖，

11、 ABD和AACE都是等邊三角形, D. AAS A. SSS B. SAS C. ASA 2 如圖，等腰 ABC屮，AB=AC D E、F分別是AB AC BC的中點，圖中全等三角形共有() A. 5對 B. 6對C. 7對 D. 8對 3.如圖1所示，點D在AB上，點E在AC上,CD與BE相交于點0,且AD=AE, AB=AC若/ ABE二20 ,貝 ACD= (1 0,且與邊AD BC分別交于點E、F,若BF二DE則 4圖2所示，0為口 ABCD對角線AC BD的交點，EF經(jīng)過點 圖屮的全等三角形最多有() A. 2對B. 3對C. 5對D. 6對 5.如圖，在邊長為 4的等邊三角形AB

12、C屮 AD是BC邊上的高，點E、F是AD上的兩點，則圖中陰影部分 的面積是() A. 4 廠 B . 3jTc . 2,3 、廠D. 廠 二、證明題 1 如圖，矩形ABCD中，點E、是BC上一點，AE二AD, DF丄AE于F,連結DE求 二 DC. A 2. RtA ABC 中，AE二AC / BAC二90 o,直線 . 為經(jīng)過點A的任一直線，BD丄 于甸，CEL于E,君BDCE試問: (1) AD與CE的大小關系如何？請說明理由. (2)線段BD DE, CE之間的數(shù)量之間關系如何？你能說明清楚嗎？不妨試 3、如圖，在厶ABC中， (1) 若 AB二AC DG=EF DGL AB于D交BC于

13、G, EF丄AC于E交BC于F 求證：AD=AE. 若 DG=EF AD=AE DGLAB 于 D 交 BC 于 G, EFAC 于 E 交 BC 于 F,求證：AB=AC 4、已知如圖，在 ABC中，AD是/A的平分線，DEL AB于點E, DF丄AC于點F,求 證：EFL AD E 5、已知如圖，AC=AD, DE=CE B為AE上一點，求證：BC=BD AB二CD, BC二DAE、F是AC上兩點，且AE=CF求證: 6、 已知如費二DE A 7、已知如圖， 求證:DB=DE 8已知， ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的高，延長BC ABC 中，AB二AC D E、F 分別在 BC AB AC , A 求證：/ DEF=/ DFE 9、已知如圖，在厶ABC中，AB二AC BD丄AC于D, P為BC上一點, PEI AB PE+PF二BD 10、如圖（a）所示