新人教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級下冊《重疊問題》教學(xué)實(shí)錄與評析

1、新人教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級下冊重疊問題教學(xué)實(shí)錄與評析教材版本：義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 數(shù)學(xué)人教版教學(xué)內(nèi)容：三年級下冊第九單元“數(shù)學(xué)廣角”第108頁例1。教材分析：“重疊問題”是教材專門安排來向?qū)W生介紹一種重要的數(shù)學(xué)思想方法的，即“集合”。教材例1通過統(tǒng)計(jì)表的方式列出參加語文小組和數(shù)學(xué)小組的學(xué)生名單，而總?cè)藬?shù)并不是這兩個(gè)小組的人數(shù)之和，從而引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突。這時(shí)，教材利用直觀圖（即韋恩圖）把這兩個(gè)課外小組的關(guān)系直觀地表示出來，從而幫助學(xué)生找到解決問題的辦法。教材只是讓學(xué)生通過生活中容易理解的題材去初步體會集合思想，為后繼學(xué)習(xí)打下必要的基礎(chǔ)，學(xué)生只要能夠用自己的方法解決問題就可以了。學(xué)情分析：集

2、合思想是數(shù)學(xué)中最基本的思想，集合理論可以說是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。從學(xué)生一開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，其實(shí)就已經(jīng)在運(yùn)用集合的思想了。例如，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)數(shù)時(shí)，就常常把1個(gè)人、2朵花、3枝鉛筆等用一條封閉的曲線圈起來表示，在學(xué)習(xí)認(rèn)識三角形等圖形時(shí)，也常常把各種不同的三角形用一個(gè)圈圈起來表示。又如，學(xué)生學(xué)習(xí)過的分類思想和方法實(shí)際上就是集合理論的基礎(chǔ)。但是，這些都只是單獨(dú)的一個(gè)個(gè)集合圖，而本節(jié)課所要用到的含有重復(fù)部分的集合圖，學(xué)生并沒有接觸過。基于此，我把知識的原點(diǎn)定位于兩個(gè)獨(dú)立的集合圈，沒有采用教材例1統(tǒng)計(jì)表的呈現(xiàn)方式，從兩個(gè)并列的集合圈引發(fā)學(xué)生的探究，更符合學(xué)生的學(xué)情。教學(xué)目標(biāo)：1、 讓學(xué)生經(jīng)歷集合圖的產(chǎn)生過程，理解集合

3、圖的意義，體會集合圖的好處，學(xué)會利用集合的思想方法來思考問題。2、 使學(xué)生會借助直觀圖，利用集合的思想方法解決簡單的實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生用不同的方法解決問題的意識。3、 利用生活事例讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，進(jìn)一步樹立學(xué)數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)的意識。教學(xué)要點(diǎn)分析：教學(xué)重點(diǎn)：經(jīng)歷集合圖的產(chǎn)生過程，理解集合圖的意義，使學(xué)生會借助直觀圖，利用集合的思想方法解決簡單的實(shí)際問題。教學(xué)難點(diǎn)：經(jīng)歷集合圖的產(chǎn)生過程，理解集合圖的意義。教學(xué)過程：一、設(shè)疑引入。1、出示通知。通知為迎接2008年北京奧運(yùn)會的召開，學(xué)校定于5月21日、22日下午分別舉行書法、繪畫比賽。要求：每班選5名同學(xué)參加書法比賽，6名同學(xué)參加繪畫比賽

4、。 實(shí)驗(yàn)小學(xué)教導(dǎo)處 2008年4月21日師：同學(xué)們，前幾天我到一所小學(xué)聽課，發(fā)現(xiàn)學(xué)校給每個(gè)班發(fā)了一份通知，請同學(xué)們看一下：（出示通知，一生讀）師：根據(jù)學(xué)校的通知要求，每個(gè)班一共要選多少人參加這兩項(xiàng)比賽？生：（齊）11人！師：怎么算的？生：5+611(人)。師：你們同意這種做法嗎？生：同意。師（稍頓）：真同意？生：同意！2、查看原始數(shù)據(jù)，引出重復(fù)。師：果真是這樣嗎？（在算式后打問號）請看我從三（）班記錄的參加比賽的學(xué)生名單（課件出示兩組學(xué)生名單），左邊這幾個(gè)同學(xué)就是參加書法比賽的那5個(gè)人，右邊這幾個(gè)同學(xué)就是參加繪畫比賽的那6個(gè)人。書法比賽 繪畫比賽周曉 于麗楊明 王強(qiáng)朱雨 李芳李芳陳東 楊明丁剛

5、 張偉李芳 師：請仔細(xì)觀察這份參賽的學(xué)生名單，你覺得我們剛才的答案怎么樣？生：錯(cuò)了。師：怎么會錯(cuò)了呢？再仔細(xì)看看，誰來說說？生：有重復(fù)的。師：你這里的“重復(fù)”是什么意思？生1：有的同學(xué)參加了兩項(xiàng)比賽。生2：有的同學(xué)既參加了書法比賽又參加了繪畫比賽。師：誰重復(fù)了？有幾個(gè)人重復(fù)了？生：楊明和李芳兩個(gè)人重復(fù)了。師：因?yàn)橛兄貜?fù)的，如果還是直接用5+6怎么樣？生：不行了，那樣的話楊明和李芳就算了2次了。3、揭示課題。師：生活中像這樣有重復(fù)現(xiàn)象的問題，在數(shù)學(xué)上我們把它叫做重疊問題（板書課題：重疊問題）?！驹u析：北宋張載曾說：“有不知，則有知；無不知，則無知?！薄坝跓o疑處有疑，方是進(jìn)矣?！边@啟迪我們，激起學(xué)

6、生內(nèi)心的疑問是引發(fā)學(xué)生主動求知的動力源泉。當(dāng)教師問學(xué)生“每個(gè)班一共要選多少人參加這兩項(xiàng)比賽？”的問題時(shí)，學(xué)生異口同聲地作出了回答，聲音響亮、語氣肯定?！肮媸沁@樣嗎？”，隨著教師輕輕的一句反問，加上“學(xué)生名單”的適時(shí)呈現(xiàn)，學(xué)生的頭腦里躍出一個(gè)大大的問號過去求總數(shù)就是直接把各部分的數(shù)量加起來的呀，怎么在這里行不通了呢？新情況出現(xiàn)了，遇到新問題了，于是研究“重疊問題”變成了學(xué)生源自內(nèi)心的學(xué)習(xí)需求?！慷?、探究新知。1、激發(fā)探究欲望，明確探究要求。師：剛才，我們通過仔細(xì)地查看三（1）班參賽的學(xué)生名單，發(fā)現(xiàn)有2個(gè)同學(xué)重復(fù)了，但是從這份名單中你能一下子就看出是哪2個(gè)人重復(fù)了嗎？（生流露出困難的神情）有難度

7、是吧？師：看來我這樣記錄不夠清楚，大家想想辦法，怎樣重新設(shè)計(jì)一下這份名單能讓我們看得更清楚一些?（課件出示要求:既要能讓人很清楚地看出參加書法比賽的是哪5個(gè)人，參加繪畫比賽的是哪6個(gè)人，又要能讓人很明顯地看出兩項(xiàng)比賽都參加的是哪兩個(gè)人。）請同學(xué)們思考一下（約10秒鐘后），大家現(xiàn)在有辦法了嗎？先不急著說，請把你想到的方法在練習(xí)紙上表示出來，行嗎？你可以自己畫，如果感覺有些困難也可以和你小組內(nèi)的同學(xué)合作完成。2、學(xué)生探究畫法，師巡視，從中找出有代表性的作品準(zhǔn)備交流。3、展示交流。師：我發(fā)現(xiàn)咱們班同學(xué)的畫法很有創(chuàng)意，我從中選了幾份，咱們共同來分享一下。我們不讓畫圖的同學(xué)自己介紹，只把他們畫的圖讓大家

8、看，我覺得，不用自己介紹就能讓別人看懂的方法那才是好方法?！驹u析：這個(gè)過程中，我們被教師的語言魅力所感染。沒有聲嘶力竭的叫喊，沒有故作驚人的造作，沒有無病裝病的呻吟，教師說得隨意，學(xué)生聽得輕松，教師問得精彩，學(xué)生答得從容。如“剛才，我們通過仔細(xì)地查看三（1）班參賽的學(xué)生名單，發(fā)現(xiàn)有2個(gè)同學(xué)重復(fù)了，但是從這份名單中你能一下子就看出是哪2個(gè)人重復(fù)了嗎？”“你可以自己畫，如果感覺有些困難也可以和你小組內(nèi)的同學(xué)合作完成?！薄拔覀儾蛔尞媹D的同學(xué)自己介紹，只把他們畫的圖讓大家看，我覺得，不用自己介紹就能讓別人看懂的方法那才是好方法?！彪S處可見教師語言功底，如清風(fēng)徐來，波瀾不驚。】師（出示作品1如下圖）：我

9、們來看這位同學(xué)的方法，他這樣畫的意思誰看懂了?書法比賽 繪畫比賽 李芳 楊明 李芳 楊明 丁剛 張偉 王強(qiáng) 周曉陳東 朱雨 于麗生：他把李芳和楊明都放在前面了，我們就能看出是他們倆重復(fù)了。師：那你覺得這種畫法比剛才我的畫法怎么樣？生：這樣能更清楚地看出誰重復(fù)了。師（出示作品2如下圖）：我們再來看這位同學(xué)的方法，他這樣表示你們覺得怎么樣？書法比賽 繪畫比賽 陳東 楊明 周曉 于麗 丁剛 張偉 楊明 王強(qiáng)李芳 朱雨 李芳生：他把重復(fù)的同學(xué)圈出來了，比剛才的方法更清楚。師（出示作品3如下圖）：我們再來看這位同學(xué)的表示方法，大家覺得怎么樣？書法比賽 繪畫比賽 丁剛 張偉 王強(qiáng) 周曉陳東 朱雨 于麗兩項(xiàng)

10、比賽 楊明 李芳生1：我覺得這種方法很好。能一下子就看出重復(fù)參加兩項(xiàng)比賽的同學(xué)是楊明和李芳。生2:而且重復(fù)的兩個(gè)同學(xué)他只寫了一次。師：他把參加兩項(xiàng)比賽的同學(xué)單獨(dú)放到一個(gè)圈里，更清楚了。而且重復(fù)的兩個(gè)同學(xué)他只寫了一遍，比剛才兩邊都要寫的方法更簡便了。可是參加書法比賽的是幾個(gè)人？生：5個(gè)人。師：那為什么圈中只有3個(gè)人呀？生：下面那個(gè)圈內(nèi)還有兩個(gè)同學(xué)是兩項(xiàng)比賽都參加的，所以他們也是參加書法小組的，加起來就是5個(gè)了。師：把參加書法比賽和參加繪畫比賽的同學(xué)都分到了兩個(gè)圈里，你覺得這樣表示怎么樣？清楚嗎？生：我覺得還是放在一個(gè)圈里比較清楚。師：大家覺得呢？生齊：放在一個(gè)圈里更清楚。師：那我們能不能把這種方

11、法改進(jìn)一下？讓參加書法比賽和參加繪畫比賽的同學(xué)還在一個(gè)圈里呢？（學(xué)生思考）師請作品3的作者把參加書法比賽的那5個(gè)同學(xué)用一個(gè)圈圈出來，再把參加繪畫比賽的那6個(gè)同學(xué)圈出來，此時(shí)出現(xiàn)了不規(guī)則的韋恩圖“雛形”。書法比賽 繪畫比賽 丁剛 張偉 王強(qiáng) 周曉陳東 朱雨 于麗楊明 李芳 師：你們覺得這樣表示怎么樣？生1：這樣表示很清楚。生2：我覺得這種方法很好，能一下子就看出參加書法比賽和參加繪畫比賽的各是哪些人，還能很清楚地看出兩項(xiàng)比賽都參加的是哪兩個(gè)人。4、揭示韋恩圖。師：同學(xué)們的表現(xiàn)這么精彩，讓我不禁想起了一個(gè)人，他就是英國的邏輯學(xué)家韋恩，在100多年以前，他第一個(gè)想到了這樣的圖，因此這種圖就叫韋恩圖（

12、板書：韋恩圖），也叫集合圖。我們同學(xué)真了不起，都和韋恩想到一塊去了。5、整理畫法，完成板書。師:下面我們把同學(xué)們創(chuàng)造出來的韋恩圖搬到黑板上來。用一個(gè)圈來表示參加書法比賽的同學(xué)，再用一個(gè)圈來表示參加繪畫比賽的同學(xué)（師邊說邊用紅筆和藍(lán)筆畫了兩個(gè)交叉的橢圓），還是兩個(gè)圈，不同的是這兩個(gè)圈不是分開的，而是有一部分重疊在一塊的，利用兩個(gè)圈重疊的這一部分我們恰好可以用來表示什么？生：既參加書法比賽又參加繪畫比賽的。師：有幾個(gè)人？是誰？生：楊明和李芳（師畫兩個(gè)小長方形表示人名）?！驹u析：教師沒有板書學(xué)生的姓名，而是用小長方形代替，向?qū)W生滲透了符號思想，也為日后進(jìn)一步優(yōu)化韋恩圖（直接用數(shù)字表示）起了重要的“橋

13、梁”作用。】師：我們只把參加兩項(xiàng)比賽的同學(xué)寫了一遍，但是參加書法比賽的圈里有了嗎？參加繪畫比賽的圈里有了嗎？這可真是一舉（生答）兩得！師：參加書法比賽的除了楊明和李芳還有幾個(gè)人？（生：3個(gè)人。）應(yīng)該寫在哪里？生：左邊。師：（在左邊月牙形里畫3個(gè)小長方形）同是參加書法比賽的5個(gè)同學(xué)，這3個(gè)人與這2個(gè)人有什么不同？生：這3個(gè)同學(xué)是只參加書法比賽的。這兩個(gè)人不但參加了書法比賽，還參加了繪畫比賽。師：那右邊月牙形的這一部分表示什么？生：只參加繪畫比賽的。師：有幾個(gè)人？生：4 個(gè)。師：（在右邊月牙形里畫4個(gè)小長方形）同學(xué)們請看，我們只用了簡單的兩個(gè)圈，就清楚地表示出了這么多的信息，韋恩圖好不好？韋恩的發(fā)

14、明簡單不簡單？原來發(fā)明創(chuàng)造就這么簡單！你們可以嗎？其實(shí)我們每個(gè)人都可以有自己的創(chuàng)造！【評析：寥寥數(shù)語讓學(xué)生更進(jìn)一步體會到簡單之美！創(chuàng)造之美！數(shù)學(xué)之美！使學(xué)生相信“我們每個(gè)人都可以有自己的創(chuàng)造！”從而激發(fā)起學(xué)生強(qiáng)烈的創(chuàng)造意識！】6、深化對韋恩圖的認(rèn)識。師：對于韋恩圖各部分表示的意思你都明白嗎？請同位兩個(gè)同學(xué)互相說一說。（學(xué)生同伴互說）7、數(shù)形結(jié)合，解決問題。師：現(xiàn)在，你能不能根據(jù)韋恩圖列算式來解決三（）班一共有多少人參加了這兩項(xiàng)比賽？整理算法：生1：5629（人）生2：3249（人）生3：5269（人）生4：6259（人）師：現(xiàn)在我們能用這么多的方法算出三（1）班參加比賽的一共是9個(gè)人，是誰幫了

15、我們的大忙??？生：韋恩圖。師：韋恩圖確實(shí)好吧？想不想用韋恩圖來解決幾個(gè)生活中的問題？【評析：荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾說過：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法是實(shí)行再創(chuàng)造，也就是由學(xué)生把本人要學(xué)習(xí)的東西自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來，教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生去進(jìn)行這種再創(chuàng)造工作，而不是把現(xiàn)成的知識灌輸給學(xué)生?！贝嗽掚m有“矯枉過正”之嫌（把“再創(chuàng)造”視為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法），但他所推崇的“再創(chuàng)造”學(xué)習(xí)法確實(shí)有獨(dú)特的教育價(jià)值。課堂上，教師先明確提出了要達(dá)成的學(xué)習(xí)目標(biāo)創(chuàng)造一種新的記錄兩組學(xué)生名單的方法，使其充分體現(xiàn)出重疊問題中信息的特殊性。盡管學(xué)生無法在一節(jié)課內(nèi)“創(chuàng)造”出與前輩數(shù)學(xué)家同樣的韋恩圖，但他們對“重疊問題”的

16、理解會因?yàn)樽约旱摹皠?chuàng)造”而變得更加深刻、豐富、靈動。在此基礎(chǔ)上，通過教師的稍加點(diǎn)撥，“韋恩圖”便浮出了水面！其后學(xué)生對韋恩圖所表示信息的到位分析和流暢表達(dá)，解決課始問題時(shí)展現(xiàn)出的多樣方法，與經(jīng)歷再創(chuàng)造過程所蓄積的學(xué)習(xí)智慧是息息相關(guān)的?！咳?、綜合應(yīng)用。1、動物的問題。師出示一組動物圖片：這些動物有會游泳的，有會飛的？如果讓你選一種合適的集合圈，把這些動物的序號填在合適的位置，你會選哪一種？ a b生：選b，因?yàn)檫@些動物中有既會飛的也會游的。師：是什么動物？生：天鵝。師：你是分析了這些動物的特點(diǎn)之后決定選b的，如果沒有重疊的情況選哪個(gè)合適？生：選a。師：左邊這個(gè)圈表示會游泳的，右邊這個(gè)圈表示會飛的

17、，那中間的這一部分表示什么？生：既會飛又會游泳的。師：左邊月牙形這部分表示什么？右邊月牙形這一部分表示什么？生：只會游泳的和只會飛的。師生按照順序共同把每種動物填在合適的位置。師：這里還有一種動物，我把它填在了這個(gè)位置（兩圈外圍），你知道這是一種怎樣的動物嗎？生：既不會游泳也不會飛的動物。師：這樣的動物有哪些？生1：兔子生2：老虎生3：師：太多了，我們不一一去說了。原來韋恩圖的外面也可以表示一種信息！【評析：借助現(xiàn)有的練習(xí)題中的圖，增設(shè)一個(gè)巧妙的問題“這里還有一種動物，我把它填在了這個(gè)位置（兩圈外圍），你知道這是一種怎樣的動物嗎？”便把集合圖由“圈內(nèi)”引向了“圈外”，毫不費(fèi)力地將學(xué)生的視野拓展

18、開來?！?、文具店的問題。出示下題：師：看到這個(gè)問題，你首先注意的是什么？你們在觀察什么？生：看有沒有重復(fù)的。師：你真棒，思考問題更全面了！師：可以怎么計(jì)算？（生答略）師：有很多的方法，其中的一種可以這樣做（課件出示）：5537（種）【評析：教師出示眾多方法中的一種，暗含了算法的優(yōu)化?！?、拓展練習(xí)，回扣課始的問題。師：課上到這里，同學(xué)們還這么有精神，真棒！下面我們再回過頭來，看看那份學(xué)校的通知和我們已經(jīng)解決的那個(gè)問題：每班一共要選多少人參加這兩項(xiàng)比賽？我們一開始脫口而出的答案是5+6=11人，后來看到三（1）的參賽名單，發(fā)現(xiàn)有2人重復(fù)了，實(shí)際只有9個(gè)人。我們現(xiàn)在再來思考這個(gè)問題，三（1）班是

19、9人，其它班級呢？每個(gè)班一定是9人嗎？生：不一定。師：還可以是多少人？生1：8人生2：11人生3：6至11人。師：什么情況下是11人？生：沒有重復(fù)的情況下。師：也就是說我們一開始的做法有沒有考慮重復(fù)的情況？（板書：無重復(fù)）師：至少是多少人？生：6人。師：什么情況下是6人？生：有5人重復(fù)了，參加書法比賽的同學(xué)全部參加繪畫比賽。師（出示一大一小兩個(gè)圈）：如果用這個(gè)小圈來表示參加書法比賽的同學(xué)，用這個(gè)大圈來表示參加繪畫比賽的同學(xué)，我這樣放表示的是哪種情況？（分開的）生：沒有重復(fù)的。師：這樣呢？（兩圈有重疊部分）生：有重復(fù)的。師：這樣呢？（小圈放入大圈）生：參加書法比賽的同學(xué)全部參加了繪畫比賽。師：同

20、學(xué)們，這樣一個(gè)我們本來覺得很簡單的問題，經(jīng)過我們深入地思考，原來還有這么多的學(xué)問。【評析：教師設(shè)計(jì)的應(yīng)用練習(xí)從簡單到復(fù)雜，從收斂到開放，從正向到逆向，既鏈接了豐富的課程資源，又實(shí)現(xiàn)了對數(shù)學(xué)思維的層層拓展。前兩道題的素材來源于課本習(xí)題，但教師對此都進(jìn)行了“二度加工”，使學(xué)生不只掌握了知識，而且受到了思想方法的熏陶。第三道題目是在課始問題基礎(chǔ)上做出的橫向（素材上）和縱向（思維上）的自然延伸，學(xué)生對“重疊問題”完成了結(jié)構(gòu)化水平的自主建構(gòu)。如此廣度與深度兼具的數(shù)學(xué)課堂，實(shí)屬難得！】四、總結(jié)延伸。師：同學(xué)們，這節(jié)課我們解決了很多問題，關(guān)于韋恩圖和重疊問題，你還有新的問題嗎？老師更喜歡那些在解決了問題之后還能提出新問題的同學(xué)?。▽W(xué)生沉思，似乎對所學(xué)的知識已全然領(lǐng)悟了，這時(shí)老師拋出一個(gè)新的問題。）師：老師這里有個(gè)問題，請看（課件出示下表），這是三年級一班參加課外小組的學(xué)生名單，為了研究的方便，我用他們的學(xué)號來表示。從這份名單中你發(fā)現(xiàn)了什么？三（）班參加課外小組的學(xué)生名單11113121173英語109872數(shù)學(xué)65432語文生：我發(fā)現(xiàn)1號同學(xué)三個(gè)小組都參加了；2號同學(xué)參加了語文和數(shù)學(xué)小組；3號同學(xué)參加了語文和英語小組；