IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)

1、 定義：如果用Am(z)表示m 階實(shí)系數(shù)全通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，則 1)()( 1 zAzA mm 1)()()( 1 2 j ez mm j m zAzAeA 1 1 1 1 )( dz dz zA1d a)一階全通濾波器的極點(diǎn)和零點(diǎn) j red 記： 極點(diǎn)為： j redp 1 零點(diǎn)為： j erdz)/1 (*/1 1 b)一階全通濾波器的頻率響應(yīng) 1 1 1 1 )( dz dz zA j j j de de eA 1 )( 1 j j j de ed e 1 1 1)( 1 j eA jj jj jj ere ere eeA 1 1 )( 1 )cos(1 )sin( tan2)( 1

2、 r r 0 )(sin)cos(1 ( 1)( 222 2 rr r d d 故一階全通濾波器的相位響應(yīng)是單調(diào)遞減的。 )( )( 1 )( 1 )1( 1 1 1 )1( 1 1 1 zD zDz zdzdzd zzdzdd zA m m m m m m m mm mm m a)m階全通濾波器的極點(diǎn)和零點(diǎn) 如zk為一個(gè)極點(diǎn)， 則zk* 也是一個(gè)極點(diǎn), 1/zk和1/zk*必為系統(tǒng)零點(diǎn)。 b)m階全通濾波器的頻率響應(yīng) 1 )( )( )( )( )()( 1 1 1 zD zDz zD zDz zAzA m m m m M m mm 由于： 1)()()( 1 2 j ez mm j m z

3、AzAeA 1)(: 0 j m eA由于 0)0(所以： m階實(shí)系數(shù)全通系統(tǒng)可分解為m個(gè)一階全通系統(tǒng)的積，由于 一階全通系統(tǒng)相位是遞減的 m階實(shí)系數(shù)全通系統(tǒng)的相位非正遞減的階實(shí)系數(shù)全通系統(tǒng)的相位非正遞減的。 2階實(shí)系數(shù)全通濾波器的相位響應(yīng) (a)相位響應(yīng)的主值 (b)解卷繞后的相位響應(yīng) 定義：零極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)的因果系統(tǒng)稱為最小相 位系統(tǒng)。記為Hmin(z)。 任一實(shí)系數(shù)因果穩(wěn)定系統(tǒng)的H(z)都可表示為 )()()( min zAzHzH m 設(shè)系統(tǒng)H(z)只有一個(gè)零點(diǎn)在z = 1/a*在單位圓外，|a|1 虛軸映射到單位圓上 右半平面映射到單位圓外 結(jié)論： 因果、穩(wěn)定的AF系統(tǒng)映射為因果、

4、穩(wěn)定的DF系統(tǒng) 和和w w 的關(guān)系的關(guān)系 2 1 2 1 Ts Ts z 令s=jw 2 j 1 2 j 1 w w T T z ) 2 (jtanexp( ) 2 (jtanexp( 1 1 w w T T ) 2 (tan2 jexp( 1 wT ) 2 (tan2 1 Tw ) 2 (tan 2 T w 1 1 1 12 z z T s )2/tan( 2 T w )( j eH)(wjH p s p w s w w 缺點(diǎn)：幅度響應(yīng)不是常數(shù)時(shí)會(huì)產(chǎn)生幅度失真缺點(diǎn)：幅度響應(yīng)不是常數(shù)時(shí)會(huì)產(chǎn)生幅度失真 優(yōu)點(diǎn)：無(wú)混疊優(yōu)點(diǎn)：無(wú)混疊 雙線性法設(shè)計(jì)雙線性法設(shè)計(jì)DF的步驟：的步驟： 2) 由模擬濾波器的指

5、標(biāo)設(shè)計(jì)由模擬濾波器的指標(biāo)設(shè)計(jì)H (s) 3) H (s)轉(zhuǎn)換為轉(zhuǎn)換為H(z) 1 1 1 12 )()( z z T s sHzH 1)1)將數(shù)字濾波器的頻率指標(biāo)將數(shù)字濾波器的頻率指標(biāo) k由由w wk k= =(2/T)tan(tan( k/2) ) 轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的頻率指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的頻率指標(biāo) w wk 解：設(shè)雙線性變換中的參數(shù)為T 1)模擬低通濾波器的3dB截率為 )2/(tan 2 pp T w 2)3dB截率為wp的一階模擬BW LP 濾波器為 1 )2/tan(2 1 1/ 1 )( p p sT s sH w 3)由雙線性變換得 1 1 ) 1)2(tan()2tan(1

6、)1)(2tan( )( z/ z/ zH pp p 1 1 1 1 2 )1 ( z z )2tan(1 )2tan(1 / / p p 例：例：用一階模擬巴特沃思低通濾波器和雙線性變換法，設(shè)計(jì) 一個(gè)3dB截止頻率為p的數(shù)字低通濾波器。 00.61 0 0.7 1 Normalized frequency Amplitude 例：用1階模擬巴特沃思低通濾波器和雙線性變換法，設(shè)計(jì) 一個(gè)3dB截止頻率為p的數(shù)字高通濾波器 解：取T=2，則AF HP的3dB截頻為 )2/tan( pp w AF LP 的3dB截頻為 )2/tan(/1 pp w 滿足條件的LP AF為 1/ 1 )( p LP

7、s sH w 滿足條件的HP AF為 1)/(1 1 )/1 ()( p LPHP s sHsH ws s p )2/tan( 例例 用一階模擬巴特沃思低通濾波器和雙線性變換法，設(shè)計(jì)一個(gè) 中心頻率為0，3dB帶寬為D的數(shù)字帶阻濾波器。 解：取T=2。設(shè)數(shù)字帶阻的3dB截頻分別為1和2，且21。 1)模擬帶阻濾波器的頻率指標(biāo)為2 , 1 , 0),2/tan(k kk w 2)頻率變換的參數(shù)為 )2/tan()2/tan( 1212 wwB )(tan)2/tan()2/tan( 0 2 2121 2 0 www 3)模擬帶阻濾波器為 2 0 2 2 0 2 , )( w w Bss s sH

8、BSa 4)由雙線性變換可得滿足條件的數(shù)字帶阻濾波器為 22 0 12 0 2 0 22 0 12 0 2 0 )1 ()1 (2)1 ( )1 ()1 (2)1 ( )( zBzB zz sH BS www www 2 0 2 0 2 0 2 0 1 1 1 1 w w w w ，記： B B B 2 0 2 0 1 1 2 1 , w w 則有 21 2 0 2 0 21 1 )1 ( 21 21 2 1 )( zz B zz sH BS w w 21 21 )1 (1 21 2 1 zz zz 00.40.5 -40 -30 -20 -10 0 Normalized frequency p=0.1 ; s=0.4 ; Ap=1dB; As=10 dB; 例例 用雙線性變換及模擬巴特沃思濾波器設(shè)計(jì)一個(gè)滿足下列條 件的帶通數(shù)字濾波器。 0=0.5 ; p2=0.55 ，p1=0.45 ，Ap=3dB s2=0.6 ， s1=0.4 ， As=10dB 解：取雙線性變換的參數(shù)T=2 1)由w=tan(/2)獲得模擬帶通濾波器的頻率指標(biāo)。 wp2 =1.1708, wp1 =0.8541, ws2 =1.3764, ws1