第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析

1、第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析第三章 隨機(jī)信號(hào)的頻域分析2/30隨機(jī)信號(hào)分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析第三章第三章 隨機(jī)信號(hào)的頻域分析隨機(jī)信號(hào)的頻域分析n3.1 3.1 實(shí)隨機(jī)過程的功率譜密度實(shí)隨機(jī)過程的功率譜密度 （3 3）n3.2 3.2 兩個(gè)實(shí)隨機(jī)過程的互功率譜密度兩個(gè)實(shí)隨機(jī)過程的互功率譜密度（1717）n3.3 3.3 白噪聲白噪聲 （2222）第三章 隨機(jī)信號(hào)的頻域分析3/30隨機(jī)信號(hào)分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析3.1 3.1 實(shí)隨機(jī)過程的功率譜密度實(shí)隨機(jī)過程的功率譜密度3.1.1 3.1.1 確知信號(hào)的頻譜和能量譜密度確知信號(hào)的頻

2、譜和能量譜密度（1 1）狄里赫利）狄里赫利 設(shè)信號(hào)s(t)為時(shí)間t的非周期實(shí)函數(shù)，滿足如下條件：u ,即s(t)絕對(duì)可積；us(t)在 內(nèi)只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)和有限個(gè)極值點(diǎn)。dtts )(),(第三章 隨機(jī)信號(hào)的頻域分析4/30隨機(jī)信號(hào)分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析（2 2）頻譜密度）頻譜密度s(t)的傅立葉變換又稱為頻譜密度，也簡(jiǎn)稱為頻譜。dtetsStj)()(信號(hào)s(t)可以用頻譜的傅立葉反變換來表示deStstj)(21)(第三章 隨機(jī)信號(hào)的頻域分析5/30隨機(jī)信號(hào)分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析（3 3）能量譜密度）能量譜密度信號(hào)s(t)的總能量為

3、 dttsE)(2 根據(jù)帕塞瓦爾定理：對(duì)能量有限信號(hào)，時(shí)域內(nèi)信號(hào)的能量等于頻域內(nèi)信號(hào)的能量。即 dSdttsE22)(21)( 稱為s(t)的能量譜密度（能譜密度）。 2)(S 能譜密度存在的條件是即總能量有限，所以s(t)也稱為有限能量信號(hào)。dtts)(2第三章 隨機(jī)信號(hào)的頻域分析6/30隨機(jī)信號(hào)分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析3.1.2 3.1.2 實(shí)隨機(jī)過程的功率譜密度實(shí)隨機(jī)過程的功率譜密度 隨機(jī)信號(hào)的能量一般是無限的，但是其平均功率是有限的。經(jīng)推導(dǎo)可得 21()lim() 2XTTGE XT為隨機(jī)過程X(t)的功率譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱為功率譜密度。 （1 1）定義）定義第三

4、章 隨機(jī)信號(hào)的頻域分析7/30隨機(jī)信號(hào)分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析n通過截取樣本函數(shù)-T到T的一段，傅立葉變換得TTtjTtjTTdtetxdtetxX)()()(dXdttxQTTTT22)(21)(dXTdttxTTQTTTT22)(41)(212具有隨機(jī)性n根據(jù)能量守恒，總能量：n時(shí)間平均能量:注：平均功率包含了集合平均和時(shí)間平均的雙重含義 )(41)(2122dXTEdttxTETTTT222( )11( )lim( )lim222TTTTTTTEXE xtE xt dtdTTn統(tǒng)計(jì)平均能量:n平均功率：第三章 隨機(jī)信號(hào)的頻域分析8/30隨機(jī)信號(hào)分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻

5、域分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析l隨機(jī)過程的平均功率為 1()2XXPGdl對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過程，其平均功率為221( )( )()2XE XtE XtGdl若X(t)為各態(tài)歷經(jīng)過程，則功率譜密度可由一個(gè)樣本函數(shù)得到，即21()lim(, )2XTTGXeT 21( )lim( )2XTTGEXT第三章 隨機(jī)信號(hào)的頻域分析9/30隨機(jī)信號(hào)分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析性質(zhì)1：非負(fù)實(shí)函數(shù)( ) 0XG( )()XXGG（2 2）實(shí)隨機(jī)過程功率譜密度的性質(zhì)）實(shí)隨機(jī)過程功率譜密度的性質(zhì)性質(zhì)2：偶函數(shù)性質(zhì)3：平穩(wěn)過程功率譜密度絕對(duì)可積性質(zhì)4：若平穩(wěn)過程的功率譜密度可以表示為 的有理函數(shù)形式

6、dGX)(00G 0222220222220.)(bbaaGGnnnmmmXn m則必定滿足：式中分母無實(shí)根(即在實(shí)軸上無極點(diǎn)),且 。第三章 隨機(jī)信號(hào)的頻域分析10/30隨機(jī)信號(hào)分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析（1 1）維納辛欽定理）維納辛欽定理()( )1( )()2jXXjXXGRedRGed它它成立的條件是 絕對(duì)可積，即)()(XXRS和()()XXRdGd 3.1.3 3.1.3 功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系21(0)( )()2XXRE XtGd第三章 隨機(jī)信號(hào)的頻域分析11/30隨機(jī)信號(hào)分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻

7、域分析對(duì)于實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程，利用其自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度皆為偶函數(shù)的性質(zhì)，又可將維納辛欽定理表示成：00()2( )cos1( )()cosXXXXGRdRGd第三章 隨機(jī)信號(hào)的頻域分析12/30隨機(jī)信號(hào)分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析00()4( )cos1( )()cos2XXXXFRdRFd2()0()00XXGF物理物理功率譜功率譜第三章 隨機(jī)信號(hào)的頻域分析13/30隨機(jī)信號(hào)分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析例3.2：已知廣義平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)為0, 0A,Ae)(RX求過程的功率譜密度。00()()0022( )112jjXjjGAe edAeedeeA

8、AjjAjjA 解：第三章 隨機(jī)信號(hào)的頻域分析14/30隨機(jī)信號(hào)分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析例3.3：設(shè)X(t)為隨機(jī)相位隨機(jī)過程0( )cos()X tat其中a， 為實(shí)常數(shù)； 為隨機(jī)相位，在 均勻分布?？梢酝频箤?dǎo)出X（t）是廣義平穩(wěn)過程，其自相關(guān)函數(shù)為：0)2 , 0()cos(2)(02aRX求X(t)的功率譜密度( )XG解：)()()cos(000200( ) ()()2XaG 第三章 隨機(jī)信號(hào)的頻域分析15/30隨機(jī)信號(hào)分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析例3.4：已知平穩(wěn)過程X(t)，具有功率譜密度為4216( )1336XG求該過程的自相關(guān)函數(shù)和

9、均方值。42221616/516/5( )133649XG解：3215854)(eeRX154)0()(2XRtXE第三章 隨機(jī)信號(hào)的頻域分析16/30隨機(jī)信號(hào)分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析n例：設(shè)平穩(wěn)隨機(jī)過程 ，其中a為常數(shù)，是服從0，2的均勻分布的隨機(jī)變量，是具有分布密度為 偶函數(shù)的隨機(jī)變量，且與相互獨(dú)立，試證 的功率譜密度為 ( )cos()X tat )(xf( )X t2( )( )XGa f22( )cos()cos() ( )22XaaREfd1( )cos()( )2x tXd傅里葉變換對(duì)傅里葉變換對(duì)1( )cos()( )2XXRGd2( )( )XGa f

10、第三章 隨機(jī)信號(hào)的頻域分析17/30隨機(jī)信號(hào)分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析（1 1）互譜密度的定義）互譜密度的定義*1()lim()()2XYTTTGE XYT*1()lim()()2YXTTTGE YXT 稱為兩個(gè)聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)和Y(t) 的互功率譜密度，簡(jiǎn)稱互譜密度。3.2 3.2 兩個(gè)實(shí)隨機(jī)過程兩個(gè)實(shí)隨機(jī)過程的互功率譜密度的互功率譜密度第三章 隨機(jī)信號(hào)的頻域分析18/30隨機(jī)信號(hào)分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析（2 2）互譜密度與互相關(guān)函數(shù)的關(guān)系）互譜密度與互相關(guān)函數(shù)的關(guān)系 ()( )1( )()2jXYXYjXYXYGRedRGed()( )

11、1( )()2jYXYXjYXYXGRedRGed第三章 隨機(jī)信號(hào)的頻域分析19/30隨機(jī)信號(hào)分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析（3 3）實(shí)隨機(jī)過程互譜密度的性質(zhì)）實(shí)隨機(jī)過程互譜密度的性質(zhì)*()()()()XYYXYXXYGGGG性質(zhì)1：性質(zhì)2：互譜密度的實(shí)部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)。 Re( )Re()Re( )Re()Im( )Im()Im( )Im()XYYXYXXYXYYXYXXYGGGGGGGG 性質(zhì)3：如果X(t),Y(t)互相正交，互譜密度為零。()()0XYYXGG第三章 隨機(jī)信號(hào)的頻域分析20/30隨機(jī)信號(hào)分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析性質(zhì)4：若

12、X(t),Y(t)是互不相關(guān)的兩個(gè)隨機(jī)過程，且數(shù)學(xué)期望不為零，則有()()2()XYYXXYGGm m 性質(zhì)5：互譜密度的幅度平方滿足 2()()()XYXYGGG第三章 隨機(jī)信號(hào)的頻域分析21/30隨機(jī)信號(hào)分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析例3.5：設(shè)兩個(gè)隨機(jī)過程X(t)和Y(t)聯(lián)合平穩(wěn)，其互相關(guān)函數(shù)為：0009)(3eRXY求互相關(guān)函數(shù) 和( )XYG( )YXG解：30( )( )993jjXYXYGRedeej9( )()( )3YXXYXYGGGj第三章 隨機(jī)信號(hào)的頻域分析22/30隨機(jī)信號(hào)分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析3.3 3.3 白噪聲白噪聲（

13、1 1）噪聲的定義）噪聲的定義n信息在傳輸過程中，不可避免地要受到各種干擾，使信號(hào)產(chǎn)生誤差。n誤差的來源 n信號(hào)傳輸處理過程中串入了其它信號(hào)n信息傳輸處理時(shí)，信道或設(shè)備不理想造成 n 廣義地說，稱這些使信號(hào)產(chǎn)生失真的誤差源為噪聲。來自外部的噪聲也稱為干擾。3.3.1 3.3.1 噪聲噪聲第三章 隨機(jī)信號(hào)的頻域分析23/30隨機(jī)信號(hào)分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析（2 2）噪聲的分類）噪聲的分類n從噪聲與電子系統(tǒng)的關(guān)系來看：n內(nèi)部噪聲：系統(tǒng)本身的元器件及電路產(chǎn)生的n外部噪聲：包括電子系統(tǒng)之外的所有噪聲n根據(jù)噪聲的分布：n高斯噪聲：具有高斯分布的噪聲n均勻噪聲：具有均勻分布的噪聲n

14、從功率譜的角度來看：n白噪聲：隨機(jī)過程的功率譜為常數(shù)（無論是什么分布）。n色噪聲：功率譜中各種頻率分量的大小不同。第三章 隨機(jī)信號(hào)的頻域分析24/30隨機(jī)信號(hào)分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析（1 1） 定義定義 一個(gè)均值為零均值為零，功率譜密度在整個(gè)頻率軸上為，即的平穩(wěn)過程平穩(wěn)過程N(yùn)(t)，稱為白噪聲過程，簡(jiǎn)稱為白噪聲。0( )2NNG )(2)(0NRN（2 2）白噪聲的自相關(guān)函數(shù)）白噪聲的自相關(guān)函數(shù)3.3.2 3.3.2 理想白噪聲理想白噪聲0( )NG02N( )NR00()2N第三章 隨機(jī)信號(hào)的頻域分析25/30隨機(jī)信號(hào)分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析（

15、3 3）白噪聲的相關(guān)系數(shù)）白噪聲的相關(guān)系數(shù)02220( )1(0)( )( )2( )0(0)(0)(0)2NNNNNNNNCRmNRm 這說明，白噪聲在任何兩個(gè)相鄰時(shí)刻，不管多么近，只要0，狀態(tài)之間都是不相關(guān)的；白噪聲過程的樣本隨時(shí)間起伏極快，相當(dāng)脈沖寬為0的沖激(t)。第三章 隨機(jī)信號(hào)的頻域分析26/30隨機(jī)信號(hào)分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析n 白噪聲是一個(gè)理想化的數(shù)學(xué)模型白噪聲是一個(gè)理想化的數(shù)學(xué)模型。在物理上是不存在的。任何一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)過程，兩個(gè)相鄰時(shí)刻的狀態(tài)之間總存在一定的相關(guān)性。無法構(gòu)造出脈沖寬為0的沖激(t) 做為樣本。平均功率 無窮大無窮大 任何一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)

16、過程，其平均功率總是有限的（4 4）白噪聲的特點(diǎn)）白噪聲的特點(diǎn))0(2)0(0NNNNRPn 數(shù)學(xué)上有很好的分析性質(zhì)數(shù)學(xué)上有很好的分析性質(zhì)常數(shù)功率譜密度沖激自相關(guān)函數(shù))()(NNGRn 是大多數(shù)噪聲的模型是大多數(shù)噪聲的模型第三章 隨機(jī)信號(hào)的頻域分析27/30隨機(jī)信號(hào)分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域分析n 白噪聲可以替代系統(tǒng)中的寬帶噪聲白噪聲可以替代系統(tǒng)中的寬帶噪聲在實(shí)際應(yīng)用中，系統(tǒng)帶寬總是有限的，無論是否是理想白噪聲，通過系統(tǒng)后的結(jié)果都一樣。只要輸入噪聲功率譜在觀察的范圍（系統(tǒng)帶寬）內(nèi)是一常數(shù)，就可以把它近似為白噪聲來處理。0)(XG0)(YG0)(H0)(NGn 高斯白噪聲在任意兩個(gè)時(shí)刻是相互獨(dú)立的，且高斯白噪聲在任意兩個(gè)時(shí)刻是相互獨(dú)立的，且具有各態(tài)歷經(jīng)性具有各態(tài)歷經(jīng)性第三章 隨機(jī)信號(hào)的頻域分析28/30隨機(jī)信號(hào)分析第三章隨機(jī)信號(hào)頻域