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1、 例析反函數(shù)的幾種題型及解法 反函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要概念之一,也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一。在歷年高考中也占有一定的比例。為 了更好地掌握反函數(shù)相關(guān)的內(nèi)容,本文重點(diǎn)分析關(guān)于反函數(shù)的幾種題型及其解法。 一. 反函數(shù)存在的充要條件類(lèi)型?23f(x)?x?2ax?21, 上存在反函數(shù)的充要條件是( 2004例1. (年北京高考)函數(shù) 在區(qū)間)?a?2,a?,1? B. A. ?,a?122,a?,1? C. D. ?23?x?2axf(x)a,?或不是定義域內(nèi)的單調(diào)函數(shù),但在其定義域的子區(qū)間解析:因?yàn)槎魏瘮?shù)?,?a 上是單調(diào)函數(shù)。)f(x 在區(qū)間1而已知函數(shù),2上存在反函數(shù)?,?a,1,2?a1,2?
2、 所以或者1?a2?a 或即 )故選(C)y?f(x特別地:在某一區(qū)間上存在反函數(shù)的充要條件是該函數(shù)在這一區(qū)間上是一一映射。評(píng)注:函數(shù))x?f(y)不是定義f(x在定義域內(nèi)的單調(diào)函數(shù),那么函數(shù)f(x如果二次函數(shù))必存在反函數(shù);如果函數(shù) 在這個(gè)子區(qū)間上必存在反函數(shù)。)域內(nèi)的單調(diào)函數(shù),但在其定義域的某個(gè)子區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),那么函數(shù)f(x 反函數(shù)的求法類(lèi)型二. 32)1?(x?y0x 的反函數(shù)是( 2005例2. ( 年全國(guó)卷)函數(shù) )3)(x?(x1)y?1 A. 3)x?1?y?(x?1)( B. 3)?0x?1)x(?y( C. 3)0()x?xy?(?1 D. 320?x0x?1?y 解析:
3、由可得,故 1 332)1x?(y?1xy? 解得從0x? 因3)1?x?(y? 所以3)?(x?1)1(xy 即其反函數(shù)是 故選(B)。 評(píng)注:這種類(lèi)型題目在歷年高考中比較常見(jiàn)。在求反函數(shù)的過(guò)程中必須注意三個(gè)問(wèn)題: 1)反函數(shù)存在的充要條件是該函數(shù)在某一區(qū)間上是一一映射;(交換,與y(2)求反函數(shù)的步驟:求原函數(shù)的值域,反表示,即把x用y來(lái)表示,改寫(xiě),即把x在反表示后存在正負(fù)兩種情況,由反函數(shù)存在的充要條件可知,只能根據(jù)函數(shù)的定并標(biāo)上定義域。其中例330?x)?1x?(y,再結(jié)合原函數(shù)的值域即可得出正確結(jié)論。另外,根據(jù)反函數(shù)的定義義域()來(lái)確定域即為原函數(shù)的值域,所以求反函數(shù)時(shí)應(yīng)先求出原函數(shù)
4、的值域,不應(yīng)該直接求反函數(shù)的定義域。例如:求2)?1?2x?3(xy?x? 的反函數(shù)。?0?y|y1?x 可得由4y?x?1? 反表示解出1?x4?y?x?1? 由應(yīng)取4?y?x?1 即)0(x?xy?1?4 所以為其反函數(shù)。1?1?)xf()1fx?(?y)?1fy?(x,而是互為反函數(shù),對(duì)于函數(shù))與)f(x來(lái)說(shuō),其反函數(shù)不是(31?1)?1(xx()?1y?y?ff1)?f(x(x?1)y?y?f 的反函數(shù)也不是,而是。同理 求反函數(shù)定義域、值域類(lèi)型三. 1?1)(fx)?1)?lg(x(fx _2004例3. (年北京春季)若。(x)的反函數(shù),為函數(shù)則f的值域?yàn)閤1?1)?1(?1f10
5、(x)?,?,而利用)的值域?yàn)椋ǎ┑姆春瘮?shù)(解析:通法是先求出fx,可求得fx1)?1?,?( 反函數(shù)的值域就是原函數(shù)的定義域這條性質(zhì),立即得f()的值域?yàn)閤。 評(píng)注:這種類(lèi)型題目可直接利用原函數(shù)的定義域、值域分別是反函數(shù)的值域和定義域這一性質(zhì)求解。 2 四. 反函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性類(lèi)型 x?xee?y?的反函數(shù)是( 函數(shù) ) 例4. 20,?)上是減函數(shù) A. 奇函數(shù),在(0,?)上是減函數(shù) B. 偶函數(shù),在(0,?)上是增函數(shù)C. 奇函數(shù),在( 0,?)上是增函數(shù)D. 偶函數(shù),在( x?x0,?0,?ee)上是減函數(shù)解析:因?yàn)樵冢?在()上是增函數(shù),x?xe?e0,?y)上是增函數(shù)在( 所
6、以 2x?xe?ey?為奇函數(shù) 易知 21)xy?f( )。奇函數(shù)的反函數(shù)也為奇函數(shù)這兩條性質(zhì),立即選(與f利用函數(shù)C(x)具有相同的單調(diào)性, 五. 反函數(shù)求值類(lèi)型 ?1(x),ff(4)?0,年湖南省高考)設(shè)函數(shù)(fx)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,對(duì)稱,且存在反函數(shù)2)例5. (20051?(4)?f_。則 f(4)?0,可知函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(4,0)。而點(diǎn)(4,0)關(guān)于點(diǎn)(1,2)的對(duì)稱點(diǎn)為解析:由?1(4)f?24?2)f(?。 x4(-2,)。由題意知點(diǎn)(-2,4)也在函數(shù)f()的圖象上,即有,所以評(píng)注:此題是關(guān)于反函數(shù)求值的問(wèn)題,但又綜合了函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題。在反函數(shù)求值時(shí)經(jīng)常要?
7、1(a?f)b)(ba?f。(用到這條性質(zhì):當(dāng)函數(shù)fx)存在反函數(shù)時(shí),若 ,則?11?1)?1xf(x)?log(8?(b?(a)1f)f1?,若(設(shè)2004如(年湖南省高考)fx)是函數(shù)的反函數(shù),2f(a?b)的值為( ) 則log3 D. C. 3 A. 1 B. 2 21?b?f(a)(bfa?。分析:直接利用:若,則 )。選(B 3 . 反函數(shù)方程類(lèi)型六4?12)f(x?log? 。=4的解x=_,則方程f(例6. (2004年上海市高考)已知函數(shù)x) 3?x1?1)f(ab?)4a?f(b)f()x的值即為x解析:當(dāng)函數(shù)f()存在反函數(shù)時(shí),若,則。所以只需求出f(1?x1?f(4)
8、x=4中的的值。易知即為所求的值。,所以1fx評(píng)注:此題除了這種方法外,也可以用常規(guī)方法去求。即先求出反函數(shù)f)的解析式,再解方程(11?x x)=4,也可得。( 反函數(shù)不等式類(lèi)型七. x?xaa?11?)f(x(a?1)是函數(shù)例7. (2005年天津市高考)設(shè)f的反函數(shù),則fx(x)1成 2 )的取值范圍是( 立時(shí)x22?1aa?1,? A. B. ? a2a2?2?1?a)?a,?(a, D. C. ? a2?11a? 上也為增函數(shù)。)在上為增函數(shù),所以fR解析:由(x(,知函數(shù)fx)在R1)(1x?f 故由f(x)1,有21?11a?a?(1)?f? 而 ?aa2221?a?x 可得 a
9、2 )。故選(A評(píng)注:此題除了這種方法外,也可以用常規(guī)方法去求,但比較繁瑣。而下面的題目選用常規(guī)方法解則更 為簡(jiǎn)便。1f(x)?x的反函數(shù),則下列不等式中恒成立的是( f2004年湖南省高考)設(shè) (x )是函數(shù) ) 如(?1?1(x)?12fx?1?f)(x?2x A. B. 1?1?1)(x?x(f)2f?x21x C. D. 4 21?)0x?x?f(x() )。畫(huà)出略圖,故選(A分析:依題意知 反函數(shù)的圖象類(lèi)型八. 1?1?)(fxy?)?x(1y?fxlogy?的圖象是,則例8. (2004年福建省高考)已知函數(shù)的反函數(shù)是2 ) ( x?12?(xf) 解析:由題意知1?x1?)?1?
10、(x?11?x?22f(1?x)? 則 ?2x1?1?)x(1?y?f?y? 的圖象可由個(gè)單位而得到。的圖象向右平移所以1 ?2 )。故選(C評(píng)注:解反函數(shù)的圖象問(wèn)題,通常方法有:平移法,對(duì)稱法等。對(duì)稱法是指根據(jù)原、反函數(shù)的圖象關(guān)于x?y對(duì)稱,這種函數(shù)直線y=x對(duì)稱來(lái)求解;特殊地,若一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)是它本身,則它的圖象關(guān)于直線 稱為自反函數(shù)。 與反函數(shù)有關(guān)的綜合性類(lèi)型九. 2?xaa4?x)f(2Rx? ,f(x)是奇函數(shù),且例9. (2003年黃岡市模考)設(shè)。 x14?11 x(x)的解析式及f)的定義域;x(1)試求f()的反函數(shù)f(1?x12?1f(x)?g(x)x?,log?(gx),若的取值范圍。2()設(shè) 時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)k? 223k?x?R f(x)是奇函數(shù),且)因?yàn)榻馕觯海?1?000)?,即a(f 所以 2a1?a 得 5 x1?2?x)f( 所以 x1?2)1(?1,f(x)? 可求得x12?y ,反解出令 x12?y?y1?1xlog,2x? 2y?y1?1x1?1?)1,1,x?(fx)?log? 從而 2x1?21?,x?0k? 2)因?yàn)?,所以? 32?1?)(x(x)?fg 由得2x1?1x1?x?loglog?log? 22?2kk1?x2xx1?1? 所以 ?k?x121?22,x?x?1
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