第14講立體幾何中的有關(guān)計(jì)算教育材料

1、數(shù)學(xué)高考綜合能力題選講14立體幾何中的有關(guān)計(jì)算題型預(yù)測(cè)立體幾何中的計(jì)算主要是求角和距離其中二面角的平面角和點(diǎn)到平面的距離（體積）常常作為考查的重點(diǎn)范例選講 例1 長方體中，是側(cè)棱中點(diǎn)（1）求直線與平面所成角的大??；（2）求二面角的大??；（3）求三棱錐的體積講解：（1）要求線面所成角，首先需要找到這個(gè)角，為此，我們應(yīng)該先作出面的一條垂線不難發(fā)現(xiàn)，正為所求由長方體知：，又，所以，在矩形中，為中點(diǎn)且，所以，所以，為等腰直角三角形，所以，面所以，就是直線與平面所成的角，為（2）要作出二面角的平面角，一般的思路是最好能找到其中一個(gè)面的一條垂線，則可利用三垂線定理（或逆定理）將其作出注意到，所以，面，所以

2、，只需在內(nèi)過點(diǎn)作于f，則面過作于g，連eg，則就是二面角的平面角在中，所以，在中，在中，所以，二面角的平面角的大小為（3）要求三棱錐的體積，注意到（2）中已經(jīng)求出了點(diǎn)到平面的距離ef所以，另一方面，也可以利用等積轉(zhuǎn)化因?yàn)椋?，所以，點(diǎn)a到平的距離就等于點(diǎn)到平的距離所以，點(diǎn)評(píng)：求角的一般方法是：先作出所求角，然后再解三角形利用三垂線定理作出二面角的平面角是很常用的方法例2 如圖：三棱臺(tái)中，側(cè)棱底面，直線與所成的角等于60°（1）求二面角的大??；（2）求點(diǎn)到平面的距離講解 無論從已知（直線與所成的角等于60°）的角度還是從所求（二面角）的角度，過作的平行線都是當(dāng)然之舉在平面中

3、，過作交于點(diǎn)，連接，則就是直線與所成的角所以，又因?yàn)榈酌妫?，底面在平面?nèi)過點(diǎn)作于，連，則，所以，就是二面角的平面角在中，在rt中，在rt中，在rt中，所以，二面角的平面角的大小為：（2）由為中點(diǎn)，故點(diǎn)b到平面的距離等于點(diǎn)d到平面的距離的2倍，作于h由（1）知，所以，所以，所以，就是點(diǎn)d到平面的距離在rt中，所以，點(diǎn)b到平面的距離等于另外，我們也可以用體積法求出這個(gè)距離設(shè)點(diǎn)b到平面的距離為則由及，可得：所以，點(diǎn)b到平面的距離等于點(diǎn)評(píng)等積變形是求體積和求距離時(shí)常用的方法高考真題1（1998年全國高考）已知斜三棱柱abca'b'c'的側(cè)面a'acc'與底面

4、abc垂直,abc,bc2,ac且aa'a'c,aa'a'c. 求側(cè)棱aa'與底面abc所成角的大小;求側(cè)面a'abb'與底面abc所成二面角的大小; 求頂點(diǎn)c到側(cè)面a'abb'的距離. 2（1999年全國高考）如圖,已知四棱柱abcda'b'c'd',點(diǎn)e在棱d'd上,截面eacd'b,且面eac與底面abcd所成的角為45°,aba (1)求截面eac的面積；(2)求異面直線a'b'與ac之間的距離；sb ca d (3)求三棱錐b'eac的體積3(2001年全國高考)如圖：在底面是直角梯形的四棱錐s-abcd中，abc=90°，sa面abcd，sa=ab=bc=1，ad=