柯西點(diǎn)列和完備度量空間

1、教學(xué)單元教案格式課程教案授課題目：第三節(jié) 度量空間中的基本概念柯西點(diǎn)列和完備度量空間教學(xué)時(shí)數(shù)：授課類型：口理論課口實(shí)踐課 教學(xué)目的、要求：注：指教學(xué)中要體現(xiàn)“課程的總體目標(biāo)”和“章、節(jié)或?qū)嵺`教學(xué)單元的目標(biāo)”、預(yù)期達(dá)到的效果等。注：指該章、節(jié)的重點(diǎn)和難點(diǎn)部分，學(xué)生必須掌握的知識(shí)點(diǎn)和技能。實(shí)踐教學(xué)還包括實(shí)踐操作訓(xùn)練 的主要指導(dǎo)要點(diǎn)；關(guān)鍵環(huán)節(jié)、關(guān)鍵技術(shù)指導(dǎo)方法等。教學(xué)重點(diǎn)： 教學(xué)難點(diǎn):教學(xué)方法和手段：注：是根據(jù)教學(xué)目的進(jìn)行教學(xué)方式（講授、演示、實(shí)驗(yàn)、實(shí)作、討論、案例分析、仿真或真實(shí)現(xiàn)場(chǎng) 實(shí)作指導(dǎo)等）、教學(xué)輔助手段（教具、模型、圖表、實(shí)物、現(xiàn)代教學(xué)設(shè)施設(shè)備，以及特殊教學(xué)或?qū)嵺` 環(huán)境等）、師生互動(dòng)、板書

2、等的設(shè)計(jì)。要能有效地調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，促進(jìn)學(xué)生的積極思考，激 發(fā)學(xué)生的潛能。注：以下內(nèi)容按實(shí)際需要進(jìn)行取舍教學(xué)分組；注：指導(dǎo)教師及學(xué)生分組情況說明安全事項(xiàng)；注：教學(xué)實(shí)踐過程中的人身、設(shè)備、儀器及產(chǎn)品等安全；操作安全規(guī)范說明；或安全 隱患防范措施等。教學(xué)條件；注：教學(xué)場(chǎng)地、設(shè)施、設(shè)備、軟件等要求說明；參考資料；注：是提供給學(xué)生課后參考，輔助其掌握課程教學(xué)內(nèi)容，擴(kuò)大知識(shí)面的資料其它；注：指另行增加的要素項(xiàng)目，由各系、教研室根據(jù)不同專業(yè)不同課程的教學(xué)需要自行規(guī)定第頁課程教案教學(xué)內(nèi)容及過程旁批注：是指通過對(duì)教學(xué)大綱、教材和主要參考資料的研析，確定本教學(xué)單兀的課程 教學(xué)知識(shí)信息的總和。實(shí)踐課還應(yīng)注重

3、其對(duì)實(shí)踐環(huán)節(jié)的指導(dǎo)性，必要時(shí)應(yīng)包含實(shí) 踐步驟及其說明。教學(xué)引入（可選）：教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)設(shè)計(jì)：注：此部分詳略取決于教師教學(xué)經(jīng)驗(yàn)多少、教學(xué)內(nèi)容的熟悉程度；經(jīng)驗(yàn)少、內(nèi)容 較生疏的教師此部分應(yīng)更詳細(xì)。一*基本概念1柯西（Cauchy）列設(shè)4是度量空間X中的點(diǎn)列，如果V s > 0, 3 N使當(dāng)n, m > N時(shí)有d（xn,xm） <名則稱或是X中的柯西列或基本列。注：柯西列不一定是收斂點(diǎn)列。收斂點(diǎn)列一定是柯西列。2完備度品空間度品空間X中的柯西列都在X中收斂，則稱X為完備度品空間。注：完備度品空間中柯西列與收斂點(diǎn)列等價(jià)。二完備度品空間的例子1 .產(chǎn)2 . Cb,b】三 完備度顯空間子

4、空間的完備性7 / 71定理：完備度量空間 X的子空間M是完備的充要條件是M是X中的閉子空間。注：這一定理的優(yōu)勢(shì)是在判斷完備度量空間X的子空間M是否完備不需要驗(yàn)證 M中的任一 Cauchy列都在M中收斂，而只需判斷 M中任意收斂點(diǎn)列的極限是否還在M中。2例子C = i X=( n)njlim n ) n yVx=( ), y=(，產(chǎn) C 定義d(X, y) =sup |-n -nn| n命題：C是完備的。四 不完備度量空間的例子 1 Pa,b不是完備的Pa,b表示閉區(qū)間a,b上多項(xiàng)式函數(shù)全體v p,q w Pa,b,定義 d(p,q) =max|p(t) -q(t)|a寶蟲注：作為度量空間，P

5、a,b是Ca,b的子空間，這表明Pa,b 在Ca,b中不是閉的。2 X - 1 x | x tl.a,b 卜X.d(x,y )= I |x(t 卜 y(t )|dt,Vx,y命題：X在上面定義的度量d下是不完備的映射在一點(diǎn)處的連續(xù)性1定義設(shè)X =(X,d),Y =(Y,d)是兩個(gè)度量空間，T是X到Y(jié)中的映射，WX, 如果 V 名 >0, 36 >0 ,使得當(dāng) xw X,d(x,x0) <5 ,有 d(Tx,Tx0) < w 則稱T在x0連續(xù)。注：鄰域表示2利用點(diǎn)列收斂判斷映射在一點(diǎn)的連續(xù)性定理：設(shè)T是度量空間(X,d)到度量空間(Y,d)中的映射，那 么 T 在x

6、76;wX連續(xù)的充要條件為當(dāng) % T % (nT g)時(shí)，必有 Txn T Txo (nT 哈。注：上述定理類似與數(shù)學(xué)分析中的歸結(jié)原則。二連續(xù)映射1定義如果映射T在X中的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱 T上X上的 連續(xù)映射。2判斷記號(hào)：集合稱為集x|xWX,TxWM UY合M在映射T下的的 原像，記為T4M.定理：度量空間 X到Y(jié)中的映射T是X上連續(xù)映射 的充要條件為 Y中任意開集M的原像TM.是X中的開集。教學(xué)目標(biāo)：(一)知識(shí)與技能目標(biāo)：1仿照直線上函數(shù)連續(xù)性的定義，我們引入度顯 空間中映射連續(xù)性的概念。2給出度顯空間上的映射的連續(xù)性的兩個(gè)等價(jià)條 件。（一）過程與方法目標(biāo)：以定理的形式給出度品空間上映射連續(xù)的兩個(gè)充要條件。教材分析：（一）教學(xué)重點(diǎn)：用極限的形式和集合對(duì)應(yīng)關(guān)系給出本節(jié)的 兩個(gè)重要定埋。（二）教學(xué)難點(diǎn)：連續(xù)，連續(xù)映射課型：新授課教學(xué)方法：講解法作業(yè)布置：