數(shù)列極限與數(shù)學(xué)歸納法

1、第三章 數(shù)列、極限與數(shù)學(xué)歸納法課標(biāo)與考試基本解題方法點撥1.基本量法：在等差（等比）數(shù)列中，經(jīng)常涉及到的有5個量，其中最重要也是最基本的量是首項和公差（或公比），這兩個量是等差（等比）數(shù)列定義的出發(fā)點，而且有了這兩個量，數(shù)列中的其它量也可以隨之確定，稱之為基本量法.適用情境：求解一般的等差，等比數(shù)列問題，可利用相關(guān)公式，求出該數(shù)列中的基本量，從而解決要求的其它量，只是需要因題制宜，有些時候只需設(shè)而不求.常見題型與解法：知三求二法：在圍繞著數(shù)列五個量的基本公式中，一般的公式中都含有四個量，那么知道其中的三個量，利用公式，通過求代數(shù)式的值或解方程（組）總可以求出其他兩個量.課本中的等差等比通項與求

2、和公式在運用時，特別要注意等比求和時，與的兩種情況.除此還有一些推廣的性質(zhì)，在等差數(shù)列中有，若，則，成公差為的等差數(shù)列；在等比數(shù)列中，若，則，成公比為的等比數(shù)列.2.遞推法：已知數(shù)列的任意一項，通過給定的規(guī)律求出緊接著后面的一項稱為遞推，利用遞推式求數(shù)列的通項或前項之和的方法叫做遞推法.適用情境：一個數(shù)列的遞推式是這個數(shù)列定義的一種表現(xiàn)形式，由于初始條件和遞推規(guī)律反映了數(shù)列的全部情況，所以可由這種遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)列的通項關(guān)系（這里一般指不是等差等比數(shù)列的遞推關(guān)系）常見題型與解法：（1）與的互化，根據(jù)數(shù)列的前項和可求得通項 （2）形如，可設(shè)常數(shù)，將其轉(zhuǎn)化為，其中的值可待定系數(shù)確定.（3）形如可利

3、用遞推關(guān)系連續(xù)寫出個關(guān)系式，然后將左右分別相加，可求出的通項公式.（4）形如可利用遞推關(guān)系連續(xù)寫出個關(guān)系式，然后將左右分別相乘，可求出的通項公式.（5）類比推理法，當(dāng)是等差數(shù)列是等比數(shù)列；是正項等比數(shù)列是等差數(shù)列.3.特殊數(shù)列求和法：當(dāng)遇到一些特殊數(shù)列，可用一些較為特定的方法將之求和.適用情境：除了等差、等比數(shù)列，某些數(shù)列具備一定的特征，我們可以利用這些特征將之轉(zhuǎn)化后利用等差，等比的求和方法求出該數(shù)列的和.常見題型與解法：（1）公式法：直接轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列（等差或等比數(shù)列）求和. （2）倒序相加法：對于一個有限項數(shù)列，若具備“凡是與首末兩項等距離的任意兩項之和總等于同一常數(shù)”的特點，則可將此數(shù)列

4、的前項進(jìn)行倒序表述，并與前者對應(yīng)相加，通過對稱性以達(dá)到求和.（3）裂項求和法：將數(shù)列中的每一項拆成兩項，在求和時，除首項和末項之外，中間的項相互抵消，從而達(dá)到求和目的的方法稱為裂項法.（4）錯位相減法：如果數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，那么的前項和的求法，可分別求出和的表達(dá)式，特別注意與的同次指數(shù)項對齊（錯位對齊），等式兩邊均對應(yīng)項相減，化簡并將左邊系數(shù)化為1，即得.（5）分組求和法：把數(shù)列依某種特征分成若干個易求和的組，或把通項拆成若干項，再對每項產(chǎn)生的數(shù)列分別求和.4.函數(shù)法：用函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)數(shù)列的問題. 適用情境：由于數(shù)列可以看作以正整數(shù)集（或它的有限子集）為定義域的函數(shù)，

5、因此可以通過研究函數(shù)的圖象和性質(zhì)（如函數(shù)的單調(diào)性，最值等）來解決數(shù)列問題.常見題型與解法：（1）單調(diào)性法：考察數(shù)列的單調(diào)性，即可判斷相鄰兩項差：的符號或直接利用數(shù)列所對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，考察的最大、小項等.（2）極值點，零點法：設(shè)為數(shù)列的最大項，則，但此公式僅為為最大項的必要條件，且不為最大項時適用，設(shè)為等差數(shù)列前項和的最大值5.歸納、猜想、證明：進(jìn)行數(shù)學(xué)探究過程中經(jīng)常使用的一種方法.適用情境：從特殊或部分事實歸納出一般性的結(jié)論作為猜想，然后用嚴(yán)密的推理方式進(jìn)行證明，在證明中涉及與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題多用數(shù)學(xué)歸納法.常見題型與解法：歸納是基礎(chǔ)，猜想是關(guān)鍵，數(shù)歸法的步驟是：（1）證明當(dāng)取時結(jié)論成立

6、；（2）假設(shè)當(dāng)時結(jié)論正確，證明當(dāng)時，結(jié)論也正確，綜上當(dāng)時結(jié)論成立。6.化歸重要極限：利用幾個重要的極限進(jìn)行運算.適用情境：在n無限增大的變化過程中，若數(shù)列中的項無限趨近于一個常數(shù)，則此類問題.就可以用數(shù)列極限的思想來解決.常見題型與解法：1）四個基本的重要數(shù)列極限：（1）；（4）. 2）多項式分式型的極限計算，先將分子與分母都除以轉(zhuǎn)化為自然數(shù)倒數(shù)數(shù)列與常數(shù)數(shù)列極限的計算；型的極限計算，先將算式轉(zhuǎn)化為型，再設(shè)法求解.原題與點評試題12006理（4）計算： .命題立意 本題考查數(shù)列極限的計算思路分析 將分子展開后，即可觀察到分子為最高次為3次，其系數(shù)為的多項n，及利用數(shù)列極限中多項式形式，由其最高

7、次項系數(shù)之比，即得.試題解析 .試題點評 本題文理科生得分率分別為0.93，0.82；區(qū)分度分別為0.52，0.39，本題考查目標(biāo)屬雙基要求，很多數(shù)學(xué)生掌握較好，可能題目中存在數(shù)列極限的運算中混搭了組合數(shù)公式，令少數(shù)考生無所適從.試題22005理（7）計算：=_.命題立意 本題考查數(shù)列極限.思路分析 本題為數(shù)列極限中的指數(shù)型，方法是同除以底數(shù)較大，指數(shù)較小的一項，以構(gòu)成重要極限.試題解析 =3.試題點評 本題理科得分率0.84，區(qū)分度0.52，部分學(xué)生對數(shù)列極限的運算法則及如何轉(zhuǎn)化成幾個重要的數(shù)列極限形成，掌握不熟練，使得結(jié)論為.試題32004理（4）設(shè)等比數(shù)列an(nN)的公比q=,且(+)

8、=,則= .命題立意本題考察無窮等比數(shù)列及其和的概念.思路分析本題因為，所以可以直接使用無窮遞縮等比數(shù)列的公式，求出.試題解析 試題點評本題文理科生得分率分別為0.44，0.70；區(qū)分度分別為0.56，0.43，少數(shù)學(xué)生混淆等比數(shù)列前項和與無窮等比數(shù)列之和的概念，部分學(xué)生將極限符號后和式的每一項當(dāng)作是連續(xù)的和.試題42004（22）設(shè)，, (n3,nN) 是二次曲線C上的點, 且=2, =2, , =2構(gòu)成了一個公差為d(d0) 的等差數(shù)列, 其中O是坐標(biāo)原點. 記Sn=+.(1) 若C的方程為=1,n=3. 點P1(10,0) 及S3=255, 求點P3的坐標(biāo)； (只需寫出一個)(2)若C的

9、方程為(>b>0). 點P1(,0), 對于給定的自然數(shù)n, 當(dāng)公差d變化時, 求Sn的最小值；(3)請選定一條除橢圓外的二次曲線C及C上的一點P1,對于給定的自然數(shù)n,寫出符合條件的點P1, P2,Pn存在的充要條件,并說明理由.命題立意 本題考查了等差數(shù)列的通項與求和，曲線與方程，解方程組，并著力考察了等差數(shù)列前項和單調(diào)性，分析問題和解決問題的能力.思路分析 本題難點在第2問，對于給定的自然數(shù)，當(dāng)公差變化時，求的最小值，因此突破口就在將看成公差為自變量的函數(shù)，從而利用函數(shù)單調(diào)性及定義域解決最值問題.試題解析解：(1) =2=100,由S3=(+)=255,得=3=70. 由 ，

10、得 點P3的坐標(biāo)可以為(2, ). (2)解法一 原點O到二次曲線C:(>b>0)上各點的最小距離為b,最大距離為. =2=2, d<0,且=2=2+(n1)db2, d<0. n3,>0 Sn=n2+d在,0)上遞增, 故Sn的最小值為n2+·=. 解法二 對每個自然數(shù)k(2kn), 由x+y=2+(k1)d,解得y=.+=1 0< yb2,得d<0， d<0. 以下與解法一相同. (3)解法一 若雙曲線C:=1,點P1(,0), 則對于給定的n, 點P1, P2,Pn存在的充要條件是d>0. 原點O到雙曲線C上各點的距離h,+

11、),且=2, 點P1, P2,Pn存在當(dāng)且僅當(dāng)2>2,即d>0. 解法二 若拋物線C:y2=2x,點P1(0,0), 則對于給定的n, 點P1, P2,Pn存在的充要條件是d>0.理由同上 解法三 若圓C:(x)+y2=2(0), P1(0,0), 則對于給定的n, 點P1, P2,Pn存在的充要條件是0<d. 原點O到圓C上各點的最小距離為0,最大距離為2, 且=0, d>0，且2=(n1)d42即0<d.試題點評 本題第1的文理科生得分率分別為0.49，0.69；區(qū)分度分別為0.60，0.54，第2的文理科生得分率分別為0.03，0.14；區(qū)分度分別為0

12、.31，0.59，第3的理科生得分率分別為0.13；區(qū)分度分別為0.50.第2題得分率低主要是不少學(xué)生沒有理解條件中“對于給定的自然數(shù)”在求解中的作用，定勢思維地將看成是為變量的二次函數(shù)，試圖通過對進(jìn)行配方，求得的最小值，導(dǎo)致解題的方向性錯誤部分學(xué)生因為對自變量的變化范圍缺乏認(rèn)識以至沒能正確的答題第三問則試圖考查學(xué)生的研究性學(xué)習(xí)的能力，它需要學(xué)生的邏輯思維能力，但更注重學(xué)生的自主探索和研究能力，由于試題的開放度較大，很多學(xué)生不知從哪兒入手寫充要條件試題52005（20）假設(shè)某市2004年新建住房400萬平方米，其中有250萬平方米是中低價房預(yù)計在今后的若干年后，該市每年新建住房面積平均比上年增

13、長8%另外，每年新建住房中，中底價房的面積均比上一年增加50萬平方米那么，到哪一年底.（1）該市歷年所建中低價房的累計面積（以2004年為累計的第一年）將首次不少于4750萬平方米？（2）當(dāng)年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%？命題立意 本題考查等差數(shù)列及其求和公式，等比數(shù)列及其通項公式，以及建立數(shù)學(xué)模型的能力.思路分析 本題的難點在數(shù)學(xué)建模上，第1小題主要是等差的求和，第2小題則是等差，等比的通項.試題解析（1）設(shè)中低價房面積形成數(shù)列，由題意可知是等差數(shù)列，其中a1=250，d=50，則 令 即到2013年底，該市歷年所建中低價房的累計面積將首次不少于4750萬平方米

14、.（2）設(shè)新建住房面積形成數(shù)列bn，由題意可知bn是等比數(shù)列，其中b1=400，q=1.08， 則bn=400·(1.08)n1，由題意可知，于是，有250+(n1)50>400 · (1.08)n1 · 0.85.用計算器可解得滿足上述不等式的最小正整數(shù)n=6，到2009年底，當(dāng)年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%.試題點評 本題文理科生得分率分別為0.44，0.66；區(qū)分度為0.76，0.67，在本題中，少數(shù)學(xué)生不會根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，一年一年硬算，往往計算錯誤很多，有的學(xué)生計算結(jié)果后答案都相差1年，反映出對項數(shù)的理解不準(zhǔn)確有的

15、學(xué)生錯誤地套用數(shù)列的相關(guān)知識，如第1小題中低價房總面積用了等比求和來表示，有的又將歷年來新建中低價房的累計面積用等差數(shù)列的通項來表示.在第2小題中，有的將當(dāng)年建造的住房面積用等比數(shù)列的前n項和來表示，還有的同學(xué)對n的理解不準(zhǔn)確.試題62006（21） 已知有窮數(shù)列共有2項（整數(shù)2），首項2設(shè)該數(shù)列的前項和為，且2（1，2，21），其中常數(shù)1（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若2，數(shù)列滿足（1，2，2），求數(shù)列的通項公式；（3）若（2）中的數(shù)列滿足不等式|4，求的值命題立意 本題考查等比數(shù)列，能根據(jù)n的不同取值正確推理結(jié)論成立的邏輯推理能力，能正確地將等比數(shù)列轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列問題，具有分析問題，探

16、究問題的思維能力.思路分析 第1小題主要是考查了的遞推關(guān)系，第2小題則展示了等差與等比之間在條件成立的情況下可以互化，第3小題考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想及探究問題的能力試題解析 (1) 證明 當(dāng)n=1時,=2,則=； 2n2k1時, =(1) Sn+2, =(1) Sn1+2, =(a1) an, =a, 數(shù)列是等比數(shù)列. (2) 解：由(1) 得=2, =2=2=2, bn=(n=1,2,2k). （3）設(shè)bn,解得nk+,又n是正整數(shù),于是當(dāng)nk時, bn<； 當(dāng)nk+1時, bn>. 原式=(b1)+(b2)+(bk)+(bk+1)+(b2k) =(bk+1+b2k)(b1+b

17、k) =. 當(dāng)4,得k28k+40, 42k4+2,又k2,當(dāng)k=2,3,4,5,6,7時,原不等式成立.試題點評 本題理科生得分率為0.53，區(qū)分度為0.81，本題的第1小題常見錯誤為對的兩種情況分類不到位第2，3小題含字母的多項式運算，部分學(xué)生出現(xiàn)將字母n與k混淆，當(dāng)?shù)?小題再出現(xiàn)含字母絕對值運算時，則顯出做題沒有章法，不知從哪里下手，字母較多又要分類討論的多項式運算是學(xué)生的弱項試題72007理（21）如果有窮數(shù)列（為正整數(shù)）滿足條件，即（），我們稱其為“對稱數(shù)列”例如，由組合數(shù)組成的數(shù)列就是“對稱數(shù)列”（1）設(shè)是項數(shù)為7的“對稱數(shù)列”，其中是等差數(shù)列，且，依次寫出的每一項；（2）設(shè)是項數(shù)

18、為(正整數(shù))的“對稱數(shù)列”，其中是首項為，公差為的等差數(shù)列記各項的和為當(dāng)為何值時，取得最大值？并求出的最大值； （3）對于確定的正整數(shù)，寫出所有項數(shù)不超過的“對稱數(shù)列”，使得依次是該數(shù)列中連續(xù)的項；當(dāng)時，求其中一個“對稱數(shù)列”前項的和命題立意 本題考查等差數(shù)列及其求和，把等差數(shù)列放到了一個新的數(shù)學(xué)背景下，去和新知識整合，考察了學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)新知識的能力及分析問題與解決問題的能力思路分析 本題的難、重點在第2，3小題，第2小題要學(xué)生善于接受并理解給出的新的對稱數(shù)列的本質(zhì)，運用原有的等差數(shù)列通項及求和知識，并運用等差數(shù)列中的函數(shù)性質(zhì)求得的最大項，第3小題要求考生能準(zhǔn)確地理解題目給出的信息，并不重復(fù)

19、不遺漏地對所有情況進(jìn)行分類討論試題解析（1）設(shè)的公差為，則，解得 ， 數(shù)列為 （2） ， ， 當(dāng)時，取得最大值，的最大值為626 （3）所有可能的“對稱數(shù)列”是： ； ； ； 對于，當(dāng)時，； 當(dāng)時， 對于，當(dāng)時，； 當(dāng)時， 對于，當(dāng)時， ； 當(dāng)時， 對于，當(dāng)時，； 當(dāng)時，試題點評 本題理科生得分率分別為（1）0.96 （2）0.46 （3）0.09 ，區(qū)分度為（1）0.31 （2）0.62 （3）0.49本題既有對學(xué)生雙基的考查，更有對學(xué)生能力的要求，有閱讀，收集新知識，概念的能力，又要能及時理解并正確加以處理，并且有多種情況能逐一正確地表達(dá)，題目對分析問題，解決問題的能力考查的意圖非常明顯遷

20、移與實踐一. 填空題1.在等差數(shù)列中,已知,求 ;在等比數(shù)列中,已知,求 . 2.數(shù)列滿足,且對任意正整數(shù)都有,則數(shù)列的通項公式為 .3.求極限 ;,則 ， .4.數(shù)列前n項和為,且當(dāng)時,滿足,求數(shù)列的通項公式為 .5. 設(shè)等差數(shù)列的前n項和為,若,為數(shù)列的前n項和,則= . 6.已知數(shù)列為等差數(shù)列,且,求數(shù)列的通項公式 .7.設(shè),令 ,求數(shù)列各項和= . 8.已知是方程的兩個根，若，求 .二選擇題9設(shè)成等差數(shù)列， 成等比數(shù)列，則的取值范圍是 （ ） A B. C D.10已知數(shù)列前n項和，其中是非零常數(shù)，則存在數(shù)列，使得 （ ）A，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列B，其中是等差數(shù)列，是等差數(shù)列C，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列D，其中是等比數(shù)列，是等比數(shù)列11已知數(shù)列滿足，若，則等于 （ ） A B.3 C.4 D.5三.解答題12設(shè)等比數(shù)列的公比為，前n項為，若，成等差數(shù)列，求公比的值