第二章隨機變量及其概率習題

1、習題二一、填空題1. 已知隨機變量X只能取1, 0, 1, 2四個數(shù)值, 其相應(yīng)的概率依次為, 則c = 2_.解. 2. 某射手每次命中目標的概率為0.8，若獨立射擊了三次，則三次中命中目標次數(shù)為的概率 .3. 設(shè)服從參數(shù)為的兩點分布，則的分布函數(shù)為 .4. 設(shè)隨機變量(2, p), (3, p), 若, 則= 19/27 .解. , .5. 設(shè)隨機變量服從泊松分布，且，則.6. 已知連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)為，則 1 ， ， ， .7. 設(shè)隨機變量的概率密度函數(shù), 則 0.5 ,=； .8. 設(shè)隨機變量的概率密度為，若使得, 則的取值范圍是.9. 某公共汽車站有甲，乙，丙三人，分別等1，2

2、，3路車，設(shè)每人等車的時間（分鐘）都服從0，5上的均勻分布，則三人中至少有兩人等車時間不超過2分鐘的概率為_0.352_.10. 設(shè)k在(0, 5)上服從均勻分布, 則有實根的概率為_3/5_.解. k的分布密度為 . P有實根 = P = Pk £1或k ³ 2 =.11. 設(shè) 則服從的分布為 .12. 設(shè) 則服從的分布為 . 13. 若隨機變量,且P(2<<4)=0.3, 則P(<0)= 0.2 .14設(shè)，若，則 3 .15. 設(shè)隨機變量和的概率分布分別為 則分別為0.3，0.1，0.216. 設(shè)隨機變量服從(0,2)上的均勻分布,則隨機變量在(0,4

3、)內(nèi)的概率密度為 。二、選擇題1. 隨機變量X的分布律為：為其分布函數(shù)，則（ C ）。2. 如下四個函數(shù)哪個不能成為隨機變量X的分布函數(shù) （B） (A) (B) 解. (A)不滿足F(+¥) = 1, 排除(A); (B)不滿足單增, 排除(B); (D)不滿足F(1/2 + 0) = F(1/2), 排除(D); (C)是答案.3. 設(shè)函數(shù) , 可能是某個隨機變量的概率密度函數(shù)，區(qū)間是（A）。 (A) (B) (C) (D) 4.設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為的泊松分布，且則的值為( B ）.(A) ； (B) ； (C) ； (D) .5. 每張獎券中尾獎的概率為，某人購買了20張?zhí)柎a雜

4、亂的獎券，設(shè)中尾獎的張數(shù)為，則服從（ A ）分布。 (A) 二項； (B) 泊松； (C) 指數(shù)； (D) 正態(tài).6.連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)必滿足條件( D ).(A)； (B)為偶函數(shù)；(C) 單調(diào)不減； (D).7.設(shè)隨機變量的密度函數(shù)為的分布函數(shù),則對任意實數(shù)有（B）(A) (B)(C) (D)8.設(shè)X的密度函數(shù)為，則為( A ).(A);(B); (C) ; (D) .9.設(shè)A,B為隨機事件,則( B ).(A) (B) AB未必是不可能事件 (C) A與B對立 (D) P(A)=0或P(B)=010.設(shè)X服從上的均勻分布,則( D ).(A) (B)(C) (D)11.設(shè)X服從參

5、數(shù)為的指數(shù)分布,則( C ).(A);(B);(C) ;(D).12.設(shè)隨機變量, 的分布函數(shù)為，則的值為( A )。 （A）; （B）; （C）; （D）.13.設(shè)則( C ).(A) ; (B) ;(C) ; (D) .14.若,記其密度函數(shù)為，分布函數(shù)為,則(C ).(A); (B);(C) ; (D).15. 設(shè)隨機變量則隨的增大,概率 （C）(A) 單調(diào)增大; (B) 單調(diào)減少; (C) 保持不變; (D) 增減不變.16. 設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布且，則必有（A）.（A） （B） （C） （D）17.設(shè)隨機變量的分布函數(shù)為則隨機變量的分布函數(shù)是（A）.18. 設(shè)隨機變量

6、X的密度函數(shù)是（B）.（A） （B）（C） （D） 三、解答題1. 設(shè)在15只同類型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽樣，以X表示取出次品的只數(shù)，求X的分布律。解：任取三只，其中新含次品個數(shù)X可能為0，1，2個。再列為下表X： 0， 1， 2P： 2. 袋中有6個球，分別標有數(shù)字1，2，2，2，3，3，從中任取一個球，令為取出的球的號碼，試求的分布律及分布函數(shù)。 解 的分布列為 1 2 3 由分布函數(shù)的計算公式得的分布函數(shù)為 3. 已知離散型隨機變量的分布律為：，試寫出的分布函數(shù)。 解 的分布律為 所以的分布函數(shù)為 4. 某射手有5發(fā)子彈, 射擊一次的命中率為0.9,

7、如果他命中目標就停止射擊, 不命中就一直到用完5發(fā)子彈, 求所用子彈數(shù)X的分布律.解. 假設(shè)X表示所用子彈數(shù). X = 1, 2, 3, 4, 5. P(X = i) = P(前i1次不中, 第i次命中) = , i = 1, 2, 3, 4.當i =5時, 只要前四次不中, 無論第五次中與不中, 都要結(jié)束射擊(因為只有五發(fā)子彈). 所以 P(X = 5) =. 于是分布律為 X1 2 3 4 5 p0.9 0.09 0.009 0.0009 0.00015. 設(shè)一批產(chǎn)品中有10件正品, 3件次品, 現(xiàn)一件一件地隨機取出, 分別求出在下列各情形中直到取得正品為止所需次數(shù)X的分布律.（i）. 每

8、次取出的產(chǎn)品不放回; （ii）. 每次取出的產(chǎn)品經(jīng)檢驗后放回, 再抽取; (iii) . 每次取出一件產(chǎn)品后總以一件正品放回, 再抽取.解. 假設(shè)Ai表示第i次取出正品(i = 1, 2, 3, )(i). 每次取出的產(chǎn)品不放回X1 2 3 4 p (ii). 每次抽取后將原產(chǎn)品放回X1 2 k p , (k = 1, 2, )(iii). 每次抽取后總以一個正品放回X1 2 3 4 p 6一實習生用一臺機器接連生產(chǎn)了三個同種零件，第個零件是不合格品的概率，以表示三個零件中合格品的個數(shù)，求的分布律。 解 設(shè)第個零件是合格品。則 ， ， ， .即的分布列為 . 7. 一批元件的正品率為，次品率為

9、，現(xiàn)對這批元件進行有放回的測試，設(shè)第次首次測到正品，試求的分布律。解 的取值為1，2，3， 且 . 此即為的分布律。8從一批合格品率為0.98的產(chǎn)品中任取30件，用X表示其中合格品的個數(shù). 求 (1) 隨機變量X的分布律; (2) 最多有一件不合格品的概率.9.一電話交換臺每分鐘接到的呼叫次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布，求(1)每分鐘恰有8次呼叫的概率；(2) 每分鐘的呼叫次數(shù)大于10的概率。 解 設(shè)為每分鐘接到的呼叫次數(shù)，則 （1） （2）10.設(shè)每分鐘通過交叉路口的汽車流量服從泊松分布,且已知在一分鐘內(nèi)無車輛通過與恰有一輛車通過的概率相同,求在一分鐘內(nèi)至少有兩輛車通過的概率11. 設(shè)隨機變量的

10、分布函數(shù)為,<<+,試求 (1) 系數(shù)與, (2) P (1<<1), (3) 的概率密度函數(shù).解 12. 設(shè)隨機變量的概率密度為 求的分布函數(shù). 解 的分布函數(shù)為 13. 設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為，求（1）P (X<2), P 0<X3, P (2<X<)；（2）求概率密度fX (x).解：（1）P (X2)=FX (2)= ln2， P (0<X3)= FX (3)FX (0)=1，（2）14. 設(shè)連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)為；求常數(shù)，使.解 (1) 因為 ，所以故.15. 在半徑為，球心為的球內(nèi)任取一點，X為點O與P的距離，求X的分布函

11、數(shù)及概率密度。 解 當時，設(shè)，則點落到以為球心，為半徑的球面上時，它到點的距離均為，因此，所以，的分布函數(shù)為的密度函數(shù)為 .16. 設(shè)隨機變量的概率密度為, 以Y表示對進行三次獨立觀察中出現(xiàn)的次數(shù),求概率P(=2).解 p = P ()=, 由已知 (3, )所以 17設(shè)隨機變量的概率密度為 求：（1）常數(shù)；（2）使成立的. 解 （1），； （2）， 可見 ， 。18. 隨機變量X的密度為 , 求: (i). 常數(shù)c; (ii). X落在內(nèi)的概率.解. (i). (ii). 19. 設(shè)顧客在某銀行窗口等待服務(wù)的時間（單位：分），服從參數(shù)為的指數(shù)分布。若等待時間超過10分鐘，則他就離開。設(shè)他一個

12、月內(nèi)要來銀行5次，以表示一個月內(nèi)他沒有等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，求的分布列及。 解 由題意，其中 ，于是的分布為 . 21. 設(shè)K在（0，5）上服從均勻分布，求方程有實根的概率 K的分布密度為：要方程有根，就是要K滿足(4K)24×4× (K+2)0。解不等式，得K2時，方程有實根。22. 設(shè)XN（3.22）（1）求P (2<X5)，P (4)<X10)，P|X|>2，P (X>3)若XN（，2），則P (<X)=P (2<X5) =(1)(0.5) =0.84130.3085=0.5328P (4<X10) =(3.5)(3.5)

13、 =0.99980.0002=0.9996P (|X|>2)=1P (|X|<2)= 1P (2< P<2 ) = =1(0.5) +(2.5) =10.3085+0.0062=0.6977P (X>3)=1P (X3)=1=10.5=0.5（2）決定C使得P (X > C )=P (XC)P (X > C )=1P (XC )= P (XC)得P (XC )=0.5又P (XC )= C =3 24. 一工廠生產(chǎn)的電子管的壽命X（以小時計）服從參數(shù)為=160，(未知)的正態(tài)分布，若要求P (120X200=0.80，允許最大為多少？ P (120X200)=又對標準正態(tài)分布有(x)=1(x) 上式變?yōu)?解出 再查表，得。25已知離散型隨機變量的分布列為 求的分布列. 解 的分布列為 . 26. 對圓片直徑進行測量, 其值在5, 6上服從均勻分布, 求圓片面積的概率分布.解. 直徑D的分布密度為 假設(shè), X的分布函數(shù)為F(x).當x £ 0時, F(x) = 0當x > 0時當 F(x) = 0當 = 當 x >