解析幾何初步知識點(diǎn)

1、1 以一個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是某條直線上的點(diǎn)；反之，這條直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解這時(shí)，這個(gè)方程就叫做這條直線的方程；這條直線就叫做這個(gè)方程的直線上面的定義可簡言之：( 方程)有一個(gè)解 ( 直線上 ) 就有一個(gè)點(diǎn)； (直線上 ) 有一個(gè)點(diǎn)(方程) 就有一個(gè)解，即方程的解與直線上的點(diǎn)是一一對應(yīng)的顯然，直線的方程是比一次函數(shù)包含對象更廣泛的一個(gè)概念直線的傾斜角的坐標(biāo)不滿足這個(gè)方程，但化為y-y1=k(x-x1)后，點(diǎn) p1的坐標(biāo)滿足方程當(dāng)直線的斜率為0時(shí) k=0，直線的方程是y=y1 當(dāng)直線的斜率為90時(shí)( 圖 1-26) ，直線的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示但因 l 上每一點(diǎn)的橫

2、坐標(biāo)都等于x1，所以它的方程是x=x1(二)斜截式已知直線l 在 y 軸上的截距為b，斜率為k，求直線的方程代入點(diǎn)斜式方程可得：y-b=k(x-0) y=kx+b 上面的方程叫做直線的斜截式方程為什么叫斜截式方程？因?yàn)樗怯芍本€的斜率和它在y 軸上的截距確定的當(dāng)k0 時(shí)，斜截式方程就是直線的表示形式，這樣一次函數(shù)中k 和 b 的幾何意義就是分別表示直線的斜率和在y 軸上的截距(三)兩點(diǎn)式已知直線l 上的兩點(diǎn) p1(x1，y1) 、p2(x2，y2)，(x1x2) ，直線的位置是確定的，也就是直線的方程是可求的，請同學(xué)們求直線l 的方程當(dāng)y1y2時(shí)，為了便于記憶，我們把方程改寫成2 對兩點(diǎn)式方程

3、要注意下面兩點(diǎn)：(1) 方程只適用于與坐標(biāo)軸不平行的直線，當(dāng)直線與坐標(biāo)軸平行 (x1=x2或 y1=y2) 時(shí)，可直接寫出方程； (2) 要記住兩點(diǎn)式方程，只要記住左邊就行了， 右邊可由左邊見 y 就用 x 代換得到，足碼的規(guī)律完全一樣(四)截距式已知直線 l 在 x 軸和 y 軸上的截距分別是a 和 b(a0，b0)，求直線 l 的方程因?yàn)橹本€l 過 a(a，0)和 b(0，b)兩點(diǎn)，將這兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入兩點(diǎn)式，得就是這個(gè)方程是由直線在x 軸和 y 軸上的截距確定的，叫做直線方程的截距式對截距式方程要注意下面三點(diǎn)：(1) 如果已知直線在兩軸上的截距，可以直接代入截距式求直線的方程；(2) 將直

4、線的方程化為截距式后，可以觀察出直線在x軸和 y 軸上的截距，這一點(diǎn)常被用來作圖；(3) 與坐標(biāo)軸平行和過原點(diǎn)的直線不能用截距式表示直線的點(diǎn)斜式、 斜截式、兩點(diǎn)式和截距式表示直線有一定的局限性，只有直線的一般式能表示所有的直線，要搞清直線與二元一次方程的對應(yīng)關(guān)系直線與二元一次方程是一對多的關(guān)系同條直線對應(yīng)的多個(gè)二元一次方程是同解方程對于每一條直線都可以求得它的一個(gè)二元一次方程，就是說，直線的方程都可以寫成關(guān)于x、y 的一次方程反過來，對于x、y 的一次方程的一般形式3 ax+by+c=0 (1) 其中a、b不同時(shí)為零(1)當(dāng) b0 時(shí)，方程 (1) 可化為(2)當(dāng) b=0時(shí)，由于 a、b不同時(shí)

5、為零，必有 a0，方程(1) 可化為它表示一條與y 軸平行的直線這樣，我們又有：關(guān)于x 和 y 的一次方程都表示一條直線我們把方程寫為ax+by+c=0這個(gè)方程(其中 a、b不全為零 ) 叫做直線方程的一般式(一)特殊情況下的兩直線平行與垂直當(dāng)兩條直線中有一條直線沒有斜率時(shí)：(1) 當(dāng)另一條直線的斜率也不存在時(shí)，兩直線的傾斜角為 90，互相平行； (2) 當(dāng)另一條直線的斜率為0 時(shí)，一條直線的傾斜角為 90，另一條直線的傾斜角為0，兩直線互相垂直(二)斜率存在時(shí)兩直線的平行與垂直設(shè)直線l1和 l2的斜率為 k1和 k2，它們的方程分別是 *(1)斜率存在的不重合的兩直線平行的等價(jià)條件；(2)兩

6、斜率存在的直線垂直的等價(jià)條件；(3)與已知直線平行的直線的設(shè)法；(4)與已知直線垂直的直線的設(shè)法(一)兩直線交點(diǎn)與方程組解的關(guān)系4 設(shè)兩直線的方程是l1： a1x+b1y+c1=0， l2： a2x+b2y+c2=0如果兩條直線相交，由于交點(diǎn)同時(shí)在兩條直線上，交點(diǎn)的坐標(biāo)一定是這兩個(gè)方程的公共解； 反之，如果這兩個(gè)二元一次方程只有一個(gè)公共解，那么以這個(gè)解為坐標(biāo)的點(diǎn)必是直線l1和 l2的交點(diǎn)因此，兩條直線是否相交，就要看這兩條直線的方程所組成的方程組是否有唯一解5 6 求曲線的方程的一般步驟是：1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用(x ，y) 表示曲線上任意點(diǎn) m的坐標(biāo)， 簡稱建系設(shè)點(diǎn)；(2)寫出適合條件

7、 p的點(diǎn) m的集合 p=m|p(m)| ，簡稱寫點(diǎn)集；(3)用坐標(biāo)表示條件 p(m)，列出方程 f(x ，y)=0，簡稱列方程；(4)化方程 f(x ，y)=0 為最簡形式，簡稱化簡方程；(5)證明化簡后的方程就是所求曲線的方程，簡稱證明其中步驟(1)(3)(4)必不可少1求圓的方程的方法(1)待定系數(shù)法，確定 a，b，r ；(2)軌跡法，求曲線方程的一般方法2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d，圓半徑為 r ：(1)點(diǎn)在圓上d=r；(2)點(diǎn)在圓外dr ；(3)點(diǎn)在圓內(nèi)dr 3以 a(x1， y1)、b(x2，y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0

8、 1點(diǎn)與圓的位置關(guān)系設(shè)圓c(x-a)2+(y-b)2=r2，點(diǎn) m(x0，y0)到圓心的距離為d，則有：(1)dr 點(diǎn) m在圓外；(2)d=r 點(diǎn) m在圓上；(3)dr 點(diǎn) m在圓內(nèi)2直線與圓的位置關(guān)系設(shè)圓 c(x-a)2+(y-b)=r2，直線l的方程為 ax+by+c=0 ，圓心 (a，7 判別式為，則有：(1)dr 直線與圓相交；(2)d=r 直線與圓相切；(3)dr 直線與圓相離，即幾何特征；或(1) 0 直線與圓相交；(2)=0 直線與圓相切；(3)0 直線與圓相離，即代數(shù)特征，3圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓c1：(x-a)2+(y-b)2=r2和圓 c2：(x-m)2+(y-n)2=k2(

9、k r) ，且設(shè)兩圓圓心距為 d，則有：(1)d=k+r 兩圓外切；(2)d=k-r 兩圓內(nèi)切；(3)dk+r 兩圓外離；(4)dk+r 兩圓內(nèi)含；(5)k-rdk+r 兩圓相交4其他(1)過圓上一點(diǎn)的切線方程：圓x2+y2=r2，圓上一點(diǎn)為 (x0，y0) ，則此點(diǎn)的切線方程為x0 x+y0y=r2( 課本命題) 圓(x-a)2+(y-b)2=r2，圓上一點(diǎn)為 (x0，y0)，則過此點(diǎn)的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2( 課本命題的推廣 )(2)相交兩圓的公共弦所在直線方程：設(shè)圓c1x2+y2+d1x+e1y+f1=0 和圓 c2x2+y2+d2x+e2y+f2=0，若兩圓相交，則過兩圓交點(diǎn)的直線方程為(d1-d2)x+(e1-e2)y+(f1-f2)=0(3)圓系方程：8 設(shè)圓c1x2+y2+d1x+e1y+f1=0和圓 c2x2+y2+d2x+e2y+f2=0 若兩圓相交，則過交點(diǎn)的圓系方程為x2+y2+d1x+e1