高中數(shù)學(xué)必修一第五章 5.4.1

1、1 / 12 5.4 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 5.4.1 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象.2.會(huì)用五點(diǎn)法畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象.3.能利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象解決簡單問題 知識(shí)點(diǎn)一 正弦函數(shù)的圖象 1正弦曲線的定義 正弦函數(shù) ysin x，xr 的圖象叫正弦曲線 2正弦函數(shù)圖象的畫法 (1)幾何法： 利用單位圓上點(diǎn) t(x0，sin x0)畫出 ysin x，x0,2的圖象； 將圖象向左、向右平行移動(dòng)(每次 2個(gè)單位長度) (2)五點(diǎn)法： 畫出正弦曲線在0,2上的圖象的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(0,0)，2，1 ，(，0

2、)，32，1 ，(2，0)，用光滑的曲線連接； 將所得圖象向左、向右平行移動(dòng)(每次 2個(gè)單位長度) 思考 為什么把 ysin x，x0,2的圖象向左、向右平移 2的整數(shù)倍個(gè)單位長度后圖象形狀不變？ 答案 由公式 sin(x2k)sin x，kz 可得 知識(shí)點(diǎn)二 余弦函數(shù)的圖象 1余弦曲線的定義 余弦函數(shù) ycos x，xr 的圖象叫余弦曲線 2 / 12 2余弦函數(shù)圖象的畫法 (1)要得到 ycos x 的圖象，只需把 ysin x 的圖象向左平移2個(gè)單位長度即可，這是由于cos xsinx2. (2)用“五點(diǎn)法”：畫余弦曲線 ycos x 在0,2上的圖象時(shí)，所取的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)分別為(0,1)

3、，2，0 ，(，1)，32，0 ，(2，1)，再用光滑的曲線連接 1正弦函數(shù)的圖象向左右是無限伸展的( ) 2正弦函數(shù) ysin x 的圖象在 x2k，2k2，(kz)上的圖象形狀相同，只是位置不同( ) 3函數(shù) ysin x的圖象向右平移2個(gè)單位得到函數(shù) ycos x的圖象( ) 4函數(shù) ycos x 的圖象關(guān)于 x軸對(duì)稱( ) 一、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的初步認(rèn)識(shí) 例 1 (1)下列敘述正確的個(gè)數(shù)為( ) ysin x，x0,2的圖象關(guān)于點(diǎn) p(，0)成中心對(duì)稱； ycos x，x0,2的圖象關(guān)于直線 x成軸對(duì)稱； 正、余弦函數(shù)的圖象不超過直線 y1和 y1所夾的范圍 a0 b1 個(gè) c2

4、個(gè) d3個(gè) 答案 d 解析 分別畫出函數(shù) ysin x，x0,2和 ycos x，x0,2的圖象，由圖象(略)觀察可知均正確 (2)函數(shù) ysin |x|的圖象是( ) 答案 b 解析 ysin |x| sin x，x0，sin x，x0，結(jié)合選項(xiàng)可知選 b. 3 / 12 反思感悟 解決正、余弦函數(shù)圖象的注意點(diǎn) 對(duì)于正、余弦函數(shù)的圖象問題，要畫出正確的正弦曲線、余弦曲線，掌握兩者的形狀相同，只是在坐標(biāo)系中的位置不同，可以通過相互平移得到 跟蹤訓(xùn)練 1 關(guān)于三角函數(shù)的圖象，有下列說法： ysin x1.1 的圖象與 x軸有無限多個(gè)公共點(diǎn)； ycos(x)與 ycos |x|的圖象相同； y|s

5、in x|與 ysin(x)的圖象關(guān)于 x 軸對(duì)稱； ycos x與 ycos(x)的圖象關(guān)于 y軸對(duì)稱 其中正確的序號(hào)是_ 答案 解析 對(duì)，ycos(x)cos x，ycos |x|cos x，故其圖象相同； 對(duì)，ycos(x)cos x，故其圖象關(guān)于 y軸對(duì)稱；作圖(略)可知均不正確 二、用“五點(diǎn)法”作簡圖 例 2 用“五點(diǎn)法”作出下列函數(shù)的簡圖： (1)ysin x1，x0,2； (2)y2cos x，x0,2 解 (1)列表： x 0 2 32 2 sin x 0 1 0 1 0 sin x1 1 0 1 2 1 描點(diǎn)并將它們用光滑的曲線連接起來，如圖 (2)列表： x 0 2 32

6、2 cos x 1 0 1 0 1 2cos x 3 2 1 2 3 描點(diǎn)并將它們用光滑的曲線連接起來，如圖 4 / 12 反思感悟 作形如 yasin xb(或 yacos xb)，x0,2的圖象的三個(gè)步驟 跟蹤訓(xùn)練 2 利用“五點(diǎn)法”作出函數(shù) y1sin x(0 x2)的簡圖 解 (1)取值列表： x 0 2 32 2 sin x 0 1 0 1 0 1sin x 1 0 1 2 1 (2)描點(diǎn)連線，如圖所示 三、正弦(余弦)函數(shù)圖象的應(yīng)用 例 3 利用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象，求滿足下列條件的 x 的集合 (1)sin x12；(2)cos x12. 解 (1)作出正弦函數(shù) ysin x

7、，x0,2的圖象，如圖所示，由圖象可以得到滿足條件的 x的集合為62k，562k ，kz. (2)作出余弦函數(shù) ycos x，x0,2的圖象，如圖所示，由圖象可以得到滿足條件的 x 的集合為32k，532k ，kz. 5 / 12 反思感悟 用三角函數(shù)圖象解三角不等式的步驟 (1)作出相應(yīng)的正弦函數(shù)或余弦函數(shù)在0,2上的圖象； (2)寫出不等式在區(qū)間0,2上的解集； (3)根據(jù)公式一寫出定義域內(nèi)的解集 跟蹤訓(xùn)練 3 在0,2上，使 cos x12成立的 x的取值集合為_ 答案 x 23x43 解析 畫出 ycos x在0,2上的簡圖，如圖所示 由于 cos x12時(shí)，x23或 x43. 由圖象

8、可知，在0,2上，使 cos x12成立的角 x 的取值集合為x 23x43. 根據(jù)函數(shù)圖象求范圍 典例 函數(shù) f(x)sin x2|sin x|，x0,2的圖象與直線 yk 有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k 的取值范圍是_ 答案 (1,3) 解析 用數(shù)形結(jié)合法判斷 k 的取值范圍 f(x) 3sin x，0 x，sin x，x2.圖象如下圖所示 結(jié)合圖象可知 1k3. 素養(yǎng)提升 關(guān)于方程根的個(gè)數(shù)問題，往往運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題來解決 6 / 12 1函數(shù) ysin x，x2，32的簡圖是( ) 答案 d 解析 函數(shù) ysin x與 ysin x的圖象關(guān)于 x軸對(duì)

9、稱，故選 d. 2在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù) ysin x，x0,2與 ysin x，x2，4的圖象( ) a重合 b形狀相同，位置不同 c關(guān)于 y 軸對(duì)稱 d形狀不同，位置不同 答案 b 解析 根據(jù)正弦曲線的作法可知函數(shù) ysin x，x0,2與 ysin x，x2，4的圖象只是位置不同，形狀相同 3用“五點(diǎn)法”畫函數(shù) y23sin x的圖象時(shí)，首先應(yīng)描出五點(diǎn)的橫坐標(biāo)是( ) a0，4，2，34， b0，2，32，2 c0，2，3，4 d0，6，3，2，23 答案 b 解析 所描出的五點(diǎn)的橫坐標(biāo)與函數(shù) ysin x 的五點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，即 0，2，32，2，故選 b. 4不等式 cos x

10、0，x0,2的解集為_ 答案 2，32 解析 由函數(shù) ycos x 的圖象可知，不等式 cos x0，x0,2的解集為2，32. 7 / 12 5函數(shù) ycos x，x0,2的圖象與直線 y14的交點(diǎn)有_個(gè) 答案 2 解析 作 ycos x，x0,2的圖象及直線 y14(圖略)，知兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn) 1知識(shí)清單： (1)通過單位圓畫正弦函數(shù)圖象； (2)通過平移得余弦函數(shù)的圖象； (3)五點(diǎn)法作圖； (4)函數(shù)圖象的應(yīng)用 2方法歸納：數(shù)形結(jié)合 3常見誤區(qū)：五點(diǎn)的選??；平移得余弦函數(shù)的圖象 1用五點(diǎn)法畫 y3sin x，x0,2的圖象時(shí)，下列哪個(gè)點(diǎn)不是關(guān)鍵點(diǎn)( ) a.6，32 b.2，3 c

11、(，0) d(2，0) 答案 a 解析 五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次是 0，2，32，2. 2函數(shù) ysin(x)，x0,2的簡圖是( ) 答案 b 解析 由 ysin(x)sin x 可知，其圖象和 ysin x 的圖象關(guān)于 x 軸對(duì)稱 3函數(shù) y1sin x，x0,2的圖象與直線 y2交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是( ) a0 b1 c2 d3 答案 b 解析 由函數(shù) y1sin x，x0,2的圖象(如圖所示)， 8 / 12 可知其與直線 y2只有 1個(gè)交點(diǎn) 4在0,2內(nèi)，不等式 sin x32的解集是( ) a(0，) b.3，43 c.43，53 d.53，2 答案 c 解析 畫出 ysin x，x0,2的

12、草圖如下 因?yàn)?sin 332， 所以 sin332，sin2332. 即在0,2內(nèi)，滿足 sin x32的 x43或53. 可知不等式 sin x32的解集是43，53.故選 c. 5如圖中的曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是( ) ay|sin x| bysin |x| cysin |x| dy|sin x| 答案 c 解析 排除法，可知 c 正確 6用“五點(diǎn)法”畫出 y2sin x 在0,2內(nèi)的圖象時(shí)，應(yīng)取的五個(gè)點(diǎn)為_ 答案 (0,0)，2，2 ，(，0)，32，2 ，(2，0) 解析 可結(jié)合函數(shù) ysin x 的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)尋找，即把相應(yīng)的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼? 倍即可 7函數(shù) ycos x

13、4，x0,2的圖象與直線 y4的交點(diǎn)的坐標(biāo)為_ 答案 2，4 ，32，4 9 / 12 解析 由 ycos x4，y4得 cos x0， 當(dāng) x0,2時(shí)，x2或32， 交點(diǎn)為2，4 ，32，4 . 8函數(shù) y12log sin x的定義域是_ 答案 x|2kx2k，kz 解析 由12log sin x0知 0sin x1， 由正弦函數(shù)圖象(圖略)知 2kx2k，kz. 9用“五點(diǎn)法”作下列函數(shù)的簡圖 (1)y3sin x(x0,2)； (2)ysinx2x2，52. 解 (1)列表如下： x 0 2 32 2 3sin x 0 3 0 3 0 描點(diǎn)連線如圖： (2)列表如下： x 2 32 2

14、 52 sinx2 0 1 0 1 0 描點(diǎn)連線如圖： 10根據(jù) ycos x 的圖象解不等式：32cos x12，x0，2 解 函數(shù) ycos x，x0,2的圖象如圖所示： 10 / 12 根據(jù)圖象可得不等式的解集為x 3x56或76x53. 11如圖所示，函數(shù) ycos x|tan x|0 x32且x2的圖象是( ) 答案 c 解析 當(dāng) 0 x2時(shí)，ycos x |tan x|sin x； 當(dāng)2x時(shí)，ycos x |tan x|sin x； 當(dāng) x32時(shí)，ycos x |tan x|sin x， 故其圖象為 c. 12方程 sin xx10的根的個(gè)數(shù)是( ) a7 b8 c9 d10 答案

15、 a 解析 在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出 yx10和 ysin x的圖象如圖所示 根據(jù)圖象可知方程有 7個(gè)根 11 / 12 13函數(shù) y2cos x，x0,2的圖象和直線 y2 圍成的一個(gè)封閉的平面圖形的面積是_ 答案 4 解析 如圖所示，將余弦函數(shù)的圖象在 x 軸下方的部分補(bǔ)到 x 軸的上方，可得一個(gè)矩形，其面積為 224. 14函數(shù) ysin x2|sin x|在0,2上的圖象若與直線 yk有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則 k 的取值范圍是_，若與直線 yk 有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則 k 的取值范圍是_ 答案 1k3 0k1 解析 ysin x2|sin x| 3sin x，0 x，sin x，x2， 由題意在同一坐標(biāo)系中作出兩函數(shù)的圖象如圖所示，若有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則 1k3.若有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則 0k1. 15已知函數(shù) f(x)|sin x|，x2，2，則方程 f(x)12的所有根的和等于( ) a0 b c d2 答案 a 解析 若 f(x)12，即|sin x|12， 則 sin x12或 sin x12. 因?yàn)?x2，2， 所以方程 sin x12的 4個(gè)根關(guān)