專題10：全等三角線中的輔助線做法及常見題型之中位線-備戰(zhàn)2022中考數(shù)學解題方法系統(tǒng)訓練（全國通用）

1、專題10：第三章 全等三角形中的輔助線的做法及常見題型之中位線一、單選題1如圖，在菱形 ABCD 中，邊長 AB=4，A=60°，E、F 為邊 BC、CD 的中點，作菱形 CEGF，則圖中陰影部分的面積為（ ）A16B12C8D62平面直角坐標系內(nèi)一點關于原點對稱點的坐標是（ ）ABCD二、填空題3如圖，已知在RtABC中，ACB90°，點D是AC延長線上的一點，AD24，點E是BC上一點，BE10，連接DE，M、N分別是AB、DE的中點，則MN_4梯形ABCD中，點E，F(xiàn)，G分別是BD，AC，DC的中點，已知：兩底差是3，兩腰的和是6，則EFG的周長是_5如圖，在四邊形A

2、BCD中，點E、F分別是邊AB、AD的中點，BC=5，CD=3，EF=2，AFE=45°，則ADC的度數(shù)為_6如圖，將繞點按順時針方向旋轉90°到的位置，已知斜邊, , 設的中點是,連接，則_7如圖，在ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AB=OB，E為AC上一點，BE平分ABO，EFBC于點F，CAD=45°，EF交BD于點P，BP=，則BC的長為_8如圖，正方形ABCD的邊長為2，點E，點F分別是邊BC，邊CD上的動點，且BECF，AE與BF相交于點P若點M為邊BC的中點，點N為邊CD上任意一點，則MN+PN的最小值等于_三、解答題9如圖，在四邊形中，、分

3、別是邊、的中點，的延長線分別、的延長線交于點、，求證：10如圖所示，中，于，為的中點，求證：.11如圖，正方形ABCD的邊長為4，E是線段AB延長線上一動點，連結CE（1）如圖1，過點C作CFCE交線段DA于點F求證：CF=CE；若BE=m（0m4），用含m的代數(shù)式表示線段EF的長；（2）在（1）的條件下，設線段EF的中點為M，探索線段BM與AF的數(shù)量關系，并用等式表示（3）如圖2，在線段CE上取點P使CP=2，連結AP，取線段AP的中點Q，連結BQ，求線段BQ的最小值12如圖，在菱形中，點、分別為邊、的中點，連接，求證：參考答案1D【解析】【分析】構造輔助線，求得，的長，利用三角形中位線定理

4、證得,求得，從而求得陰影部分的面積【詳解】設菱形ABCD的對角線相交于G，AB=4，A=60°，AB=BC=CD=DA=4，A=C =60°，為邊長為4的等邊三角形，DCG=BCG=30，E、F 為邊 BC、CD 的中點，EFBD，EF=BD=2，,，故選：D【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，菱形的面積，三角形中位的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，作輔助線構造出等邊三角形是解題的關鍵，也是本題的突破點2D【解析】【分析】根據(jù)“平面直角坐標系中任意一點P（x，y），關于原點的對稱點是（-x，-y），即關于原點的對稱點，橫縱坐標都變成相反數(shù)”解答【詳解】

5、解：根據(jù)關于原點對稱的點的坐標的特點， 點A（-2，3）關于原點對稱的點的坐標是（2，-3）, 故選D【點評】本題主要考查點關于原點對稱的特征，解決本題的關鍵是要熟練掌握點關于原點對稱的特征.313【解析】【分析】連接BD，取BD的中點F，連接MF、NF，由中位線定理可得NF、MF的長度，再根據(jù)勾股定理求出MN的長度即可【詳解】連接BD，取BD的中點F，連接MF、NF，如圖所示M、N、F分別是AB、DE、BD的中點NF、MF分別是BDE、ABD的中位線在中，由勾股定理得故答案為：13【點評】本題考查了三角形中位線的問題，掌握中位線定理、勾股定理是解題的關鍵4【解析】【分析】連接AE，并延長交C

6、D于K，利用“AAS”證得AEBKED，得到DK=AB，可知EF，EG、FG分別為AKC、BDC和ACD的中位線，由三角形中位線定理結合條件可求得EF+FG+EG，可求得答案【詳解】連接AE，并延長交CD于K，ABCD，BAE=DKE，ABD=EDK，點E、F、G分別是BD、AC、DC的中點BE=DE，在AEB和KED中，AEBKED（AAS），DK=AB，AE=EK，EF為ACK的中位線，EF=CK=(DC-DK) =(DC-AB)，EG為BCD的中位線，EG=BC，又FG為ACD的中位線，F(xiàn)G=AD，EG+GF=(AD+BC)，兩腰和是6，即AD+BC=6，兩底差是3，即DC-AB=3，E

7、G+GF=3，F(xiàn)E=，EFG的周長是3+=故答案為：【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，作出常用輔助線，構造全等三角形是解題的關鍵5135°【解析】【分析】連接BD，根據(jù)三角形中位線定理得到EFBD，BD2EF4，根據(jù)勾股定理的逆定理得到BDC90°，計算即可【詳解】解：連接BD，E、F分別是邊AB、AD的中點，EF2，EFBD，BD2EF4，ADBAFE45°，又BC5，CD3，BD2+CD225，BC225，BD2+CD2BC2，BDC90°，ADCADB+BDC135°，故答案為：135°【點評】本題考

8、查的是三角形中位線定理、勾股定理的逆定理，三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半，熟練掌握中位線定理并作出正確的輔助線是解決本題的關鍵6【解析】【分析】作MHAC于H，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得HM的大小，又因為BH=3，HM=4；計算可得AH的值，根據(jù)勾股定理可得AM的大小【詳解】作MHAC于H，因為M為AB的中點，故HM=AC，又因為AC=AC=8，則HM=AC=×8=4，BH=3，又因為AB=8-6=2，所以AH=3+2=5，AM=cm故答案為：【點評】根據(jù)圖形的翻折不變性，結合勾股定理和中位線定理解答74【解析】【分析】過點E作EMAD，由ABO是等腰三角形，根據(jù)三線

9、合一可知點E是AO的中點，可證得EM=AD=BC，根據(jù)已知可求得CEF=ECF=45°，從而得BEF=45°，BEF為等腰直角三角形，可得BF=EF=FC=BC，因此可證明BFPMEP（AAS），則EP=FP=FC，在RtBFP中，利用勾股定理可求得x，即得答案【詳解】過點E作EMAD，交BD于M，設EM=x，AB=OB，BE平分ABO，ABO是等腰三角形，點E是AO的中點，BEAO，BEO=90°，EM是AOD的中位線，又ABCD是平行四邊形，BC=AD=2EM=2x，EFBC， CAD=45°，ADBC，BCA=CAD=45°，EFC=90

10、°，EFC為等腰直角三角形，EF=FC，F(xiàn)EC=45°，BEF=90°-FEC=45°，則BEF為等腰直角三角形，BF=EF=FC=BC=x，EMBF，EMP=FBP，PEM=PFB=90°，EM=BF，則BFPMEP（ASA），EP=FP=EF=FC=x，在RtBFP中，即：，解得：，BC=2=4，故答案為：4【點評】考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三線合一的應用，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，利用勾股定理求三角形邊長，熟記圖形的性質(zhì)定理是解題的關鍵8【解析】【分析】作M關于CD的對稱點Q，取AB的中點H，連接PQ與CD交于

11、點N'，連接PH，HQ，當H、P、N'、Q四點共線時，MN+NPPQ的值最小，根據(jù)勾股定理HQ，再證明ABEBCF，進而得APB為直角三角形，由直角三角形的性質(zhì)，求得PH，進而求得PQ【詳解】解：作M關于CD的對稱點Q，取AB的中點H，連接PQ與CD交于點N'，連接PH，HQ，則MN'QN'，四邊形ABCD是正方形，ABBC，ABCD，ABCBCD90°，在ABE和BCF中，ABEBCF（SAS），AEBBFC，ABCD，ABPBFCAEB，BAE+AEB90°，BAE+ABP90°，APB90°，PH，M點是BC

12、的中點，BMMCCQ，PH+PQHQ，當H、P、Q三點共線時，PH+PQHQ 的值最小，PQ的最小值為，此時，若N與N'重合時，MN+PNMN'+PN'QN'+PN'PQ的值最小，故答案為【點評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，關鍵是確定BM+MN取最小值時P與N的位置9證明見解析【解析】【分析】連接BD，取BD的中點，連接EP，F(xiàn)P，根據(jù)三角形中位線定理即可得到PF=AD，PFAD，EP=BC，EPBC，進而得出AHF=BGF【詳解】解：如圖所示，連接BD，取BD的中點，連接EP，F(xiàn)P，E、

13、F分別是DC、AB邊的中點，EP是BCD的中位線，PF是ABD的中位線，PF=AD，PFAD，EP=BC，EPBC，H=PFE，BGF=FEP，又AD=BC，PE=PF，PEF=PFE，AHF=BGF【點評】本題主要考查了三角形中位線定理的運用，三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半10見解析【解析】【分析】取AC中點F，連接EF、DF，則EF為ABC的中位線，結合條件可得到FEA=2A，結合直角三角形的性質(zhì)可得到FDE=EFD，得到DE=EF，可得出結論【詳解】證明：取AC的中點F，連EF，DF，則EF為中位線，EFBC，BC=2EF，F(xiàn)EA=B=2A，在直角三角形ACD中，F(xiàn)是斜

14、邊BC的中點，DF=CF=AF，F(xiàn)DA=A，即有2FDA=FEA，F(xiàn)EA=FDA+DFE，DFE=FDA，DE=EF，BC=2DE【點評】本題考查了三角形中位線的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識，正確作出輔助線是解答本題的關鍵.11（1）詳見解析；2m2+32；（2）BM= 22AF；（3）22-1【解析】【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)以及余角的性質(zhì)即可證明DCFBCE，再根據(jù)全等三角形對應邊相等即可得出結論；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得DF=BE=m在RtECF中，由勾股定理即可得出結論；（2）在直線AB上取一點G，使BG=BE，由三角形中

15、位線定理可得FG=2BM，可以證明AF=AG在RtAFG中由勾股定理即可得出結論（3）在AB的延長線上取點R，使BR=AB=4，連結PR和CR，由三角形中位線定理可得BQ=12PR在RtCBR中，由勾股定理即可得出CR的長，再由三角形三邊關系定理即可得出結論【詳解】（1）解：證明：正方形ABCD，BC=CD，DCB=CBE=90°CFCE，F(xiàn)CE=90°，DCF=BCE，DCFBCE（ASA），CE=CFDCFBCE，DF=BE=m，AF=4-m，AE=4+m，由四邊形ABCD是正方形得A=90°，EF=(4-m)2+(4+m)2=2m2+32；（2）解：在直線AB上取一點G，使BG=BEM為EF的中點，F(xiàn)G=2BM，由（1）知，DF=BE，又AD=AB，AF=AGA=90°，F(xiàn)G=2AF，2BM=2AF，BM=22AF（3）解：在AB的延長線上取點R，使BR=AB=4，連結PR和CRQ為AP的中點，BQ=12PRCP=2，CR=4