小學奧數(shù)系列——行程問題習題及詳解

1、1 行行 程程 問問 題題 行程問題是小升初考試和小學四大杯賽四大題型之一（計算、數(shù)論、幾何、行程） 。具體題型變化多樣，形成 10 多種題型，都有各自相對獨特的解題方法?，F(xiàn)根據(jù)四大杯賽的真題研究和主流教材將小題型總結如下，希望各位看過之后給予更加明確的分類。 一般行程問題 相遇問題（重點）相遇問題（重點）與相離問題，兩類問題的共同點是都用到了速度和行程問題幾大題型行程問題幾大題型 追及問題與領先問題，兩個問題的共同點是同向而行，一快一慢，有速度差 “火車過橋問題” “流水行船問題” “鐘表問題”行程問題是“行路時所產(chǎn)生的路程、時間、速度的一類應用題” ，基本數(shù)量關系如下： 速度時間=路程 ；

2、路程時間=速度 ； 路程速度=時間。注意總行程的平均速度的算法：平均速度=總路程總時間，而不是兩個（或幾個）速度相加再除以 2。行程問題涉及的變化較多，有的涉及一個物體的運動，有的涉及兩個物體的運動，有的涉及多個物體的運動。涉及兩個物體運動的，又有“相向運動” （相遇問題） 、 “同向運動” （追及問題和領先問題）和 “相背運動”（相離問題）三種情況。但歸納起來，不管是 “一個物體的運動 ”還是“兩個物體的運動 ” ，不管是“相向運動” 、 “同向運動” ，還是“相背運動” ，他們的特點是一樣的，具體地說，就是它們反映出來的數(shù)量關系是相同的，都可以歸納為：速度 時間=路程（路程時間=速度，路程

3、速度=時間） 。在各類行程問題中 進一步推演的數(shù)量關系都依賴于這一基本思想，在學習時要多注意從“簡單”到“復雜”的推導過程，重在理解，在理解的基礎上形成對各類行程問題中所涉及到的關系式的記憶和正確應用；此類問題的題型非常多且富于變化，但是“萬變不離其宗” ，希望學習者能深入理解其中包含的數(shù)學思想的本源，從而做到“以不變應萬變”！解行程問題時還要注意充分利用圖示把題中的“情節(jié)”形象地表示出來，有助于分析數(shù)量關系，有助于迅速地找到解題思路。相向而行的公式：相遇時間 =距離速度和。相背而行的公式：相背距離=速度和時間。追及問題的公式：速度慢的在前，快的在后。追及時間=追及距離速度差。在環(huán)形跑道上，速

4、度快的在前，慢的在后。追及距離=速度差時間（例如求環(huán)形跑道的長度）。 追及距離時間=速度差，追及距離速度差=時間。 “火車過橋問題 ” 、 “流水行船問題 ” 、用行程問題結合圖形知識解答的 “鐘表問題”是幾類較特殊的行程問題，在解題時更要注意具具體體問問題題具具體體分分析析 。要正確的解答有關 行程問題”的應用題，必須弄清物體運動的具體情況。如運動的方向（相向，相背，同向），出發(fā)的時間（同時，不同時），2出發(fā)的地點（同地，不同地），運動的路線（封閉，不封閉），運動的結果（相遇、相距多少、交錯而過、追及）。 兩個物體運動時，運動的方向與運動的速度有著很大關系，當兩個物體“相向運動”或“相背運動

5、”時，此時的 運動速度都是“兩個物體運動速度的和”（簡稱速度和），當兩個物體 “同向運動”時，此時兩個物體的追及的速度就變?yōu)榱?“兩個物體運動速度的差 ”（簡稱速度差）。 當物體運動有外作用力時，速度也會發(fā)生變化。如人在賽跑時順風跑和逆風跑；船在河中順水而下和逆水而上。此時人在順風跑時運動的速度就應該等于人本身運動的速度加上風的速度，人在逆風跑時運動的速度就應該等于人本身的速度減去風的速度；我們再比較一下人順風的速度和逆風的速度會發(fā)現(xiàn)，順風速度與逆風速度之間相差著兩個風的速度；同樣比較“順水而下”與“逆流而上”，兩個速度之間也相差著兩個 “水流的速度 ”。所謂“逆水行舟，不進則退 ”就是這個道

6、理。1、相遇問題和相離問題：、相遇問題和相離問題：（1）相遇問題：“兩物體分別從兩地出發(fā)，相向相向而行” ，注意關鍵詞“相向” ，如果兩物體同時出發(fā)，相遇時所用時間一定相同，注意對速度和的理解相遇時所用時間一定相同，注意對速度和的理解圖示圖示: 甲 乙甲從 A 地出發(fā) 乙 從 B 地出發(fā)關系式：關系式：相遇時間=總路程速度和 總路程=速度和相遇時間典型例題：典型例題：兩港相距 168 千米，一艘客輪和一艘貨輪同時從兩港相對開出，客輪每小時行 24 千米，貨輪每小時行 18 千米，幾小時后兩艘輪船相距 21 千米？甲乙兩車同時從東西兩地相向開出，甲車每小時行 60 千米，乙車每小時行52 千米，

7、兩車在離中點 16 千米處相遇。東西兩地相距多少千米？A、B 兩地相距 470 千米，甲車以每小時 46 千米，乙車以每小時 40 千米的速度先后從兩地出發(fā)，相向而行。相遇時甲車行駛了 230 千米。問：乙車比甲車早出發(fā)幾小時？甲、乙兩車的速度比是 3：4，兩車同時從兩地相向而行，在離中點 6 千米處相遇，求兩地相距多少千米？解法（一）：由題意可知，甲乙兩車同時開出后，路程比成正比例，總是等于速度比，設兩地間路程的一半為 X，則=，解比例得 X=42，422=84 千米即為兩地間的距離。66xx43 6 千米解法（二）： 甲 乙3 中點中點從線段圖上我們可以看出，相遇時，甲差 6 千米到達中點

8、，乙已經(jīng)過了中點 6千米，甲和乙的路程差是 6 千米的兩倍，如果將兩地間距離成看成 3+4=7“份”的話，相遇時甲和乙的路程差是其中的“一份” 。則有 62=84 千米。4334多人相遇問題：多人相遇問題：（解決此類問題同時要理解領先問題）（解決此類問題同時要理解領先問題）甲、乙、丙三人，每分鐘分別行 68米、70.5 米、72 米?，F(xiàn)甲、乙從東鎮(zhèn)去西鎮(zhèn)，丙從西鎮(zhèn)去東鎮(zhèn)，三人同時出發(fā)，丙和乙相遇后，丙又過了 2 分鐘與甲相遇。求：東西兩鎮(zhèn)相距多少千米。（解決此類問題同時要理解（解決此類問題同時要理解與與“封閉路程封閉路程”有關的行程問題有關的行程問題）甲乙丙三人沿著湖邊散步，同時從湖邊的一個地

9、點出發(fā)。甲按順時針方向走，乙與丙按逆時針方向走。甲第一次遇到乙后 1分鐘遇到丙，再過 3分鐘第二次遇到乙。4143已知乙的速度是甲的，湖的周長是 600 米，求丙的速度。32多次相遇問題：多次相遇問題： 甲乙兩輛汽車同時從 A、B 兩地相對開出，甲每小時行 75 千米，乙每小時行65 千米。甲、乙兩車第一次相遇后繼續(xù)前進，分別到達 B、A 兩地后，立即按原路返回，兩車從出發(fā)到第二次相遇共行了 6 小時，A、B 兩地相距多少千米？一個游泳池長 90 米。甲、乙二人分別從游泳池的兩端同時出發(fā)，游到另一端立即返回。照這樣往、返游，兩人游 10 分鐘，甲每秒游 3 米，乙每秒游 2 米，二人會相遇幾次

10、？（2）相離問題：“兩物體從同一地點出發(fā)，相背相背而行” ， 注意對注意對“速度和速度和”的的理解，理解，注意時間的因素圖示：圖示： 甲 出發(fā)點 乙 A B關系式：關系式：相離距離=速度和相背而行的時間典型例題，相遇和相離的綜合問題舉例：典型例題，相遇和相離的綜合問題舉例：A、B 兩地相距 420 千米，甲車從 A 地出發(fā)開往 B 地，每小時行駛 72 千米，甲車行駛 25 分鐘后，乙車從 B 地開往 A地，每小時行駛 28 千米。兩車相距 100 千米時，甲車共行駛多長時間？（分析各種情況）2、追及問題和領先問題、追及問題和領先問題（1）追及問題：“兩物體同向而行，一快一慢，慢者先行，快者追

11、之兩物體同向而行，一快一慢，慢者先行，快者追之”圖示：圖示： 慢者先走出一段距離 就是需要追及的距離 在快者追時慢者繼續(xù)往前走4 快者此時此地追起 追到出發(fā)點 注意：追上時一共走出的路程不叫追及距離關系式：關系式：追及時間=需要追及的距離速度差；追及距離=速度差追及時間速度差=追及距離所用時間，近而再根據(jù)其他已知條件求出各自速度，從而解決問題。速度差=速度（快的）-速度（慢的）需要追及的距離也就是慢者先行的距離或者快者開始出發(fā)時距慢者的距離。典型例題：典型例題：晚飯后，小明和爸爸沿同一條公路去散步，小明走得慢，每分鐘走 60 米，所以他先從家出發(fā)。5 分鐘后，爸爸以每分鐘 80 米的速度去追小

12、明，經(jīng)過多少分鐘可以追上？ A、B 兩地相距 1800 米，若甲乙兩人分別從 A、B 兩地同時出發(fā)，9 分鐘會相遇；如果兩人同向而行，則甲 30 分鐘可以追到乙，問：甲從 A 地到 B 地需要多少小時？甲乙丙三輛車先后從 A 地開往 B 地。乙比丙晚出發(fā) 5 分鐘，出發(fā)后 45 分鐘追上丙；甲比乙晚出發(fā) 15 分鐘，出發(fā)后 1 小時追上丙。甲出發(fā)后幾小時追上乙？ 解法：設數(shù)法解題。上午 8 時 8 分，小明騎自行車從家里出發(fā)。8 分鐘后，爸爸騎摩托車去追他。在離家 4 千米的地方追上了小明，然后爸爸立即回家。到家后，爸爸又立即回頭去追小明。再追上他的時候，離家恰好是 8 千米，這時是幾點幾分？

13、解法：下圖中實線是爸爸從第一次追上小明到第二次追上小明所走的路線，虛線是同時間小明走的路線。從線段圖中我們可以看出爸爸走了 3 個 4 千米的時間，小明只走了 1 個 4 千米，小明所行路程是爸爸所行路程的，相同時間31內(nèi)，路程與速度成正比， 則小明的速度是爸爸速度的。31 4 千米 4 千米 爸爸 小明 家 第一次追上時離家 4 千米 第二次追上時離家 8 千米我們再來看第一次爸爸追上小明時的情況，由于小明的速度是爸爸速度的，從爸爸第一次開始追小明到追上小明的這段時間內(nèi)，爸爸行出 4 千米，小31明行出 4 千米的（同樣是根據(jù)相同時間內(nèi)，路程與速度成正比），小明必31須先行出 4 千米的=，

14、也就是說，小明用 8 分鐘的時間先行出3133254=千米。3238小明先用 8 分鐘時間走出 4 千米的 小 明32 爸 爸進而我們求出小明的速度是8=千米/分鐘，小明 8 點 8 分從家里出發(fā)，3831到爸爸二次追上小明時，小明共行8 千米，8=24 分鐘，從而求得第二31次追上的時間是 8 點 32 分。解題過程： 4（4+8）= 4（1-）= （千米） 3131388=（千米/分鐘）38318 =24（分鐘） 8+24=32（分） 答：這時是 8 點 32 分。31（2）領先問題：“兩物體同向而行，在同一出發(fā)點同時出發(fā)，一快一慢，兩物體同向而行，在同一出發(fā)點同時出發(fā)，一快一慢，則快者必

15、領先于慢者”圖示：圖示： 慢 者 快 者 快者領先的距離 兩者在同一出發(fā)點同時出發(fā) 關系式：關系式：領先距離=速度差所用時間，速度差=領先距離所用時間，所用時間=領先距離速度差典型例題：甲乙兩人練跑步，甲跑步的速度每分鐘比乙快千米，兩人從某地同時503出發(fā)，跑了一段時間后，甲領先乙200 米，問此時甲跑了多少秒？小李和老王同時從 A 地出發(fā)去 B 地，小李騎電動車，老王開汽車， 2 分鐘后小李在老王的后方 0.5 千米， A、B 兩地相距 90 千米，老王用了 3 個6小時到達 B 地，問小李到達 B 地時，老王已經(jīng)到達 B 地多長時間了？兩輛汽車同時從某地出發(fā)，運送一批貨物到距離165 千米

16、的工地。甲車比乙車早到 48 分鐘，當甲車到達時，乙車還距工地24 千米。問：甲車行完全程用了多少小時？注意，此題雖然是“領先問題”的模式，但是卻沒有用到速度差，路程差的關系式，而是根據(jù)題意先求出了乙車的速度，然后直接利用到達目的地的時間差求出快車（題目中的甲車）行完全程所用的時間，可見，分析問題重在思維靈活，不能僵化地利用公式。兩條公路成十字交叉，甲從十字路口南 1200 米處向北直行，乙從十字路口處向東直行，甲、乙同時出發(fā)，10 分鐘時，兩人與十字路口的距離相等，出發(fā)后 100 分鐘，兩人與十字路口的距離再次相等，此時他們距離十字路口多少米？與“封閉路程”有關的行程問題：注意以下兩點：一是

17、兩人同地背向運動，從一次相遇到下次相遇共行一個全程；二是同地同向運動時，甲追上乙時，甲比多行一個全程。典型例題：典型例題：在 300 米的橢圓形跑道上，小田和小劉同時同地起跑，如果同向而跑 2 分30 秒相遇，如果背向而跑則半分鐘相遇，小齊和小強的速度分別是多少？如圖，A、B 是圓形跑道的兩端，小張在 A 點，小陳在 B 點同時出發(fā)，反向行走，他們在 C 點第一次相遇，C 點離 A 點的跑道長 80 米；在 D 點第二次相遇，D 點離 B 點跑道長 60 米，求這個圓形跑道的長度。 D A B c3 3、 “流水行船流水行船”問題：問題：解答這類問題的要素有下列幾點：船行使時本身的速度（簡稱船

18、速） 、水流速度（簡稱水速） 、順流速度、逆流速度；航程（船行駛的路程） 、順流行駛時間和逆流行駛時間，平均速度的算法。基本關系式如下：基本關系式如下：順流速度= 船速 + 水速 逆流速度= 船速 - 水速 （記住這個原理下面的四個關系式也就都理解了）順流速度=逆流速度+ 2水速 逆流速度=順流速度-2水速船速（沒有水流的情況下船本身的行使速度）= （順流速度+逆流速度）2水速=（順流速度 - 逆流速度）2典典型型例例題題：一位少年短跑選手，順風跑 90 米用了 10 秒鐘，在同樣的風速下，逆風跑 70 米，也用了 10 秒鐘。問：在無風的情況下，他跑100 米用多長時間？一艘輪船順流航行 1

19、05 千米，再逆流航行 120 千米，共用 12 小時；若順流7航行 60 千米，再逆流航行 132 千米，共用 15 小時。如果先順流航行 120 千米，再逆流航行 120 千米回到始點，最短需要多少小時？4 4、 “火車過橋火車過橋”問題問題解答火車過橋問題的關鍵是要明確火車“完全完全”通過大橋所經(jīng)過的路程：從火車頭接觸橋的一端開始，到火車尾離開橋的另一端。如下圖，我們可以這樣理解此一問題：火車“完全完全”通過大橋所經(jīng)過的路程也就是火車尾在車頭上橋開始到車尾離開橋結束所要經(jīng)過的路程，也就是“火車的長度+橋的長度” ，然后利用 路程（橋的長度路程（橋的長度+ +火車的長度）火車的長度）= =

20、 速度（也就是火車的速度）速度（也就是火車的速度）過橋過橋時間時間。圖示：圖示：火車上橋時 車尾還在距離車頭火車下橋是指一個車長的位置 車尾離開橋 橋 長 由此可見，火車過橋所經(jīng)過的路程也就是圖中車尾經(jīng)過的路程即火車的長度+橋的長度！典型例題：典型例題：一座大橋長 3400 米，一列火車通過大橋時每分鐘行 800 米，從車頭上橋到車尾下橋共需 4.5 分。這列火車長多少米？一列火車車身長 200 米，用 15 秒開過每小時 4 千米的同方向行走的步行人甲，而用 12 秒開過騎自行車的人乙，那么乙每小時行多少千米？某特訓縱隊以 7 千米/時的速度行進，隊尾的通訊員以 11 千米/時的速度趕到隊首

21、送一封信，送到后又立即返回隊尾，共用 0.22 小時，求這支隊伍的長度。5 5、 “鐘表問題鐘表問題”首先需要說明的是，研究鐘表時間的數(shù)學問題鐘表問題不一定都能用行程問題的思想來解答，但是其中相當一部分問題應用到了行程問題中的追及或領先模式。同學們都有這樣一個基本常識，鐘表的時針、分針和秒針都是做同一方向運動的（當然是順時針方向） ，而且顯然秒針走的最快，而時針走的最慢。鐘表問題常常是圍繞時針、分針或秒針的重合、垂直、成直線或夾角的度數(shù)等問題來進行研究的。鐘面上有 12 個數(shù)字（1 到 12）對應 1 點到 12 點，每個數(shù)字間都有 5 個小格，這樣，125=60 個小格，對應分針走 60 分

22、鐘是一個小時。以小格來計算，時針每小時走 5 小格，分針每小時走 60 小格（剛好走一個圓周） ，時針的速度是分針的，分針每分鐘比時針多走 1-=小格，在計算分針與時針夾1211211211角時，我們更可以根據(jù)圓周角 =360 度，分針每小時走完一個圓周，每份鐘走 36060=6（度）對應上面提到的一小格，時針每小時走30 度，所8以時針每分鐘走了 3060=0.5（度） ，分針每分鐘比時針多走 6 6- -0 0. .5 5= =5 5. .5 5（度度） ，這個度數(shù)差也就是我們解決鐘表問題經(jīng)常用到的 “速度差”典典型型例例題題：6 時整時，時針與分針反方向成一條直線，下一次時針與分針反向成

23、一條直線時是幾時幾分？圖示：小明晚上 6 點鐘開始做作業(yè)，一直到時針與分針第二次成直角時，作業(yè)正好做完，小明做作業(yè)花了多少時間？一個舊時鐘，時針和分針每隔 66 分鐘重合一次，如早上 7 點將時鐘對準，到第二天早晨時鐘的時針再次指向 7 點時，實際是幾點幾分？（答案：7點 12 分）鐘表問題中不需要應用行程思想的題型舉例：有一塊表，每小時比標準時間慢一分鐘，中午 12 時調(diào)準，下午慢鐘指到 6 時時，標準時間是下午幾時幾分？這個問題，可以根據(jù)“問題表”的指針速度不變，看作鐘表與標準時間成正比例來解答6 6、一般行程問題、一般行程問題升學考試中即便考到“一般”行程問題，也不會很直接地給出已知條件

24、，也就是說最終能利用基本關系式解決問題的“時間” 、 “速度” 、 “路程”是需要你利用已知條件去推算的。而且考題中很可能涉及到比例的數(shù)學思想，應用設數(shù)法解題,綜合分析法等技巧。另外行程中間有“停留”或速度變化的問題也需要注意，具體問題具體分析。典型例題：典型例題：小王騎摩托車往返 A、B 兩地。平均速度為每小時 48 千米，如果他去時每小時行 42 千米，那么他返回時的平均速度是每小時行多少千米？一輛火車的速度為 121 千米每小時，現(xiàn)有一塊每 4 小時慢 2 分鐘的表。若用這塊表計時，這輛火車的速度是多少？7 7、注意行程問題中的綜合題、注意行程問題中的綜合題，舉例如下：既涉及相遇又涉及到

25、追及的綜合A、B 兩地相距 1800 米，若甲乙兩人分別從 A、B 兩地同時出發(fā)，9 分鐘會相遇；如果兩人同向而行，則甲 30 分鐘可以追到乙，問：甲從 A 地到 B 地需要多少小時？相遇問題和領先問題 甲、乙、丙三人，每分鐘分別行 68 米、70.5 米、72 米?，F(xiàn)甲、乙從東鎮(zhèn)去西鎮(zhèn)，丙從西鎮(zhèn)去東鎮(zhèn)，三人同時出發(fā)，丙和乙相遇后，丙又過了 2 分鐘與甲相遇。求：東西兩鎮(zhèn)相距多少千米?；疖囘^橋問題中有追及和相離的問題 一列火車車身長 200 米，用 15秒開過每小時 4 千米的同方向行走的步行人甲，而用12 秒開過騎自行車的9人乙，那么乙每小時行多少千米？行程中有停留的，要具體問題具體分析：行

26、程中有停留的，要具體問題具體分析：繞湖一周是 24 千米，小張和小陳從湖邊某一地點同時出發(fā)反向而行。小張以每小時 4 千米的速度走 1 小時休息5 分鐘，小陳以每小時 6 千米的速度每走 50 分鐘休息 10 分鐘。兩人出發(fā)多長時間第一次相遇？ 行程問題結合比的應用，重點題型行程問題結合比的應用，重點題型 甲乙分別從 A、C 兩地同時出發(fā)，勻速相向而行，它們的速度比是 5：4，相遇于 B 地后，甲繼續(xù)以原來的速度向 C 地的方向前進，而乙則立即調(diào)頭返回C，且乙的速度比相遇前降低了，這樣，當乙回到 C 地時，甲剛好到達離 C 地 18 千米處的 D 地，那么51A、C 之間的距離是多少千米？之所

27、以將此題列為重點題型，原因如下：小學六年級分數(shù)、比、百分數(shù)、比例是數(shù)學知識的重點，而結合分數(shù)（分率）、百分數(shù)、比和比例的行程問題較為復雜、抽象，可以很好地考查同學們綜合運用所學知識的思維能力行程問題結合行程問題結合分分數(shù)數(shù)、百百分分數(shù)數(shù)、比比和和比比例例的的綜綜合合問問題題典典型型例例題題解解析析典典型型例例題題一一： 一輛汽車和一輛摩托同時從 A、B 兩地相對開出。汽車每小時行 50 千米，摩托車的速度是汽車速度的，相遇后汽車繼續(xù)行 3.2 小54時到達 B 地。A、B 兩地相距多少千米？線段圖分析： 從相遇點開始，到 B 地 汽車從 A 點出發(fā) 汽車共用 3.2 小時 相遇時汽車走出“5

28、份” 相遇時摩托車走出“4 份” A B 兩車此時相遇 摩托車從 B 點出發(fā)解法（一）相遇問題中，同時兩地出發(fā)，相向而行的兩車相遇，相遇時行駛的時間相同，路程比等于速度比（正比例關系） ，則我們算出速度比也就算出了路程比。1 ： = 5 ：4，503.24（5+4）=360（千米）54答：A、B 兩地相距 360 千米。解法（二）直接利用 “相遇時行駛的時間相同”的原理：503.2=160（千米）兩車相遇地點到 B 點的路程160（50）= 4(小時)相遇時摩托車所用時間，也就是相遇時汽車所54用時間（50+40）4 = 360（千米）典型例題二：典型例題二：甲乙兩人同時從從 A、B 兩地出發(fā)

29、，相向而行，出發(fā)時他們10的速度比是 3 ：2，相遇后，甲繼續(xù)向 B 地走，但是速度提高了 20%，乙繼續(xù)向 A 地走，速度比相遇前提高了 30%。這樣，當甲到達 B 地時，乙離 A地還有 14 千米。那么 A、B 兩地間的距離是多少千米？線段圖分析： 甲 A B 乙 此時相遇 14 千米解法（一）設數(shù)法解題，設甲、乙兩人相遇時間是 1 小時，那么也就是甲在相遇前，走完全程的，用了 1 小時，則甲的速度就是每小時行全程的，甲5353提速后每小時可以行完全程的（1+20%）= ，那么提速后行完剩下的532518用掉的時間是=（小時）；同理， 乙在相遇前，走完全程的，525225189552用了

30、1 小時，（1+30%）= （乙提速后的 “速度”），在甲從相遇至到達 B 地這段522513時間內(nèi)，乙走了全程的=，這時離 A 地還差 14 千米，那么 14 千米相當與全程的（-251395451353）。4513設甲、乙兩人相遇時間是 1 小時 （1+20%）= =532518522518（小時）95（1+30%）= 14（-）=45（千米）52954513534513答：A、B 兩地間的距離是 45 千米。解法（二）相遇時，甲走了 “3 份”路程，乙走了 “2 份”路程，相遇后甲乙的速度比為 3（1+20%）：2（1+30%）=18：13，從相遇開始，甲到達 B 點還要走“2 份”路程

31、，這是乙行了 21813=“份”路程。9133（1+20%）：2（1+30%）=18：13 21813= 913（3+2）-（2+）= 14（3+2）=45（千913914914米）典典型型例例題題三三： 從甲地到乙地的路程分為上坡、平路、下坡三段，路程全長是 20 千米。各段路程之比是 1：2：3，某人走這三段路所用時間比是114：5：6。已知他上坡時的速度是每小時 2.5 千米，則此人從甲地到乙地共需多長時間？ 線段圖分析： 2 份 1 份 3 份解法：20=（千米） 2.54（4+5+6）=5（小時）3211310310答：此人從甲地到乙地共需 5 小時。典典型型例例題題四四： 一輛汽車

32、從甲地開往乙地，如果把車速提高20%，可以比原定時間提前 1 小時到達；如果按原速行駛 120 千米后，再將速度提高 25%，則可提前 40 分鐘到達。那么甲、乙兩地相距多少千米？線段圖分析及解法：第一種情況 速度提高 20%，則速度提高到原來的56 則所用時間將是按原速行駛所用時間的65因為路程一定，速度與時間成反比，據(jù)此我們建立反比例模型，設速度為x，時間為 y，路程為 k(路程 k 一定)，則有 xy=k, 1+20%= ,(x) (5656y)=k,時間縮短為按原速行駛所需時間 y 的，則 1-也就是 1 小時的656565時間所對應的分率。解題時書寫1+20%= =1 1（1-）=6

33、 小時 （即按56566565原速行駛需 6 小時）第二種情況 120 千米 速度提高 25%，則速度提高到原來的45 則所用時間將是按原速行駛所用時間的54與第一種情況同理，可以算出 按原速行完除去 120 千米的剩余部分用小31012時，則按原速行駛 120 千米所用的時間是 6-=（小時），由此可以求31038出原速度，在根據(jù)第一種情況的結論用速度乘以時間求出全程。解題時書寫：1+25%= =1 40 分鐘=小時，（1-）=（小454554323254310時）120（6-）6=270（千米）310答：甲、乙兩地相距 270 千米。 典典型型例例題題五五： 如圖，甲、乙分別從 A、C 兩

34、地同時出發(fā)，勻速相向而行，它們的速度比是 5：4，相遇于 B 地后，甲繼續(xù)以原來的速度向 C 地的方向前進，而乙則立即調(diào)頭返回 C，且乙的速度比相遇前降低了，這樣，當乙51回到 C 地時，甲剛好到達離 C 地 18 千米處的 D 地，那么 A、C 之間的距離是多少千米？ A B C D線段圖分析及解法： 甲 A B C D 乙如圖，甲、乙相遇于 B 點時，所行路程 AB 與 AC 之間的比等于他們的速度比5：4，而當“乙的速度比相遇前降低了”后，甲、乙所行的路程比應是515：4（1-）=25：16，如果我們設 BC 之間的路程為 X 千米，則有51BD:BC=25：16,而 BD=BC+CD=

35、BC+18,建立比例式后，問題迎刃而解。解題時書寫：解：設 BC 之間的路程為 X 千米。4（1-）= 5：=25：16 51516516(x+18):x=25：16,解比例得 x=32 324(5+4)=72(千米)答：A、C 之間的距離是 72 千米13 較復雜的行程問題較復雜的行程問題【名師導航名師導航】行程問題是根據(jù)速度、時間、路程之間的關系，研究物體運動情況的問題。解決行程問題常用方法有：1、分解。將綜合性的題先分解成若干個基本題，再按其所屬類型，直接利用基本數(shù)量關系解題。2、圖示。把題中復雜的情節(jié)，通過線段圖清楚地表示出來，幫助分析思考。3、簡化。對于一些較復雜的問題，解答時可以先

36、退一步，考慮最基本的情況，使復雜的問題簡單化，從而找到解題途徑。4、挖掘。把題目中隱藏的條件給挖掘出來，特別是對一些關鍵字眼的仔細推敲，對解題起至關重要的作用?！纠}精講例題精講】例題例題 1 1、甲、乙兩車分別從 A，B 兩地同時出發(fā)相向而行，6 小時后相遇在 C點如果甲車速度不變，乙車每小時多行 5 千米，且兩車還從 A，B 兩地同時出發(fā)相向而行，則相遇地點距 C 點 12 千米；如果乙車速度不變，甲車每小時多行5 千米，且兩車還從 A，B 兩地同時出發(fā)相向而行，則相遇地點距 C 點 16 千米甲車原來每小時行多少千米? 解：解： 方法一：方法一：(12+16)5=56 小時，51 5.6

37、28 (千米)，4206=70(千米) 515420286AB 甲車原來每小時走 (千米)12703012 16 方法二：方法二：設甲、乙兩人原來的速度分別為 x 千米時，y 千米時，那么 AC=6x，BC=6y， 在第二、三次相遇中利用甲、乙兩人所用時間相等，可得方程組：14 ,交叉相乘,解得61261256166165xyxyxyxy3040 xy 即甲原來的速度是每小時 30 千米 方法三：方法三：設第一次改變速度，甲、乙相遇在 D 點，第二次改變速度，甲、乙相遇在 E 點 在第二次相遇中，假設走滿 6 小時，甲走到了 C 點，乙則走到了 F 點，F(xiàn)C長：56=30(千米)，F(xiàn)D 長：3

38、0-12=18(千米) 所以乙提速 5 千米時后，甲、乙速度比為 DC：DF=12：18=2：3 同樣的，在第三次相遇中，假設走滿 6 小時，乙走到了 C 點，甲則走到了 G 點，CG 長：56=30(千米)，EG 長：30-16=14(千米)，所以甲提速 5 千米時后，甲、乙速度比為 EG：CE=14：16=7：8 設甲原來速度為 x 千米小時，乙原來速度為 y 千米小時，則253578xyxy解得 即甲原來的速度為每小時 30 千米3040 xy例題例題 2 2、甲、乙兩人同時從山腳開始爬山，到達山頂后就立即下山，他們兩人的下山速度都是各自上山速度的 1.5 倍，而且甲比乙速度快兩人出發(fā)后

39、 1 小時，甲與乙在離山頂 600 米處相遇，當乙到達山頂時，甲恰好下到半山腰那么甲回到出發(fā)點共用多少小時?解：解：將上山甲、乙速度分別記為 a、b；則下山時甲、乙速度為 1.5a、1.5b15 用 h 表示山頂?shù)缴侥_的距離， 由右圖知：，即有 4b=3a0.51.5hhhaab 由左圖知：即;得 h=3600 米 6006001.5hhaab6006001.50.75hh 即山頂?shù)缴侥_的距離為 3600 米 再變回到“甲下山速度是上山速度的 1.5 倍” 由 1 小時后，甲距山腳還有3600-600=3000 米知，甲到山腳還需 3000(4000 15)=O.5 小時 所以甲自出發(fā)到回到山

40、腳共用 1+0.5=1.5 小時做一做做一做 1 1、男、女兩名田徑運動員在長 110 米的斜坡上練習跑步(坡頂為 A，坡底為 B兩人同時從 A 點出發(fā)，在 A，B 之間不停地往返奔跑已知男運動員上坡速度是每秒 3 米，下坡速度是每秒 5 米，女運動員上坡速度是每秒 2 米，下坡速度是每秒 3 米那么兩人第二次迎面相遇的地點離 A 點多少米?解：解：開始下山時，男運動員的速度大于女運動員的速度，有男運動員到達坡底B 所需時間為 1105=22 秒，此時女運動員才跑了 223=66 米 現(xiàn)在女運動員的速度不變，還是每秒 3 米，而男運動員將從 B 上坡到 A，速度變?yōu)槊棵?3 米男、女運動員的距

41、離為 110-66=44 米，所以當男運動員再跑 44(3+3)3=22 米后男女運動員第一次迎面相遇，相遇點距 B 地 22 米，如下圖所示(本題 4 圖所標注數(shù)字均是距坡底 B 的距離數(shù)) 16所以當女運動員到達坡底 B 時，男運動員又跑了 22 米，即到達距 B 地 44 米的地方，如下圖所示 此后，女運動員從坡底 B 上坡到 A，速度變?yōu)槊棵?2 米，男運動員的速度還是每秒 3 米，所以當男運動員再跑 110-44=66 米到達坡頂 A 時，女運動員才跑了 6632=44 米，即距離坡底 B 地 44 米的地方，如下圖所示 這時，女運動員的速度不變還是每秒 2 米，而男運動員的速度變?yōu)?/p>

42、每秒 5 米，男、女運動員相距 110-44=66 米，所以當男、女運動員第二次相遇時，男運動員又跑了米，如下圖所示166(52) 5477即第二次相遇的地點距以點米1477例題例題 3 3、某人沿電車線路行走，每 12 分鐘有一輛電車從后面追上，每 4 分鐘有一輛電車迎面開來假設兩個起點站的發(fā)車間隔是相同的，求這個發(fā)車間隔解：解：設電車的速度為 a，行人的速度為 b，因為每輛電車之間的距離為定值，設為 l 由電車能在 12 分鐘追上行人 l 的距離知，； 由電車能在 4 分鐘能112ab與行人共同走過 l 的距離知， ,所以有 l=12(a-b)=4(a+b)，有 a=2b，4lab17即電

43、車的速度是行人步行速度的 2 倍 那么 l=4(a+b)=6a，則發(fā)車間隔上：66laaa 即發(fā)車間隔為 6 分鐘 例題例題 4 4、A，B 兩地相距 105 千米，甲、乙兩人分別騎車從 A，B 兩地同時相向出發(fā),甲速度為每小時 40 千米，出發(fā)后 1 小時 45 分鐘相遇，然后甲、乙兩人繼續(xù)沿各自方向往前騎在他們相遇 3 分鐘后，甲與迎面騎車而來的丙相遇，而丙在 C 地追上乙若甲以每小時 20 千米的速度，乙以每小時比原速度快 2 千米的車速，兩人同時分別從 A，B 出發(fā)相向而行，則甲、乙二人在 C 點相遇，問丙的車速是多少?解：解： 甲以 40 千米小時的速度行駛 l 小時 45 分鐘，行

44、駛了千米，那么剩下的 105-70=35 千米為乙在 1 小時 45 分鐘內(nèi)行454017060駛的，所以乙的速度為千米小時，如下圖所示335 1204 又甲、乙再行駛 3 分鐘，那么甲又行駛了千米，乙又行駛了340260千米即在甲、乙相遇 3 分鐘后，乙行駛至距 B 地 35+1=36 千米的地320160方，甲行駛至距 A 地 70+2=72 千米的地方，此地距 B 地 10572=33 千米，如下圖所示 18 而如果甲以 20 千米小時的速度，乙的速度增加 2 千米小時至 22 千米小時，那么相遇點 C 距 B 地為：千米，如下圖所示10522552022 那么，當丙與甲相遇在距 B 地

45、 33 千米的地方時，乙在距 B 地 36 千米的地方，而后丙行駛至 C 地(距 B 地 55 千米)時，乙也在 C 地，即相遇 在這段時間內(nèi)，乙行駛了 55-36=19 千米，而丙行駛了 55-33=22 千米，所以丙的速度為千米小時，22320231919如下圖所示例題例題 5 5、從甲市到乙市有一條公路，它分成三段在第一段上，汽車速度是每小時 40 千米；在第二段上，汽車速度是每小時 90 千米；在第三段上，汽車速度是每小時 50 千米己知第一段公路的長恰好是第三段的 2 倍，現(xiàn)有兩汽車分別從甲、乙兩市同時出發(fā)，相向而行，1 小時 20 分后，在第二段從甲到乙方向的處相遇那么，甲、乙兩市

46、相距多少千米?13解解：設第一、二、三段公路的長度依次為 a、b、c，有 a=2c，如下圖所示： 19 易知當另一汽車到達第二、三段交接點處，即行駛的路程為 c 時，一汽車行駛的路程為，而第一段長度為第三段長度的 2 倍，所以甲行駛至第一段4050c的處,如下圖所示4022505a 所以當另一汽車行駛路程的時間內(nèi)，23b一汽車行駛了的距離，同時減去的里程，則另一汽車行駛了的3153ab13b13b路程，一汽車行駛了的路程35a 由兩汽車行駛的時間相等知，即 a:b=20：81，如下圖所示31534090ab 設第一段路程為 20k，則第二段路程為 81k，第三段路程為 lOk； 于是，一汽車跑

47、至第二段時，所需時間為，解得131120408190133kk而甲乙全程為 20k+81k+10k=111k，有53k 51111853 所以甲、乙兩市相距 185 千米例題例題 6 6、甲、乙兩人在 400 米圓形跑道上進行 10000 米比賽兩人從起點同時同向出發(fā)，開始時甲的速度為每秒 8 米，乙的速度為每秒 6 米當甲每次追上乙以后，甲的速度每秒減少 2 米，乙的速度每秒減少 0.5 米這樣下去，直到甲發(fā)現(xiàn)乙第一次從后面追上自己開始，兩人都把自己的速度每秒增加 O.5 米，20直到終點那么領先者到達終點時，另一人距終點多少米?解：解： 先求出當?shù)谝淮渭鬃飞弦視r的詳細情況，因為甲乙同向，所

48、以為追擊問題 甲、乙速度差為 8-6=2 米秒，當甲第一次追上乙時，甲應比乙多跑了一圈400 米，即甲跑了 40028=1600 米，乙跑了 40026=1200 米 相遇后，甲的速度變?yōu)?8-2=6 米秒，乙的速度變?yōu)?6-0.5=55 米秒顯然，甲的速度大于乙，所以仍是甲超過乙 當甲第二次追上乙前，甲、乙速度差為 6-5.5=0.5 米秒，追上乙時，甲應在原基礎上再比乙多跑一圈 400 米，于是甲又跑了 4000.56=4800 米，乙又跑了 4000.55.5=4400 米 甲第二次追上乙后，甲的速度變?yōu)?6-2=4 米秒，乙的速度變?yōu)?5.5-0.5= 5 米秒顯然，現(xiàn)在乙的速度大于甲

49、，所以變?yōu)橐页^甲 當乙追上甲時，甲、乙速度差為 5-4=1 米秒，乙追上甲時，乙應比甲多跑一圈 400 米，于是甲又跑了 40014=1600 米，乙又跑了 40015=2000米 。 這時甲的速度變?yōu)?4+0.5=4.5 米秒，乙的速度變?yōu)?5+0.5=5.5 米秒并以這樣的速度跑完剩下的全程 在這過程中甲共跑了 1600+4800+1600=8000 米，乙共跑了1200+4400+2000=7600 米 甲還剩下 10000-8000=2000 米的路程，乙還剩下 10000-7600=2400 米的路程 顯然乙先跑完全程，此時甲還剩下米的路2400400420004.5365.511

50、11程 即當領先者到達終點時，另一人距終點米43611 評注：此題考察了我們的分析問題的能力，也考察了我們對追擊這一基本行程問題的熟練程度.做一做做一做 2 2、龜兔賽跑，全程 5.2 千米，兔子每小時跑 20 千米，烏龜每小時跑 3千米烏龜不停地跑；但兔子卻邊跑邊玩，它先跑了 1 分鐘然后玩 15 分鐘，又21跑 2 分鐘然后玩 15 分鐘，再跑 3 分鐘然后玩 15 分鐘，那么先到達終點的比后到達終點的快多少分鐘? 解：解： 烏龜?shù)竭_終點所需時間為 5.2360=104 分鐘 兔子如果不休息，則需要時間 5.22060=15.6 分鐘 而兔子休息的規(guī)律是跑 1、2、3、分鐘后，休息 15

51、分鐘 因為 15.6=1+2+3+4+5+0.6，所以兔子休息了 515=75 分鐘，即兔子跑到終點所需時間為 156+75=906 分鐘顯然，兔子先到達，先烏龜 104-90.6=13.4 分鐘達到終點例題例題 7 7、A，B 兩地相距 125 千米，甲、乙二人騎自行車分別從 A，B 兩地同時出發(fā)，相向而行丙騎摩托車以每小時 63 千米的速度，與甲同時從 A 出發(fā)，在甲、乙二人間來回穿梭(與乙相遇立即返回，與甲相遇也立即返回)若甲車速度為每小時 9 千米，且當丙第二次回到甲處時(甲、丙同時出發(fā)的那一次為丙第零次回到甲處)，甲、乙二人相距 45 千米問：當甲、乙二人相距 20 千米時，甲與丙相

52、距多少千米?解：解：我們設乙的速度為 9x，即甲的 x 倍 當乙、丙第一次相遇的時候，設甲走了“1” ，則乙走了“x” ，丙走了“7” ，所以有“7”+“x”=125，于是“1”，此時甲、丙相距“7”-“1”1257x=“6” 這樣丙第一次回到甲時，甲又向前行9=,丙又行了“6”-639“ 6”34“”，乙又行了32144“”“”3344xx“”“”22 所以，甲、乙此時相距千米.2133312537(7)(7)1254444747xxxxxx“”“”“” 有丙第二次回到甲處的時，125 千米的路程相當于百千米，3712547xx即甲、乙相距，所以,解得2371254547xx2716725x

53、x7475xx所以乙的速度為千米小時79x 79979x 當?shù)谌渭?、丙相遇時，甲、乙相距千米373434545452747455xx 當?shù)谒拇渭?、丙相遇時，甲、乙相距千米，而題中甲、乙相距381275520 千米，此時應在甲、丙第三次和第四次相遇的某個時刻 有千米，而甲、乙的速度比為 9：7，所以甲從甲、丙第四次相81192055遇處倒退千米即可19917159780又因為丙的速度是甲的 7 倍，所以丙倒退的路程應為甲的 7 倍，于是甲、丙相距千米171171(7 1)17.18010 當甲、乙二人相距 20 千米時,甲與丙相距 17.1 千米. 評注：甲從 A 地往 B 地出發(fā)，乙從 B

54、地往 C 出發(fā)，丙從 A 地開始在甲乙之間來回往返跑動 當甲丙第 1 次相遇時所需的時間為 t，(甲、丙同時出發(fā)時，算第 0 次相遇)則甲丙第 2 次相遇時還所需的時間為 vvvvtvvvv乙丙甲丙乙丙甲丙則甲丙第 3 次相遇時還所需的時間為2vvvvtvvvv乙丙甲丙乙丙甲丙 23則甲丙第 n 次相遇時還所需的時間為 1nvvvvtvvvv乙丙甲丙乙丙甲丙由此可知,丙在相鄰的 2 次相遇之間所走路程為等比數(shù)列.例題例題 8 8、一輛小汽車與一輛大卡車在一段 9 千米長的狹路上相遇，必須倒車，才能繼續(xù)通行已知小汽車的速度是大卡車速度的 3 倍，兩車倒車的速度是各自速度的，小汽車需倒車的路程是大

55、卡車需倒車的路程的 4 倍如果小汽車15的速度是每小時 50 千米，那么要通過這段狹路最少用多少小時? 解：解： 如果一輛車在倒車，另一輛的速度一定大于其倒軍速度，即一車倒出狹路另一車也駛離狹路，倒車的車可立即通過 小汽車倒車的路程為千米，大卡車倒車的路程為947.24 1千米911.84 1 小汽車倒車的路程為千米小時，大卡車倒車的速度為150105千米/小時111050353 當小汽車倒車時，倒車需 7.210=O.72 小時，而行駛過狹路需950=0.18 小時，共需 072 +018=09 小時； 當大卡車倒車時，倒車需小時，而行駛過狹路需101.80.543小時，共 054+054=

56、108小時5090.543 顯然當小轎車倒車時所需時間最少，需 0.9 小時做一做做一做 3 3、在一個沙漠地帶，汽車每天行駛 200 千米，每輛汽車載運可行駛 24天的汽油現(xiàn)有甲、乙兩輛汽車同時從某地出發(fā)，并在完成任務后，沿原路返24回為了讓甲車盡可能開出更遠的距離，乙車在行駛一段路程后，僅留下自己返回出發(fā)地的汽油，將其他的油給甲車求甲車所能開行的最遠距離解：解： 甲車盡可能行駛更遠，則乙車離開甲車時，應保證甲車還有可行駛 24 天的汽油 設此時乙車已行駛了 x 天，有甲也行駛了 x 天，乙返程也需要 x 天，有x+x+x+24=48，所以 x=8，即乙車行駛 8 天后返程 留下還可行駛 8

57、 天的汽油，將剩下的 24-8-8=8 天的汽車給甲車 所以加上開始的 24 天的汽油，甲車共得到 24+8=32 天的汽油那么甲車單程最多可行駛 322=16 天 即甲車所能開行的最遠距離為 16200=3200 千米【重點練習重點練習】1、有甲、乙、丙三輛汽車,各以一定的速度從 A 地開往 B 地,乙比丙晚出發(fā) 10分鐘,出發(fā)后 40 分鐘追上丙；甲比乙又晚出發(fā) 20 分鐘,出發(fā)后 1 小時 40 分鐘追上丙,那么甲出發(fā)后需 分鐘才能追上乙.解：解：根據(jù)已知條件得知,乙用 40 分鐘所走的距離與丙用 50 分鐘所走的距離相等;甲用 100 分鐘所走的距離與丙用 130 分鐘所走的距離相等.

58、故丙用 130 分鐘所走的距離,乙用了(分鐘),即甲用 100 分鐘走的距離,乙用 104 分鐘走1045040130完.由于甲比乙晚出發(fā) 20 分鐘,當甲追上乙時,設甲用了 x 分鐘,則乙用了(x+20)分鐘.依題意得,解得 x=500.20104100 xx2、甲、乙二人相距 100 米的直路上來回跑步,甲每秒鐘跑 2.8 米,乙每秒鐘跑 2.2米.他們同時分別在直路兩端出發(fā),當他們跑了 30 分鐘時,這段時間內(nèi)相遇了 25次.解：解：兩人一共跑的路程為(2.8+2.2)3060=9000(米),去掉二人第一次相遇時跑的 100 米,二人每跑 200 米,就相遇一次,共相遇的次數(shù)為(900

59、0-100)200=44.5,取整得 44 次.加上第一次相遇,共 44+1=45(次).3、甲、乙二人騎自行車從環(huán)形公路上同一地點同時出發(fā),背向而行.現(xiàn)在已知甲走一圈的時間是 70 分鐘.如果在出發(fā)后第 45 分鐘甲、乙二人相遇,那么乙走一圈的時間是 分鐘.解：解：設乙騎自行車走一圈要 x 分鐘,環(huán)行公路長為 S 米,則有,解SxSS7045得 x=126(分鐘).4、有人沿公路前進,對面來了一輛汽車,他問司機：“后面有自行車嗎？”司機回答：“十分鐘前我超過一輛自行車”,這人繼續(xù)走了 10 分鐘,遇到自行車.已知自行車速度是人步行速度的三倍,汽車的速度是步行速度的 倍.解：解：設人行速度為每

60、分鐘 1 單位,則自行車速度為每分鐘 3 單位,再設汽車速度為每分鐘 x 單位,依題意有(x-3)10=(3+1)10,故有 x=7.5、某校和某工廠之間有一條公路,該校下午 2 點鐘派車去該廠接某勞模來校作報告,往返需用 1 小時.這位勞模在下午 1 點鐘便離廠步行向?qū)W校走來,途中遇到接他的汽車,便立刻上車駛向?qū)W校,在下午 2 點 40 分到達.汽車速度是勞模步行速度的 倍.解：解：如下圖,A 是學校,C 是工廠,B 是相遇地點.汽車從 A 到 C 往返需要 1 小時,從 A 到 B 往返要 40 分鐘即小時,這說明32,即也說明汽車從 A 到 B 要用 402=20(分鐘).而勞模由 C