華師大版數(shù)學八年級上冊第十三章 全等三角形經(jīng)典題目

1、第13章 全等三角形一、選擇題1如圖，是我們學過的用直尺和三角尺畫平行線的方法示意圖，畫圖的原理是（）A同位角相等，兩直線平行B內(nèi)錯角相等，兩直線平行C兩直線平行，同位角相等D兩直線平行，內(nèi)錯角相等2如圖，小敏做了一個角平分儀ABCD，其中AB=AD，BC=DC將儀器上的點A與PRQ的頂點R重合，調(diào)整AB和AD，使它們分別落在角的兩邊上，過點A，C畫一條射線AE，AE就是PRQ的平分線此角平分儀的畫圖原理是：根據(jù)儀器結構，可得ABCADC，這樣就有QAE=PAE則說明這兩個三角形全等的依據(jù)是（）ASASBASACAASDSSS3數(shù)學活動課上，四位同學圍繞作圖問題：“如圖，已知直線l和l外一點P

2、，用直尺和圓規(guī)作直線PQ，使PQl于點Q”分別作出了下列四個圖形其中作法錯誤的是（）ABCD4如圖，在ABC中，ACB=90°，分別以點A和B為圓心，以相同的長（大于AB）為半徑作弧，兩弧相交于點M和N，作直線MN交AB于點D，交BC于點E，連接CD，下列結論錯誤的是（）AAD=BDBBD=CDCA=BEDDECD=EDC5如圖，在平面直角坐標系中，以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交x軸于點M，交y軸于點N，再分別以點M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在第二象限交于點P，若點P的坐標為（6a，2b1），則a和b的數(shù)量關系為（）A6a2b=1B6a+2b=1C6ab=1D6a+

3、b=16如圖，用尺規(guī)作圖：“過點C作CNOA”，其作圖依據(jù)是（）A同位角相等，兩直線平行B內(nèi)錯角相等，兩直線平行C同旁內(nèi)角相等，兩直線平行D同旁內(nèi)角互補，兩直線平行7如圖，已知在RtABC中，ABC=90°，點D是BC邊的中點，分別以B、C為圓心，大于線段BC長度一半的長為半徑畫弧，兩弧在直線BC上方的交點為P，直線PD交AC于點E，連接BE，則下列結論：EDBC；A=EBA；EB平分AED；ED=AB中，一定正確的是（）ABCD8如圖，分別以線段AC的兩個端點A，C為圓心，大于AC的長為半徑畫弧，兩弧相交于B，D兩點，連接BD，AB，BC，CD，DA，以下結論：BD垂直平分AC；A

4、C平分BAD；AC=BD；四邊形ABCD是中心對稱圖形其中正確的有（）ABCD9觀察圖中尺規(guī)作圖痕跡，下列結論錯誤的是（）APQ為APB的平分線BPA=PBC點A、B到PQ的距離不相等DAPQ=BPQ10如圖，下面是利用尺規(guī)作AOB的角平分線OC的作法，在用尺規(guī)作角平分線過程中，用到的三角形全等的判定方法是（）作法：以O為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點D，E；分別以D，E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在AOB內(nèi)交于一點C；畫射線OC，射線OC就是AOB的角平分線AASABSASCSSSDAAS二、填空題（共4小題）11閱讀下面材料：在數(shù)學課上，老師提出如下問題：小蕓的作法如

5、下：老師說：“小蕓的作法正確”請回答：小蕓的作圖依據(jù)是12如圖，在ABC中，按以下步驟作圖：分別以B，C為圓心，以大于BC的長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點；作直線MN交AB于點D，連接CD，若CD=AC，B=25°，則ACB的度數(shù)為13如圖，在ABC中，AC=BC，B=70°，分別以點A、C為圓心，大于AC的長為半徑作弧，兩弧相交于點M、N，作直線MN，分別交AC、BC于點D、E，連結AE，則AED的度數(shù)是°14如圖，ABC和FPQ均是等邊三角形，點D、E、F分別是ABC三邊的中點，點P在AB邊上，連接EF、QE若AB=6，PB=1，則QE=三、解答題（共16

6、小題）15課間，小明拿著老師的等腰三角板玩，不小心掉到兩墻之間，如圖（1）求證：ADCCEB；（2）從三角板的刻度可知AC=25cm，請你幫小明求出砌墻磚塊的厚度a的大?。繅K磚的厚度相等）16根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡，先判斷得出結論：，然后證明你的結論（不要求寫已知、求證）17如圖，一塊余料ABCD，ADBC，現(xiàn)進行如下操作：以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交BA，BC于點G，H；再分別以點G，H為圓心，大于GH的長為半徑畫弧，兩弧在ABC內(nèi)部相交于點O，畫射線BO，交AD于點E（1）求證：AB=AE；（2）若A=100°，求EBC的度數(shù)18如圖，ABC是等邊三角形，D是BC的中

7、點（1）作圖：過B作AC的平行線BH；過D作BH的垂線，分別交AC，BH，AB的延長線于E，F(xiàn)，G（2）在圖中找出一對全等的三角形，并證明你的結論19某段河流的兩岸是平行的，數(shù)學興趣小組在老師帶領下不用涉水過河就測得河的寬度，他們是這樣做的：在河流的一條岸邊B點，選對岸正對的一棵樹A；沿河岸直走20步有一樹C，繼續(xù)前行20步到達D處；從D處沿河岸垂直的方向行走，當?shù)竭_A樹正好被C樹遮擋住的E處停止行走；測得DE的長就是河寬AB請你證明他們做法的正確性20如圖，在ABC中，C=60°，A=40°（1）用尺規(guī)作圖作AB的垂直平分線，交AC于點D，交AB于點E（保留作圖痕跡，不要

8、求寫作法和證明）；（2）求證：BD平分CBA21如圖，BD是矩形ABCD的一條對角線（1）作BD的垂直平分線EF，分別交AD、BC于點E、F，垂足為點O（要求用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）；（2）求證：DE=BF22如圖，點D在ABC的AB邊上，且ACD=A（1）作BDC的平分線DE，交BC于點E（用尺規(guī)作圖法，保留作圖痕跡，不要求寫作法）；（2）在（1）的條件下，判斷直線DE與直線AC的位置關系（不要求證明）23如圖，在RtABC中，ACB=90°（1）用尺規(guī)在邊BC上求作一點P，使PA=PB（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）連接AP，當B為度時，AP平分CAB24如圖，在

9、ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于點F，連接CF（1）求證：AF=DC；（2）若ABAC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結論25（1）如圖（1），已知：在ABC中，BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點A，BD直線m，CE直線m，垂足分別為點D、E證明：DE=BD+CE（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有BDA=AEC=BAC=，其中為任意銳角或鈍角請問結論DE=BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由（3）拓展與應用：如圖（3），D、E是D

10、、A、E三點所在直線m上的兩動點（D、A、E三點互不重合），點F為BAC平分線上的一點，且ABF和ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若BDA=AEC=BAC，試判斷DEF的形狀26一節(jié)數(shù)學課后，老師布置了一道課后練習題：如圖，已知在RtABC中，AB=BC，ABC=90°，BOAC于點O，點P、D分別在AO和BC上，PB=PD，DEAC于點E，求證：BPOPDE（1）理清思路，完成解答（2）本題證明的思路可用下列框圖表示：根據(jù)上述思路，請你完整地書寫本題的證明過程（2）特殊位置，證明結論若PB平分ABO，其余條件不變求證：AP=CD（3）知識遷移，探索新知若點P是一個動點，點P運

11、動到OC的中點P時，滿足題中條件的點D也隨之在直線BC上運動到點D，請直接寫出CD與AP的數(shù)量關系（不必寫解答過程）27如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中C=90°，B=E=30°（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖2，固定ABC，使DEC繞點C旋轉(zhuǎn)，當點D恰好落在AB邊上時，填空：線段DE與AC的位置關系是；設BDC的面積為S1，AEC的面積為S2，則S1與S2的數(shù)量關系是（2）猜想論證當DEC繞點C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時，小明猜想（1）中S1與S2的數(shù)量關系仍然成立，并嘗試分別作出了BDC和AEC中BC、CE邊上的高，請你證明小明的猜想（3）拓展探究已知AB

12、C=60°，點D是角平分線上一點，BD=CD=4，DEAB交BC于點E（如圖4）若在射線BA上存在點F，使SDCF=SBDE，請直接寫出相應的BF的長28已知，點P是直角三角形ABC斜邊AB上一動點（不與A，B重合），分別過A，B向直線CP作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，Q為斜邊AB的中點（1）如圖1，當點P與點Q重合時，AE與BF的位置關系是，QE與QF的數(shù)量關系式；（2）如圖2，當點P在線段AB上不與點Q重合時，試判斷QE與QF的數(shù)量關系，并給予證明；（3）如圖3，當點P在線段BA（或AB）的延長線上時，此時（2）中的結論是否成立？請畫出圖形并給予證明29如圖，ABC中，AB=BC，B

13、EAC于點E，ADBC于點D，BAD=45°，AD與BE交于點F，連接CF（1）求證：BF=2AE；（2）若CD=，求AD的長30已知ABC為等邊三角形，點D為直線BC上的一動點（點D不與B、C重合），以AD為邊作菱形ADEF（A、D、E、F按逆時針排列），使DAF=60°，連接CF（1）如圖1，當點D在邊BC上時，求證：BD=CF；AC=CF+CD；（2）如圖2，當點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，結論AC=CF+CD是否成立？若不成立，請寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關系，并說明理由；（3）如圖3，當點D在邊CB的延長線上且其他條件不變時，補全圖形，并直接寫出

14、AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關系第13章 全等三角形參考答案與試題解析一、選擇題1如圖，是我們學過的用直尺和三角尺畫平行線的方法示意圖，畫圖的原理是（）A同位角相等，兩直線平行B內(nèi)錯角相等，兩直線平行C兩直線平行，同位角相等D兩直線平行，內(nèi)錯角相等【考點】作圖基本作圖；平行線的判定【分析】由已知可知DPF=BAF，從而得出同位角相等，兩直線平行【解答】解：DPF=BAF，ABPD（同位角相等，兩直線平行）故選：A【點評】此題主要考查了基本作圖與平行線的判定，正確理解題目的含義是解決本題的關鍵2如圖，小敏做了一個角平分儀ABCD，其中AB=AD，BC=DC將儀器上的點A與PRQ的頂點R重合，調(diào)

15、整AB和AD，使它們分別落在角的兩邊上，過點A，C畫一條射線AE，AE就是PRQ的平分線此角平分儀的畫圖原理是：根據(jù)儀器結構，可得ABCADC，這樣就有QAE=PAE則說明這兩個三角形全等的依據(jù)是（）ASASBASACAASDSSS【考點】全等三角形的應用【分析】在ADC和ABC中，由于AC為公共邊，AB=AD，BC=DC，利用SSS定理可判定ADCABC，進而得到DAC=BAC，即QAE=PAE【解答】解：在ADC和ABC中，ADCABC（SSS），DAC=BAC，即QAE=PAE故選：D【點評】本題考查了全等三角形的應用；這種設計，用SSS判斷全等，再運用性質(zhì)，是全等三角形判定及性質(zhì)的綜合

16、運用，做題時要認真讀題，充分理解題意3數(shù)學活動課上，四位同學圍繞作圖問題：“如圖，已知直線l和l外一點P，用直尺和圓規(guī)作直線PQ，使PQl于點Q”分別作出了下列四個圖形其中作法錯誤的是（）ABCD【考點】作圖基本作圖【分析】A、根據(jù)作法無法判定PQl；B、以P為圓心大于P到直線l的距離為半徑畫弧，交直線l，于兩點，再以兩點為圓心，大于它們的長為半徑畫弧，得出其交點，進而作出判斷；C、根據(jù)直徑所對的圓周角等于90°作出判斷；D、根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可作出判斷【解答】解：根據(jù)分析可知，選項B、C、D都能夠得到PQl于點Q；選項A不能夠得到PQl于點Q故選：A【點評】此題主要考查了

17、過直線外以及過直線上一點作已知直線的垂線，熟練掌握基本作圖方法是解題關鍵4如圖，在ABC中，ACB=90°，分別以點A和B為圓心，以相同的長（大于AB）為半徑作弧，兩弧相交于點M和N，作直線MN交AB于點D，交BC于點E，連接CD，下列結論錯誤的是（）AAD=BDBBD=CDCA=BEDDECD=EDC【考點】作圖基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線【分析】由題意可知：MN為AB的垂直平分線，可以得出AD=BD；CD為直角三角形ABC斜邊上的中線，得出CD=BD；利用三角形的內(nèi)角和得出A=BED；因為A60°，得不出AC=AD，無法得出EC=ED，則ECD

18、=EDC不成立；由此選擇答案即可【解答】解：MN為AB的垂直平分線，AD=BD，BDE=90°；ACB=90°，CD=BD；A+B=B+BED=90°，A=BED；A60°，ACAD，ECED，ECDEDC故選：D【點評】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)注意垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等5如圖，在平面直角坐標系中，以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交x軸于點M，交y軸于點N，再分別以點M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在第二象限交于點P，若點P的坐標為（6a，2b1），則a和b的數(shù)量關系為（）A6a2b=1B6a+2

19、b=1C6ab=1D6a+b=1【考點】作圖基本作圖；坐標與圖形性質(zhì)【分析】根據(jù)作圖方法可得點P在第二象限的角平分線上，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和第二象限內(nèi)點的坐標符號可得6a+2b1=0，然后再整理可得答案【解答】解：根據(jù)作圖方法可得點P在第二象限角平分線上；點P到x軸、y軸的距離相等；點P的橫縱坐標互為相反數(shù)，則P點橫縱坐標的和為0，故6a+2b1=0（或6a=2b1），整理得：6a+2b=1，故選B【點評】此題主要考查了基本作圖角平分線的做法以及坐標與圖形的性質(zhì)：點到坐標軸的距離與這個點的坐標是有區(qū)別的，表現(xiàn)在兩個方面：到x軸的距離與縱坐標有關，到y(tǒng)軸的距離與橫坐標有關；距離都是非負數(shù)，而坐標

20、可以是負數(shù)，在由距離求坐標時，需要加上恰當?shù)姆?如圖，用尺規(guī)作圖：“過點C作CNOA”，其作圖依據(jù)是（）A同位角相等，兩直線平行B內(nèi)錯角相等，兩直線平行C同旁內(nèi)角相等，兩直線平行D同旁內(nèi)角互補，兩直線平行【考點】作圖基本作圖；平行線的判定【分析】根據(jù)兩直線平行的判定方法得出其作圖依據(jù)即可【解答】解：如圖所示：“過點C作CNOA”，其作圖依據(jù)是：作出NCO=O，則CNAO，故作圖依據(jù)是：內(nèi)錯角相等，兩直線平行故選：B【點評】此題主要考查了基本作圖以及平行線判定，正確掌握作圖基本原理是解題關鍵7如圖，已知在RtABC中，ABC=90°，點D是BC邊的中點，分別以B、C為圓心，大于線段B

21、C長度一半的長為半徑畫弧，兩弧在直線BC上方的交點為P，直線PD交AC于點E，連接BE，則下列結論：EDBC；A=EBA；EB平分AED；ED=AB中，一定正確的是（）ABCD【考點】作圖基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)【專題】幾何圖形問題【分析】根據(jù)作圖過程得到PB=PC，然后利用D為BC的中點，得到PD垂直平分BC，從而利用垂直平分線的性質(zhì)對各選項進行判斷即可【解答】解：根據(jù)作圖過程可知：PB=CP，D為BC的中點，PD垂直平分BC，EDBC正確；ABC=90°，PDAB，E為AC的中點，EC=EA，EB=EC，A=EBA正確；EB平分AED錯誤；ED=AB正確，故正確的有，故選：

22、B【點評】本題考查了基本作圖的知識，解題的關鍵是了解如何作已知線段的垂直平分線，難度中等8如圖，分別以線段AC的兩個端點A，C為圓心，大于AC的長為半徑畫弧，兩弧相交于B，D兩點，連接BD，AB，BC，CD，DA，以下結論：BD垂直平分AC；AC平分BAD；AC=BD；四邊形ABCD是中心對稱圖形其中正確的有（）ABCD【考點】作圖基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)；中心對稱圖形【分析】根據(jù)線段垂直平分線的作法及中心對稱圖形的性質(zhì)進行逐一分析即可【解答】解：分別以線段AC的兩個端點A，C為圓心，大于AC的長為半徑畫弧，AB=BC，BD垂直平分AC，故此小題正確；在ABC與ADC中，ABCADC（S

23、SS），AC平分BAD，故此小題正確；只有當BAD=90°時，AC=BD，故本小題錯誤；AB=BC=CD=AD，四邊形ABCD是菱形，四邊形ABCD是中心對稱圖形，故此小題正確故選C【點評】本題考查的是作圖基本作圖，熟知線段垂直平分線的作法是解答此題的關鍵9觀察圖中尺規(guī)作圖痕跡，下列結論錯誤的是（）APQ為APB的平分線BPA=PBC點A、B到PQ的距離不相等DAPQ=BPQ【考點】作圖基本作圖【分析】根據(jù)角平分線的作法進行解答即可【解答】解：由圖可知，PQ是APB的平分線，A，B，D正確；PQ是APB的平分線，PA=PB，點A、B到PQ的距離相等，故C錯誤故選C【點評】本題考查的是

24、作圖基本作圖，熟知角平分線的作法及性質(zhì)是解答此題的關鍵10如圖，下面是利用尺規(guī)作AOB的角平分線OC的作法，在用尺規(guī)作角平分線過程中，用到的三角形全等的判定方法是（）作法：以O為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點D，E；分別以D，E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在AOB內(nèi)交于一點C；畫射線OC，射線OC就是AOB的角平分線AASABSASCSSSDAAS【考點】作圖基本作圖；全等三角形的判定【分析】根據(jù)作圖的過程知道：OE=OD，OC=OC，CE=CD，所以由全等三角形的判定定理SSS可以證得EOCDOC【解答】解：如圖，連接EC、DC根據(jù)作圖的過程知，在EOC與DOC中，EO

25、CDOC（SSS）故選：C【點評】本題考查了全等三角形的判定定理的應用，注意：三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL二、填空題11閱讀下面材料：在數(shù)學課上，老師提出如下問題：小蕓的作法如下：老師說：“小蕓的作法正確”請回答：小蕓的作圖依據(jù)是到線段兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上，兩點確定一條直線【考點】作圖基本作圖【專題】作圖題；壓軸題【分析】通過作圖得到CA=CB，DA=DB，則可根據(jù)線段垂直平分線定理的逆定理判斷CD為線段AB的垂直平分線【解答】解：CA=CB，DA=DB，CD垂直平分AB（到線段兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上，兩點確定一條直線）故答案

26、為：到線段兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上，兩點確定一條直線【點評】本題考查了基本作圖：基本作圖有：作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線12如圖，在ABC中，按以下步驟作圖：分別以B，C為圓心，以大于BC的長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點；作直線MN交AB于點D，連接CD，若CD=AC，B=25°，則ACB的度數(shù)為105°【考點】作圖基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)【分析】首先根據(jù)題目中的作圖方法確定MN是線段BC的垂直平分線，然后利用垂直平分線的性質(zhì)解題即可【解答】解：由題中作圖方法知道MN

27、為線段BC的垂直平分線，CD=BD，B=25°，DCB=B=25°，ADC=50°，CD=AC，A=ADC=50°，ACD=80°，ACB=ACD+BCD=80°+25°=105°，故答案為：105°【點評】本題考查了基本作圖中的垂直平分線的作法及線段的垂直平分線的性質(zhì)，解題的關鍵是了解垂直平分線的做法13如圖，在ABC中，AC=BC，B=70°，分別以點A、C為圓心，大于AC的長為半徑作弧，兩弧相交于點M、N，作直線MN，分別交AC、BC于點D、E，連結AE，則AED的度數(shù)是50°【

28、考點】作圖基本作圖；等腰三角形的性質(zhì)【分析】由作圖可知，MN是線段AC的垂直平分線，故可得出結論【解答】解：由作圖可知，MN是線段AC的垂直平分線，CE=AE，C=CAE，AC=BC，B=70°，C=40°，AED=50°，故答案為：50【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理的應用，熟知線段垂直平分線的性質(zhì)是解答此題的關鍵14如圖，ABC和FPQ均是等邊三角形，點D、E、F分別是ABC三邊的中點，點P在AB邊上，連接EF、QE若AB=6，PB=1，則QE=2【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)【專題】計算題；壓軸題【分析】連結FD，根據(jù)等

29、邊三角形的性質(zhì)，由ABC為等邊三角形得到AC=AB=6，A=60°，再根據(jù)點D、E、F分別是等邊ABC三邊的中點，則AD=BD=AF=3，DP=2，EF為ABC的中位線，于是可判斷ADF為等邊三角形，得到FDA=60°，利用三角形中位線的性質(zhì)得EFAB，EF=AB=3，根據(jù)平行線性質(zhì)得1+3=60°；又由于PQF為等邊三角形，則2+3=60°，F(xiàn)P=FQ，所以1=2，然后根據(jù)“SAS”判斷FDPFEQ，所以DP=QE=2【解答】解：連結FD，如，ABC為等邊三角形，AC=AB=6，A=60°，點D、E、F分別是等邊ABC三邊的中點，AB=6，P

30、B=1，AD=BD=AF=3，DP=DBPB=31=2，EF為ABC的中位線，EFAB，EF=AB=3，ADF為等邊三角形，F(xiàn)DA=60°，1+3=60°，PQF為等邊三角形，2+3=60°，F(xiàn)P=FQ，1=2，在FDP和FEQ中，F(xiàn)DPFEQ（SAS），DP=QE，DP=2，QE=2故答案為：2【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應邊相等也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)三、解答題15課間，小明拿著老師的等腰三角板玩，不小心掉到兩墻之間，如圖（1）求證：ADCCEB；（2）從三

31、角板的刻度可知AC=25cm，請你幫小明求出砌墻磚塊的厚度a的大?。繅K磚的厚度相等）【考點】全等三角形的應用；勾股定理的應用【專題】幾何圖形問題【分析】（1）根據(jù)題意可得AC=BC，ACB=90°，ADDE，BEDE，進而得到ADC=CEB=90°，再根據(jù)等角的余角相等可得BCE=DAC，再證明ADCCEB即可（2）由題意得：AD=4a，BE=3a，根據(jù)全等可得DC=BE=3a，根據(jù)勾股定理可得（4a）2+（3a）2=252，再解即可【解答】（1）證明：由題意得：AC=BC，ACB=90°，ADDE，BEDE，ADC=CEB=90°ACD+BCE=90

32、°，ACD+DAC=90°，BCE=DAC，在ADC和CEB中，ADCCEB（AAS）；（2）解：由題意得：一塊墻磚的厚度為a，AD=4a，BE=3a，由（1）得：ADCCEB，DC=BE=3a，在RtACD中：AD2+CD2=AC2，（4a）2+（3a）2=252，a0，解得a=5，答：砌墻磚塊的厚度a為5cm【點評】此題主要考查了全等三角形的應用，以及勾股定理的應用，關鍵是正確找出證明三角形全等的條件16根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡，先判斷得出結論：OM平分BOA，然后證明你的結論（不要求寫已知、求證）【考點】作圖基本作圖；全等三角形的判定與性質(zhì)【專題】作圖題【分析】根據(jù)圖中

33、尺規(guī)作圖的痕跡可知，OC=OD，CM=DM，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得到答案【解答】解：結論：OM平分BOA，證明：由作圖的痕跡可知，OC=OD，CM=DM，在COM和DOM中，COMDOM，COM=DOM，OM平分BOA【點評】本題考查的是角平分線的作法和全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握基本尺規(guī)作圖的步驟和全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關鍵17如圖，一塊余料ABCD，ADBC，現(xiàn)進行如下操作：以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交BA，BC于點G，H；再分別以點G，H為圓心，大于GH的長為半徑畫弧，兩弧在ABC內(nèi)部相交于點O，畫射線BO，交AD于點E（1）求證：AB=AE；（2）若A=

34、100°，求EBC的度數(shù)【考點】作圖基本作圖；等腰三角形的判定與性質(zhì)【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得AEB=EBC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得EBC=ABE，根據(jù)等腰三角形的判定，可得答案；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，可得AEB，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得答案【解答】（1）證明：ADBC，AEB=EBC由BE是ABC的角平分線，EBC=ABE，AEB=ABE，AB=AE；（2）由A=100°，ABE=AEB，得ABE=AEB=40°由ADBC，得EBC=AEB=40°【點評】本題考查了等腰三角形的判定，利用了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定

35、18如圖，ABC是等邊三角形，D是BC的中點（1）作圖：過B作AC的平行線BH；過D作BH的垂線，分別交AC，BH，AB的延長線于E，F(xiàn)，G（2）在圖中找出一對全等的三角形，并證明你的結論【考點】作圖基本作圖；全等三角形的判定；等邊三角形的性質(zhì)【分析】（1）根據(jù)平行線及垂線的作法畫圖即可；（2）根據(jù)ASA定理得出DECDFB即可【解答】解：（1）作圖如下：如圖1；如圖2：（2）DECDFB證明：BHAC，DCE=DBF，又D是BC中點，DC=DB在DEC與DFB中，DECDFB（ASA）【點評】本題考查的是作圖基本作圖，熟知等邊三角形的性質(zhì)是解答此題的關鍵19某段河流的兩岸是平行的，數(shù)學興趣小

36、組在老師帶領下不用涉水過河就測得河的寬度，他們是這樣做的：在河流的一條岸邊B點，選對岸正對的一棵樹A；沿河岸直走20步有一樹C，繼續(xù)前行20步到達D處；從D處沿河岸垂直的方向行走，當?shù)竭_A樹正好被C樹遮擋住的E處停止行走；測得DE的長就是河寬AB請你證明他們做法的正確性【考點】全等三角形的應用【分析】將題目中的實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，然后利用全等三角形的判定方法證得兩個三角形全等即可說明其做法的正確性【解答】證明：如圖，由做法知：在RtABC和RtEDC中，RtABCRtEDC（ASA）AB=ED即他們的做法是正確的【點評】本題考查了全等三角形的應用，解題的關鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題20如

37、圖，在ABC中，C=60°，A=40°（1）用尺規(guī)作圖作AB的垂直平分線，交AC于點D，交AB于點E（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）；（2）求證：BD平分CBA【考點】作圖基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)【專題】作圖題【分析】（1）分別以A、B兩點為圓心，以大于AB長度為半徑畫弧，在AB兩邊分別相交于兩點，然后過這兩點作直線即為AB的垂直平分線；（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和證明即可【解答】解：（1）如圖1所示：（2）連接BD，如圖2所示：C=60°，A=40°，CBA=80°，DE是AB的垂直平分線，A=DBA=40

38、6;，DBA=CBA，BD平分CBA【點評】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和及基本作圖，解題的關鍵是了解垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等21如圖，BD是矩形ABCD的一條對角線（1）作BD的垂直平分線EF，分別交AD、BC于點E、F，垂足為點O（要求用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）；（2）求證：DE=BF【考點】作圖基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)【專題】作圖題；證明題【分析】（1）分別以B、D為圓心，以大于BD的長為半徑四弧交于兩點，過兩點作直線即可得到線段BD的垂直平分線；（2）利用垂直平分線證得DEOBFO即可證得結論【解答】解：（1）答題如圖：（

39、2）四邊形ABCD為矩形，ADBC，ADB=CBD，EF垂直平分線段BD，BO=DO，在DEO和三角形BFO中，DEOBFO（ASA），DE=BF【點評】本題考查了基本作圖及全等三角形的判定與性質(zhì)，了解基本作圖是解答本題的關鍵，難度中等22如圖，點D在ABC的AB邊上，且ACD=A（1）作BDC的平分線DE，交BC于點E（用尺規(guī)作圖法，保留作圖痕跡，不要求寫作法）；（2）在（1）的條件下，判斷直線DE與直線AC的位置關系（不要求證明）【考點】作圖基本作圖；平行線的判定【專題】作圖題【分析】（1）根據(jù)角平分線基本作圖的作法作圖即可；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得BDE=BDC，根據(jù)三角形內(nèi)角與外角

40、的性質(zhì)可得A=BDC，再根據(jù)同位角相等兩直線平行可得結論【解答】解：（1）如圖所示：（2）DEACDE平分BDC，BDE=BDC，ACD=A，ACD+A=BDC，A=BDC，A=BDE，DEAC【點評】此題主要考查了基本作圖，以及平行線的判定，關鍵是正確畫出圖形，掌握同位角相等兩直線平行23如圖，在RtABC中，ACB=90°（1）用尺規(guī)在邊BC上求作一點P，使PA=PB（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）連接AP，當B為30度時，AP平分CAB【考點】作圖基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)【專題】作圖題【分析】（1）運用基本作圖方法，中垂線的作法作圖，（2）求出PAB=PAC=B，運用直角

41、三角形解出B【解答】解：（1）如圖，（2）如圖，PA=PB，PAB=B，如果AP是角平分線，則PAB=PAC，PAB=PAC=B，ACB=90°，PAB=PAC=B=30°，B=30°時，AP平分CAB故答案為：30【點評】本題主要考查了基本作圖，角平分線的知識，解題的關鍵是熟記作圖的方法及等邊對等角的知識24如圖，在ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于點F，連接CF（1）求證：AF=DC；（2）若ABAC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結論【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；菱形的判定【

42、分析】（1）根據(jù)AAS證AFEDBE，推出AF=BD，即可得出答案；（2）得出四邊形ADCF是平行四邊形，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)得出CD=AD，根據(jù)菱形的判定推出即可【解答】（1）證明：AFBC，AFE=DBE，E是AD的中點，AD是BC邊上的中線，AE=DE，BD=CD，在AFE和DBE中AFEDBE（AAS），AF=BD，AF=DC（2）四邊形ADCF是菱形，證明：AFBC，AF=DC，四邊形ADCF是平行四邊形，ACAB，AD是斜邊BC的中線，AD=BC=DC，平行四邊形ADCF是菱形【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的判定，菱形的判定的應用，主要考查學生的推理能

43、力25（1）如圖（1），已知：在ABC中，BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點A，BD直線m，CE直線m，垂足分別為點D、E證明：DE=BD+CE（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有BDA=AEC=BAC=，其中為任意銳角或鈍角請問結論DE=BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由（3）拓展與應用：如圖（3），D、E是D、A、E三點所在直線m上的兩動點（D、A、E三點互不重合），點F為BAC平分線上的一點，且ABF和ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若BDA=AEC=BAC，試判斷DEF的形狀

44、【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定【專題】壓軸題【分析】（1）根據(jù)BD直線m，CE直線m得BDA=CEA=90°，而BAC=90°，根據(jù)等角的余角相等得CAE=ABD，然后根據(jù)“AAS”可判斷ADBCEA，則AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE；（2）與（1）的證明方法一樣；（3）由前面的結論得到ADBCEA，則BD=AE，DBA=CAE，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得ABF=CAF=60°，則DBA+ABF=CAE+CAF，則DBF=FAE，利用“SAS”可判斷DBFEAF，所以DF=EF，BFD=AFE，于是DFE=DFA+AFE=D

45、FA+BFD=60°，根據(jù)等邊三角形的判定方法可得到DEF為等邊三角形【解答】證明：（1）BD直線m，CE直線m，BDA=CEA=90°，BAC=90°，BAD+CAE=90°，BAD+ABD=90°，CAE=ABD，在ADB和CEA中，ADBCEA（AAS），AE=BD，AD=CE，DE=AE+AD=BD+CE；（2）成立BDA=BAC=，DBA+BAD=BAD+CAE=180°，CAE=ABD，在ADB和CEA中，ADBCEA（AAS），AE=BD，AD=CE，DE=AE+AD=BD+CE；（3）DEF是等邊三角形由（2）知，AD

46、BCEA，BD=AE，DBA=CAE，ABF和ACF均為等邊三角形，ABF=CAF=60°，DBA+ABF=CAE+CAF，DBF=FAE，BF=AF在DBF和EAF中，DBFEAF（SAS），DF=EF，BFD=AFE，DFE=DFA+AFE=DFA+BFD=60°，DEF為等邊三角形【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應邊相等也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)26一節(jié)數(shù)學課后，老師布置了一道課后練習題：如圖，已知在RtABC中，AB=BC，ABC=90°，BOAC于點O，點P

47、、D分別在AO和BC上，PB=PD，DEAC于點E，求證：BPOPDE（1）理清思路，完成解答（2）本題證明的思路可用下列框圖表示：根據(jù)上述思路，請你完整地書寫本題的證明過程（2）特殊位置，證明結論若PB平分ABO，其余條件不變求證：AP=CD（3）知識遷移，探索新知若點P是一個動點，點P運動到OC的中點P時，滿足題中條件的點D也隨之在直線BC上運動到點D，請直接寫出CD與AP的數(shù)量關系（不必寫解答過程）【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)【專題】壓軸題【分析】（1）求出3=4，BOP=PED=90°，根據(jù)AAS證BPOPDE即可；（2）求出ABP=4，求出ABPCPD，即可得出答案；（3

48、）設OP=CP=x，求出AP=3x，CD=x，即可得出答案【解答】（1）證明：PB=PD，2=PBD，AB=BC，ABC=90°，C=45°，BOAC，1=45°，1=C=45°，3=PBC1，4=2C，3=4，BOAC，DEAC，BOP=PED=90°，在BPO和PDE中BPOPDE（AAS）；（2）證明：由（1）可得：3=4，BP平分ABO，ABP=3，ABP=4，在ABP和CPD中ABPCPD（AAS），AP=CD（3）解：CD與AP的數(shù)量關系是CD=AP理由是：設OP=PC=x，則AO=OC=2x=BO，則AP=2x+x=3x，由OBP

49、EPD，得BO=PE，PE=2x，CE=2xx=x，E=90°，ECD=ACB=45°，DE=x，由勾股定理得：CD=x，即AP=3x，CD=x，CD與AP的數(shù)量關系是CD=AP【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)等知識點的綜合應用，主要考查學生的推理和計算能力27如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中C=90°，B=E=30°（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖2，固定ABC，使DEC繞點C旋轉(zhuǎn)，當點D恰好落在AB邊上時，填空：線段DE與AC的位置關系是DEAC；設BDC的面積為S1，AEC的面積為S2，則

50、S1與S2的數(shù)量關系是S1=S2（2）猜想論證當DEC繞點C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時，小明猜想（1）中S1與S2的數(shù)量關系仍然成立，并嘗試分別作出了BDC和AEC中BC、CE邊上的高，請你證明小明的猜想（3）拓展探究已知ABC=60°，點D是角平分線上一點，BD=CD=4，DEAB交BC于點E（如圖4）若在射線BA上存在點F，使SDCF=SBDE，請直接寫出相應的BF的長【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)【專題】幾何綜合題；壓軸題【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=CD，然后求出ACD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得ACD=60°，然后根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行解答；根

51、據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC=AD，再根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC=AB，然后求出AC=BD，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出點C到AB的距離等于點D到AC的距離，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等解答；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BC=CE，AC=CD，再求出ACN=DCM，然后利用“角角邊”證明ACN和DCM全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面積相等證明；（3）過點D作DF1BE，求出四邊形BEDF1是菱形，根據(jù)菱形的對邊相等可得BE=DF1，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可知點F1為所求的點，過點D作DF2BD，求出F1DF2=60°，從而得到DF1F2是等邊三角形，然后求出DF1=DF2，再求出CDF1=CDF2，利用“邊角邊”證明CDF1和CDF2全等，根據(jù)全等三角形的面積相等可得點F2也是所求的點，然后在等腰BDE中求出BE的長，即可得解【解答】解：（1）DEC繞點C旋轉(zhuǎn)點D恰好落在AB邊上，AC=CD，BAC=90°B=90°30°=60°，ACD是等邊三角形，ACD=60°，又CDE=BAC=60°，ACD=CDE，DEAC；B=30°，C=90°，CD=AC=AB，BD=