2018年中考常見幾何模型分析

1、中考直通車數(shù)學(xué)廣州分冊第八章專題拓展模塊分值20172016201520142013因動點產(chǎn)生的線段和差、周長最值問題和面積問題77與四邊形有關(guān)的壓軸問題1414因動點產(chǎn)生的等腰三角形問題和直角三角形314因動點產(chǎn)生的相似問題17141714與圓有關(guān)的壓軸題141417動態(tài)幾何之定值最值問題141414常見幾何模型173第 24 講常見幾何模型年份題量分值考點題型201431全等的性質(zhì)和判定（手拉手模型）選擇題2016172全等的判定及其性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)模型填空題、解答題【考點解讀】常見幾何模型是廣州市中考的壓軸題?？碱}型，主要以考察選擇、填空最后一題和幾 何壓軸題為主。幾何模型類型較多，綜合性強(qiáng)，

2、屬于中考中重點但同樣是難點的一個考點。【考點分析】2011 年考查三角形全等和三角形中位線性質(zhì)，標(biāo)準(zhǔn)的手拉手模型。2014 年 考查三角形全等的判斷和性質(zhì)，根據(jù)手拉手模型找出全等三角形，再應(yīng)用其性質(zhì) 2016 年 本年度模型思想明顯，分值占比大，主要考查三角形全等的判定及其性質(zhì)、圖像 的旋轉(zhuǎn)，利用模型思想作為解題突破口順利完成輔助線。【模型介紹】手拉手模型：1、【條件】 如圖兩個等邊三角形ABD與BCE，連結(jié)AE與CD，【結(jié)論】（1）ABEDBC（2）AE DC.4JB（3）AE與DC之間的夾角為60 1（4）AE與DC的交點設(shè)為H,BH平分AHC2、【條件】如圖兩個等腰直角三角形ADC與ED

3、G，連結(jié)AG,CE，二者相交于點H?！窘Y(jié)論】 （1）ADG CDE是否成立？（2）AG=CE（3）AG與CE之間的夾角為90（4）HD是否平分AHE？旋轉(zhuǎn)模型：一、鄰角相等對角互補(bǔ)模型【條件】如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，BAD【結(jié)論】ACB ACD 45BC CD 2ACBCD 90二、角含半角模型：全等角含半角要旋轉(zhuǎn)：構(gòu)造兩次全等CF【條件】 :如圖，點E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD上的點，EAF 45,連接EF;【結(jié)論】(1)AGEAFE(2)EF BEFD;一線三等角模型：【條件】 一條直線同一側(cè)三個相等的角（如圖）；【結(jié)論】ABCCDE1、銳角形一線三等角2、直角形一

4、線三等角3、鈍角形一線三等角【真題拾遺】1 . （2014 ?廣州）如圖，四邊形 ABCD、CEFG 都是正方形，點 G 在線段 CD 上，連接 BG、DE, DE 和 FG 相交于點 O，設(shè) AB=a，CG=b （a b）.下列結(jié)論：厶 BCG 也 JDCE:BG 丄 DE ；土=丄；（ a - b ）2?SFo=b2?SZDGO.其中結(jié)論正確的個數(shù)是（）C. 2 個2 . ( 2016 ?廣州)如圖，正方形 ABCD 的邊長為 1 , AC , BD是對角線.將 DCB 繞著點D 順時針旋轉(zhuǎn) 45。得到QGH，HG 交 AB 于點 E,連接 DE 交 AC于點 F,連接 FG .則下 列結(jié)

5、論：其中正確的結(jié)論是_HA /三、解答題3 . (2011 廣州中考)如圖 1 ,OO 中 AB 是直徑，C 是OO 上一點，/ ABC=45 ，等腰直角三角形 DCE 中ZDCE 是直角，點 D 在線段 AC 上.(1 )證明：B、C、E 三點共線；(2 )若 M 是線段 BE 的中點，N 是線段 AD 的中點，證明：MN= .：?OM ;(3 )將/DCE 繞點 C 逆時針旋轉(zhuǎn)a(0 a AE, AEV二，.CB+FGV1.5，故錯誤故答案為.H._2C點評：本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是通過計算發(fā)現(xiàn)角相等，學(xué)會這種

6、證明角相等的方法,屬于中考?？碱}型.三、解答題3、考點：(1 )三點共線 (2)中位線、全等三角形(手拉手性質(zhì))(3)同(2)分析： (1)根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到/BCA=90 ,DCE 是直角，即可得到/ BCA+ZDCE=90 90 =180 ;(2) 連接 BD ,AE,ON，延長 BD 交 AE 于 F,先證明 Rt ABCD 織 tACE ,得到 BD=AE ,ZEBD= /CAE，則ZCAE+ZADF= ZCBD+ ZBDC=90 ，即 BD 丄 AE，再利用三角形丄丄的中位線的性質(zhì)得到 ON=%D, OM=2AE, ON /BD , AE /OM ,于是有 ON=OM ,

7、ON 丄 OM，即AONM 為等腰直角三角形，即可得到結(jié)論；(3) 證明的方法和(2 ) 一樣.解答:(1)證明：TAB 是直徑，ZBCA=90 ,而等腰直角三角形 DCE 中/DCE 是直角，ZBCA+ /DCE=90 90 180 , B、C、E 三點共線;(2)連接 BD , AE, ON，延長 BD 交 AE 于 F，如圖 1,CB=CA , CD=CE ,.Rt ABCD 織 tKCE ,.BD=AE，/EBD= /CAE,ZCAE+ ZADF= ZCBD+ /BDC=90 。，即 BF 丄 AE,又TM 是線段 BE 的中點，N 是線段 AD 的中點，而 O 為 AB 的中點，11

8、ON二一BD,OM二一AE, ON /BD , AE /OM ;22ON=OM , ON 丄 OM，即AONM 為等腰直角三角形，MN=:：OM ;(3)成立.理由如下：女口圖 2,連接 BD1 , AE1 , ON1 , vzACB -/ACD1= ZD1CE1 -/ACD1 ,/BCD 仁 ZACE1，又/ CB=CA , CD1=CE1 ,ABCD1也ACE1 ,與(2)同理可證 BD1 丄 AE1 , ON1M1 為等腰直角三角形，從而有 M1N 仁 k：OM1 .團(tuán)2圍】點評：本題考查主要三角形全等的判定和中位線的性質(zhì)，熟練掌握手拉手模型，作為本題切 入點，可以非常順利的解決本題。4

9、、考點：圓的相關(guān)概念、等腰三角形、截長補(bǔ)短(旋轉(zhuǎn)模型性質(zhì))、勾股定理分析： (1)要證明 BD 是該外接圓的直徑，只需要證明/ BAD 是直角即可，又因為/由對稱性可知：/ AMB=ACB=45ABD=45。，所以需要證明/ ADB=45 ;(2) 在 CD 延長線上截取 DE=BC，連接 EA，只需要證明 EAF 是等腰直角三角 形即可得出結(jié)論；(3) 過點 M 作 MF 丄 MB 于點 M，過點 A 作 AF 丄 MA 于點 A , MF 與 AF 交于 點 F,證明 AMF 是等腰三角形后，可得出 AM=AF , MF= : AM，然后再證明 ABF ZADM 可得出BF=DM，最后根據(jù)

10、勾股定理即可得出 DM2 , AM2 , BM2(2 )在 CD 的延長線上截取 DE=BC ,ZABC+ZADC=180 ,ZABC= /ADE,在ZABC 與ZADE 中,ZABC=ZADEBCEEZBAC+ /CAD= ZDAE+ /CAD ,/./BAD= /CAE=90 ,=L：/CD= ZABD=45 ,)AE 是等腰直角三角形， :AC=CE , :AC=CD+DE=CD+BC;(3)過點 M 作 MF 丄 MB 于點 M，過點 A 作 AF 丄 MA 于點 A , MF 與 AF 交于 點 F,連接 BF,者之間的數(shù)量關(guān)系.解答： 解：(1 )；=門,ZACB=ZADB=45v

11、zABD=45-ZBAD=90BD 是ZABD 外接圓的直徑連接 EA,vZABD=ZADB,AB=AD ,VZADE+ /ADC=180/ABC 也 ZDE (SAS),ZBAC= /DAE ,/zFMA=45念 MF 是等腰直角三角形,AM=AF , MF= AM ,JMAF+ ZMAB= ZBAD+ ZMAB ,zFAB= /MAD ,在AABF 與AADM 中,點評：本題考查圓的綜合問題，涉及圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等知識，熟練掌握旋轉(zhuǎn)模型的特征和性質(zhì)，作為本題切入點，構(gòu)造出 等腰直角三角形，方向明確，減小了本題的難度。【模擬演練】 一、選擇題1、

12、（ 2014 番禺華附一模）如圖 2，在矩形ABCD中，E為AD的中點，EF丄EC交邊AB于F,連FC,下列結(jié)論不止確.的是（D ）.AEB.MEFS/DCE二、填空題3、（2016 黃埔區(qū)一模）如圖6，已知ABC和AED均為等邊三角形，點D在BC邊上,DE與AB相交于點F，如果AC12,CD 4，那么BF的長度為 _.三、解答題4、（2016 荔灣區(qū)一模）如圖，正三角形ABC內(nèi)接于OO,P是弧BC上的一點（P 不與點C.AAEFS/ECD .AAEF2、（2017 十六中一模）如圖，邊長為 1 的正方形 ABCD 的對角線 AC、BD 相交于點 O.有直角ZMPN時針旋轉(zhuǎn)/ MPN，旋轉(zhuǎn)角為

13、B（0 090 ）,PM、PN 分別交 AB、BC 于 E、F 兩點，連接 EF 交 OB 于點 G,則下列結(jié)論中正確的是（C ）.(1)EF=V2OE；(2) S四邊形(3) BE+BF=V2OA;（4 ）在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng) BEF 與ACOF 的面積之和最大時,(5 ) OG ?BD=AE2+CF2.A. ( 1)( 3)( 4)( 5 )C. ( 1)( 2 )( 3)( 5)D. (1)( 2 )( 3)( 4)B. (2)( 3)( 4)( 5)丘圖6刀亡B、C 重合），且PB PC ,PA交BC于E,點F是PC延長線上的點，CF PB ,AB 13,(1) 求證ABP也ACF;2(2

14、) 求證AC PA AE;(3 )求PB和PC的長.5、(2016 海珠區(qū)一模)已知正方形 ABCD 和正方形 CEFG，連接 AF 交 BC 于 O 點，點 P 是 AF 的中點，過點 P 作 PH 丄 DG 于 H , CD=2 , CG=1。(1 )如圖 1，點 D、C、G 在同一直線上，點 E 在 BC 邊上，求 PH 得長；(2 )把正方形 CEFG 繞著點 C 逆時針旋轉(zhuǎn)(0 aV180 )1如圖 2，當(dāng)點 E 落在 AF 上時，求 CO 的長；2如圖 3，當(dāng) DG=-】7時，求PH的長。236、(2017 二中一模)已知拋物線 C1:y ax bx (a 0)經(jīng)過點 A (1 ,

15、 0 )和 B (-3 ,20).(1 )求拋物線 C1的解析式，并寫出其頂點 C 的坐標(biāo)；(2 )如圖 1，把拋物線 C1沿著直線 AC 方向平移到某處時得到拋物線 C2，此時點 A, C 分 別平移到點 D , E 處.設(shè)點 F 在拋物線 C1上且在 x 軸的上方，若 DEF 是以 EF 為底的等腰 直角三角形，求點F 的坐標(biāo)；(3 )如圖 2,在(2)的條件下，設(shè)點 M 是線段 BC 上一動點，EN 丄 EM 交直線 BF 于點 N , 點 P 為線段MN 的中點，當(dāng)點 M 從點 B 向點 C 運動時：tan ZENM 的值如何變化？請說明理由；點 M 到達(dá)點 C 時，直接寫出點 P 經(jīng)

16、過的路線長.參考答案1、D考點：相似三角形、三角形內(nèi)角和（一線三直角）分析：利用等角的余角相等得到/ AFE= /DEC,則根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似得到 RtKEFsRt QCE，由相似的性質(zhì)得 CD : AE=DE : AF，而 CD=AB , DE=AE , 貝 UAB : AE=AE : AF ,即 AE2=AB ?AF,禾 U 用 AF AE;再禾 U 用 RtAAEFsRtQCE 得到 EF: EC=AF : DE,把 DE=AE 代入得到 EF: EC=AF : AE，根據(jù)比例性質(zhì)得 EF: AF=EC : AE，加上/A= /FEC=90。，則根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且

17、夾角 對應(yīng)相等的兩個三角形相似得到 AEFs/ECF;由ZEFC90 可判斷 ZAEFs/BFC 相似 不成立，而當(dāng)/AFE= ZBFC 時，可判斷厶 AEFs/BCF.解答：/AEF+ ZDEC=90 , /ZAEF+ ZAFE=90 , /-ZAFE= /DEC,Rt AEFSRt DCE ;.CD:AE=DE:AF ,：E 為矩形 ABCD 的邊 AD 的中點，CD=AB , DE=AE ,.AB:AE=AE:AF,即 AE2=AB ?AF,而 AF?AB ,.AB?AE;RtAEFSRtDCE,AEF:EC=AF:DE，而 DE=AE,EF:EC=AF:AE ,即 EF:AF=EC:A

18、E , vZA= ZFEC=90 ,ZAEFsCF;/EFC 須 0 ./AEFs/BFC 相似不成立,但當(dāng)/ AFE= ZBFC 時,AEFZBCF.故選 D.點評：此題為非常明顯的考查相似三角形知識點，根據(jù)一線三等角模型特征快速得出答案。2、C考點：正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)分析：由四邊形 ABCD 是正方形，直角/ MPN，易證得厶 BOE 也 zCOF ( ASA )，則可證得結(jié)論;則可證得結(jié)論；3首先設(shè) AE=x，貝 U BE=CF=1-x , BF=x，繼而表示出 BEF 與ACOF 的面積之和，然 后利用二次函數(shù)的最值問題，求得答案；

19、4易證得厶 OEGs)BE，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，證得OG?OB=OE2 ,再利用 OB 與 BD 的關(guān)系，OE 與 EF 的關(guān)系，即可證得結(jié)論.解答：四邊形 ABCD 是正方形，OB=OC, ZOBE= /OCF=45 ，/BOC=90 , /-ZBOF+ ZCOF=90 ,左 OF=90 , /BOF+ ZCOE=90 , /BOE= ZCOF ,在 ABOE 和ACOF 中，/ BOE= ZCOF , OB=OCZOBE= ZOCF ,.A3OE 也AOF(ASA) ,.OE=OF , BE=CF ,EF=2 2OE 做正確;由(1)易證得S四邊形OEBFBOCABCD ,=1

20、邊邊OEBF=SBOE+SBOE=SABOE+ SCOF=SBOC=一S正方形ABCD4S四邊邊OEBF：S正方形ABCD=1：4；故正確;O 作 OH 丄 BC,VBC=1 ,.OH=12BC=12設(shè) AE=x，貝 U BE=CF=1 - x, BF=x ,11111129SABEF+SZCOF= BE?BF + CF?OH = x(1-x) + (1-x)X= (x-14) + 22222232a= - 120 , 當(dāng) X=14時,SABEF+SACOF最大；即在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)ABEF 與ACOF 的面積之和最大時,AE=14 ;故錯誤；/EOG= /BOE, ZOEG= ZOBE=45

21、A)EGSA)BE,OE:OB=OG:OE ,OG ?OB = OE2,OB=1BD,OE=2 2EF,2OG ?BD :=EF2, 在伯 EF 中，EF2= BE2+ BF2, EF2= AE2+ CF2,OG ?BD = AE2+ CF2.故正確。C.點評：從圖形上看是一個比較復(fù)雜的題，但是實際題目難度并不是很大，利用對角互補(bǔ)旋轉(zhuǎn)模型結(jié)論再結(jié)合個夠定理就能解決此題。3考點：相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)分析：先利用等邊三角形的性質(zhì)得到/ C= ZADE= /B=60 ,AB=BC=AC=12 ，再利用三角 形外角性質(zhì)證明/ BDF= /CAD，則可判斷 DBFKCD，然后利用相似

22、比計算 BF 的 長.解答:/C= /ADE= ZB=60 , AB=BC=AC=12 ,/ZADB= ZDAC+ ZC,而/ADB=ZADE+ ZBDF ,ZBDF= /CAD ,/DBFSCD,BF:CD=BD:AC ,8即 BF:4=8:12,解得 BF=.38故答案為-.3點評：此題利用對角互補(bǔ)旋轉(zhuǎn)模型推導(dǎo)過程得到對應(yīng)結(jié)論，再利用相似解決第（2）（3 ）問4、考點：圓周角定理，等邊三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定，圓內(nèi)接四邊形的任何一個外角都等于它的內(nèi)對角分析：對于（1），先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到 AB=AC，再利用圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得/ACF= ZABP，根據(jù)“ SAS ”即可得證

23、；對于（2 ），先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到/ ABC= JCB=60。，再根據(jù)圓周角定理得/APC= /ABB=60 ，加上/CAE= ZPAC,于是可判斷 ACEs公 pc ,然后利用相似比 即可得到結(jié)論；1332對于（3），先利用AC= PA?AE計算出AE=4，則 PE=AP-AE=4，再證 APF為等邊三角形，得到 PF=PA=4，則有 PC+PB=4，接著證明 ABPsCEP，得到2PB PC=PEAP=3 ,然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可把 PB 和 PC 看作方程X-4x +3=0的兩實數(shù)解，再解此方程即可得到PB 和 PC 的長.解答：（1）證明：正三角形 ABC 內(nèi)接于OO ,A

24、B=AC.四邊形 ABPC 為圓的內(nèi)接四邊形， ZACF= ZABP.在ABP 和ACF 中，AB = AC/ABP =/ACFBP = CFZABPzACF.（2）證明：正三角形 ABC 內(nèi)接于O0, ZABC= ZACE=60 , ZAPC= ZABC=60 , ZACE= ZAPCvzCAE= ZPACZACEsPC5AE:AC=AC:AP2AC = PA?AE.2(3)T AC = PA?AE ,AB=AC,13 AE = AB ?AP =,4133 PE = AP -AE = 4二,44/ZABPzACF , ZAPB= /F=60而/APC=60 ,ZAPF 為等邊三角形，/PF=

25、PA=4 ,PC+CF=PC+PB=4.VZBAP= /PCE,/APB=ZAPC,ZABPsEP,PB:PE=AP:PC ,3PB PC=PEAP=X4=3.4VPB+PC=4 ,2PB 和 PC 可看作方程x 4x 3 0的兩實數(shù)解，解此方程得 為1,X23./PBvPC,PB=1 , PC=3 .點評：此題為標(biāo)準(zhǔn)手拉手模型，所以除了相似三角形得出答案，還能利用手拉手模型性質(zhì)解決。3/CO=x=x考點：梯形中位線、相似三角形、勾股定理、全等三角形(一線三直角) 分析：先判斷出四邊形 APGF是梯形，再判斷出 PH 是梯形的中位線，1PH =-(FG +AD)得到2;(2)先判斷出 COEs

26、/AOB，得到 AO 是 CO 的 2 倍，設(shè)出 CO ,表示出 BO ,AO，再用勾股定理計算，先找出輔助線，再判斷出ARD 也SC,ACSGzGTF,求出 AR+FT，最后用梯形中位線即可.解答：(1)PH 丄 CD , AD 丄 CD ,PH /AD /FG,點 P 是 AF 的中點，PH 是梯形 APGF 的中位線，13PH = (FG+AD)二,22(2)vZCEO=ZB=90 ZCOE= ZAOB,z.ZCOES/AOB,COAO=CEAB ,COAO=12 ,設(shè) CO=x ,AO=2x , BO=2 - x,22在ABO 中,根據(jù)勾股定理得，4 + (2-x)= (2x),x2丄

27、了一2或舍),33如圖 3 ,分別過點 A , C, F 作直線 DG 的垂線，垂足分別為 R, S, T,TZADR+ /CDS=90/CDS+ /DCS=90ZADR= /DCS ,vZADR= ZCSD=90 ,AD=CD./ARD BQSC ,AR=DS ,同理： CSGzGTF,SG=FT ,AR+FT=DS+SG=DG=擰,同的方法得，PH 是梯形 ARTF 的中位線，1WPH =一（AR + FT）=一.22點評：此題利用梯形中位線性質(zhì)解決第（1 ）問，第（2）利用相似結(jié)合勾股定理這中常用方 法求長度，第（3 ）問構(gòu)造一線三直角模型解決問題。6、考點：二次函數(shù)、等要直接三角形、相似三角形（一線三直接）、三角函數(shù)、中位線分析：(1 )根據(jù)解析式求出坐標(biāo);(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，EF=. 2DF求出 EF 的長度，再根據(jù)拋物線與直線縱 坐標(biāo)差值求出答案。(3) 根據(jù)答案需要求的正切值轉(zhuǎn)換為