第八節(jié)-定積分的經(jīng)濟應(yīng)用-2013-2-8

1、§6.7 定積分的應(yīng)用-1 教學(xué)目的：熟練運用定積分知識，在已知經(jīng)濟函數(shù)的邊際函數(shù)條件下計算其相應(yīng)原函數(shù)或函數(shù)值重點：1.弄清常用經(jīng)濟函數(shù)的實際問題的意義，正確列出相關(guān)定積分表達式2.利用積分概念與性質(zhì)簡化計算難點：收益流的現(xiàn)值和將來值教學(xué)方法：講練結(jié)合教學(xué)過程：五、由邊際函數(shù)求原函數(shù) 經(jīng)濟函數(shù) .例1 生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本函數(shù)為,固定成本,求生產(chǎn)個產(chǎn)品的總成本函數(shù)解:提問：平均成本如何求？練習(xí)1： 生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為,當(dāng)產(chǎn)量由200增加到300時,需增加成本多少？ 解: 需增加成本為例2 已知邊際收益為,設(shè),求收益函數(shù)解:練習(xí)2： 某工廠生產(chǎn)某商品在時刻的總產(chǎn)量變化率為(單位/

2、小時)求由到這兩小時的總產(chǎn)量解: 兩小時的總產(chǎn)量為練習(xí)3：某工廠生產(chǎn)某商品在時刻的總產(chǎn)量變化率為(單位/小時)求由到這兩小時的總產(chǎn)量解: 兩小時的總產(chǎn)量為（單位）練習(xí)4.已知某產(chǎn)品總產(chǎn)量的變化率是時間(單位:年)的函數(shù) ,求第一個五年和第二個五年的總產(chǎn)量各為多少?解, .例3. 已知某產(chǎn)品生產(chǎn)個單位時,總收益的變化率(邊際收益)為,(1)求生產(chǎn)了50個單位時的總收益;(2)如果已經(jīng)生產(chǎn)了100個單位,求再生產(chǎn)100個單位時的總收益.解, .例4 設(shè)某種商品每天生產(chǎn)單位時固定成本為20元,邊際成本函數(shù)為(元/單位),求總成本函數(shù).若該商品規(guī)定的銷售單價為18元，且產(chǎn)品可以全部售出，求總利潤函數(shù)，

3、并問每天生產(chǎn)多少單位時才能獲得最大利潤.解：總成本函數(shù).總利潤函數(shù)由，又所以每天生產(chǎn) 單位時，總利潤最大，且（元）.例（2013.10）設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為60000元，可變成本為20元/件，價格函數(shù)為,（是單價，單位：元，是銷量，單位：件），已知產(chǎn)銷量平衡，求：（1）該商品的邊際利潤；（2）當(dāng)時的邊際利潤，并解釋其經(jīng)濟意義；（3）使得利潤最大的定價.解 由可知，由，（1） 邊際利潤；（2） 令，經(jīng)濟意義：當(dāng)產(chǎn)品價格為時，價格每增長1元時收益減少20000.（3） 令，得，又，故時利潤最大.練習(xí)5：某產(chǎn)品的總成本(萬元)的變化率(邊際成本),總收益(萬元)的變化率(邊際收益)為生產(chǎn)量(百臺

4、)的函數(shù) ,(1)求生產(chǎn)量等于多少時,總利潤為最大.(2)從利潤最大的生產(chǎn)量又生產(chǎn)了100臺,總利潤減少了多少解(1),由,得,，所以時,總利潤最大.(2),所以減少了5000元.練習(xí)6：(92.4.) 設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為10,而當(dāng)產(chǎn)量為時的邊際成本函數(shù)為,邊際收入函數(shù)為,試求(1)總利潤函數(shù);(2)使總利潤最大的產(chǎn)量.解 (1)總成本函數(shù)為: 總收入函數(shù)為:總利潤函數(shù)為 令 即又 ,所以為極大值點,也是獲得最大利潤點故 時總利潤最大.例5 在某地區(qū)當(dāng)消費者個人收入為時,消費支出的變化率,當(dāng)個人收入由900增加到1600時,消費支出增加多少？ 解:消費支出增加 練習(xí)7：已知生產(chǎn)某產(chǎn)品單位

5、時的邊際收入為( 元/單位)，求生產(chǎn)40單位時的總收入及平均收入，并求再增加生產(chǎn)10個單位時所增加的總收入解:因為 ，所以生產(chǎn)40單位時的總收入為（元）生產(chǎn)40單位時的平均收入為（元）為在生產(chǎn)40單位后再增加生產(chǎn)10個單位時所增加的總收入（元）（生產(chǎn)50個單位產(chǎn)品時總收益最大）練習(xí)8:已知生產(chǎn)某商品單位時，邊際收益函數(shù)為（元/單位），試求生產(chǎn)單位時總收益以及平均單位收益，并求生產(chǎn)這種產(chǎn)品2000單位時的總收益和平均單位收益.解：總收益 .平均單位收益；當(dāng)生產(chǎn)2000單位時，總收益 （元）；平均單位收益 （元）.例6 假設(shè)某產(chǎn)品的邊際收入為( 萬元/萬臺)，邊際成本為(萬元/萬臺)，其中產(chǎn)量以萬

6、臺為單位，（1）求產(chǎn)量由4萬臺增加到5萬臺時利潤的變化量；（2）當(dāng)產(chǎn)量為多少利潤最大？（3）已知固定成本為1萬元，求總成本函數(shù)和總利潤函數(shù)解：（1）邊際利潤為（萬元）（）由得唯一駐點（萬元），即當(dāng)產(chǎn)量為萬元時利潤最大（）由已知 三、收益流的現(xiàn)值和將來值 1.由第二章第五節(jié) 連續(xù)復(fù)利(時時刻刻在計息 )知識知道若以連續(xù)復(fù)利率計息，將一筆元的人民幣從現(xiàn)在起存銀行，t年后的價值（將來值）為若t年后得到元的人民幣，則現(xiàn)在需要存入銀行的金額（現(xiàn)值）為 2.收益流(1)收益流隨時間連續(xù)變化的收益(2)收益流量收益流對時間的變化率(3) 兩者的關(guān)系 若收益以元為單位,時間以年為單位,收益流量單位為:元/年.

7、若為常數(shù),則稱該收益流具有常數(shù)流量(收益率).3.現(xiàn)值和將來值(1)將來值將收益流存入銀行并加上利息之后的存款值(2)現(xiàn)值收益流的現(xiàn)值是這樣一筆款項,若把它存入可獲息的銀行,將來從收益流中獲得的總收益,與包括利息在內(nèi)的銀行存款值,有相同的價值.總收益減去利息的所得.4.計算公式若不考慮利息,則從時刻開始,以為收益率的收益流到時刻的總收益為 .若考慮利息,為簡單起見,假設(shè)以連續(xù)復(fù)利率計息,對于一筆收益率為(元/年)的收益流,計算現(xiàn)值和將來值假設(shè)連續(xù)復(fù)利率為,收益流的收益流量為(元/年),時間段為從到年,那么(1) 收益流的總現(xiàn)值為: 證明：取中的任一小區(qū)間,在期間的收益近似為,此收益可以近似看作

8、單筆在t點的收益，其現(xiàn)值近似為,所以收益流的總現(xiàn)值為: (2)收益流的將來值為: 證明：取中的任一小區(qū)間,在期間的收益為,其將來值近似為,所以收益流的總將來值為:例7 假設(shè)以連續(xù)復(fù)利率計息, (1)求收益流量為100元/年的收益在20年期間的現(xiàn)值和將來值；(2)將來值和現(xiàn)值的關(guān)系如何?解釋這一關(guān)系解：(1)收益在20年期間的現(xiàn)值 (元),將來值 (元);(2). 說明:將單獨的一筆款項存入銀行,并以連續(xù)復(fù)利率計息,那么這筆款項20年后的將來值為,這個將來值正好等于收益流在20年期間的將來值.結(jié)論 將來值和現(xiàn)值的關(guān)系 將來值現(xiàn)值.例8 設(shè)有一項計劃現(xiàn)在()需要投入1000萬元,在10年中每年收益為200萬元.若連續(xù)復(fù)利率為,求收益資本價值.(設(shè)購置的設(shè)備10年后完全失去價值).解：由于資本的價值收益流的現(xiàn)值投入資金的現(xiàn)值,那么 （200萬元為每年的收益流量）(萬元).例9某企業(yè)一項為期10年的投資需購置成本80萬元,每年的收益流量為10萬元,求內(nèi)部利率.(注:內(nèi)部利率是使收益價值