中國各大名校自主招生數(shù)學(xué)試題集錦

1、名牌高校自主招生數(shù)學(xué)試題賞析江蘇省如高中學(xué)-童云飛近年來名牌高校自主招生考試競爭愈演愈烈，了解自主招生考試特點，合理安排日常學(xué)習(xí)，積極備考對各位考生意義重大。下面簡要分析一下自主招生數(shù)學(xué)考試的特點 ，并對一些有代表性的試題作簡要分析。 自主招生試題特點：試題總難度高于高考，多數(shù)題目達到高考中高難度，部分題目達到競賽難度，試題靈活多變，毫無規(guī)律可尋，但各個學(xué)校的試題已經(jīng)開始形成各自的風(fēng)格。總的來說，函數(shù)、方程、數(shù)列、不等式、排列組合等內(nèi)容是高頻考點。應(yīng)試策略：1、注重基礎(chǔ)：一般說來，自主招生中，中等難度題目分數(shù)比例大約60% 左右。 2、聯(lián)系教材，適度拓寬知識面：注意課本上的自主.探究和閱讀材料

2、，對和大學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)系緊密的內(nèi)容進行深度挖掘。自主招生中，有不少試題都來源于這些材料。 3、掌握競賽數(shù)學(xué)的基本知識和解題技巧，著重培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力。 4、考前進行模擬訓(xùn)練，熟悉每個高校的命題特點，掌握答題技巧。高頻考點一覽：不等式均值不等式與柯西不等式的綜合運用，凸函數(shù)的性質(zhì)，證明不等式的常用方法雜題常見的組合數(shù)學(xué)問題（組合計算、組合構(gòu)造、博弈問題、染色問題）解析幾何解析幾何的基本運算、取值范圍與最值問題以及探索性問題平面幾何平面幾何的基本計算和證明、三角形五心問題、圖形變換函數(shù)函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性的證明與應(yīng)用三角函數(shù)一些具有技巧性的三角變換，三角恒等式和簡單的三角不等式問題立體幾何復(fù)雜的

3、空間幾何構(gòu)型，空間范圍內(nèi)的旋轉(zhuǎn)對稱等變換問題排列組合比較具有技巧性的排列組合問題和一些復(fù)雜的概率問題方程和多項式高次方程，無理方程的技巧性處理，一些簡單的多項式知識數(shù)列非等比等差數(shù)列的遞推公式、通項公式、求和公式的常見解法試題賞析 1. (2009復(fù)旦)如果一個函數(shù)f(x)在其定義區(qū)間內(nèi)對任意x，y都滿足，則稱這個函數(shù)時下凸函數(shù)，下列函數(shù)（1） （2）（3）（）（4）中是下凸函數(shù)的有-。A(1)(2) B. (2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4)2. （2006復(fù)旦）設(shè)x1,x2（0，），且x1x2，下列不等式中成立的是： (1)（tanx1+tanx2）>tan; (2) （

4、tanx1+tanx2）<tan; (3)（sinx1+sinx2）>sin; (4) （sinx1+sinx2）<sinA (1),(3) B(1),(4) C(2),(3) D(2),(4)點評：凸函數(shù)在蘇教版高中數(shù)學(xué)必修一探究.拓展中出現(xiàn)過.3. 求證：（2006年復(fù)旦大學(xué)）點評:“算兩次”的思想在蘇教版高中數(shù)學(xué)選修23的探究.拓展中出現(xiàn)過.4. 給定正整數(shù)n和正常數(shù)a，對于滿足不等式的所有等差數(shù)列a1,a2,a3,和式的最大值=_.（2007復(fù)旦自主招生試題）A.; B.; C.; D.5.求證：（復(fù)旦大學(xué)2004年保送生考試題）6.設(shè)表示不超過 的最大整數(shù)，則 =_

5、 A. 15 B. 16 C. 17 D. 18(復(fù)旦大學(xué)自主招生試題)點評：46題是全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽考過的原題.7. 設(shè) f(x)在1,+¥)上單調(diào)遞增，且對任意x,yÎ1,+¥)，都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，證明：存在常數(shù)k，使f(x)=kx在xÎ1,+¥)上成立（北大自主招生試題）8. 求證：對于任意的正整數(shù)，必可表示成的形式，其中（2012年“北約”試題）-(漫話數(shù)學(xué)歸納法上的原題)9. 有限條拋物線及其內(nèi)部能否覆蓋整個平面？并證明。（拋物線內(nèi)部指焦點所在的一側(cè)）（2009清華自主招生試題）10. 排球單循壞賽，南方球隊比

6、北方球隊多9支，南方球隊總得分是北方球隊的9倍。 求證：冠軍是一支南方球隊（勝得1分 敗得0分）. (08北大自主招生試題)11某次考試共有333名學(xué)生做對了1000道題，做對3道及以下為不及格，6道及以上為優(yōu)秀，考場中每人做題數(shù)目不全同奇偶問：不及格者與優(yōu)秀者哪個多？(2009北大自主招生試題)12. 證明: 正整數(shù)列是常數(shù)列的充要條件是其滿足性質(zhì)p:對數(shù)列中任意2n項,存在一種方法將這2n項分為兩類(每類n個數(shù))，使得兩類數(shù)之和相等.（2009清華自主招生試題）點評：712題如果沒有競賽基礎(chǔ)，基本無法應(yīng)對.13. 已知（2008北大自主招生試題）14. 已知 ，.(1) 求數(shù)列 的通項公式

7、.(2) 證明：. ( 2011“華約”試題)15. 若正數(shù) 滿足 ，求證：.（南京大學(xué)自主招生試題）16. 設(shè) 為正數(shù)，且 ，求證：（南京大學(xué)自主招生試題）17. 已知 ，.求證：（南京大學(xué)自主招生試題）18. 已知 .求證：.（2007“北約”試題）19. 求所有3項的公差為8的自然數(shù)數(shù)列，滿足各項均為素數(shù). (2009清華大學(xué)自主招生試題)20. 已知六邊形AC1BA1CB1中AC1=AB1,BC1=BA1,CA1=CB1,A+B+C=A1+B1+C1  求證：ABC 面積是六邊形AC1BA1CB1的一半.（2008北大自主招生試題）21. 求證：邊長為1的正五邊形對角線長為（

8、2008北大自主招生試題）.點評：1321題沒有學(xué)過競賽會相當(dāng)費力，認真學(xué)過競賽的同學(xué)每道題搞定不要十分鐘.22. 已知滿足：對實數(shù)有，且，求證恒為零 (2005清華自主招生試題)( 可用以下結(jié)論：若，為一常數(shù)，那么)23. 若存在，使任意（為函數(shù)的定義域），都有，則稱函數(shù)有界問函數(shù)在上是否有界？（2004復(fù)旦自主招生試題）24. 對于集合，稱M為開集，當(dāng)且僅當(dāng) ，使得. 判斷集合與是否為開集，并證明你的結(jié)論. (2007年清華自主招生試題)25定義閉集合S，若，則，(1) 舉一例，真包含于R的無限閉集合(2) 求證對任意兩個閉集合S1,S2R，存在，但（2003復(fù)旦大學(xué)自主招生試題）26. 通信工程中常用n元數(shù)組表示信息，其中或1，設(shè)，表示和中相對應(yīng)的元素不同的個數(shù)（）問存在多少個5元數(shù)組 使得；（）問存在多少個5元數(shù)組 使得；（）令，求證：（2008上海交通大學(xué)自主招生試題）27證明：若f（f（x）有唯一不動點，f（x）也有唯一不動點（2009上海交通大學(xué)自主招生試題）28若函數(shù)形式為為關(guān)于x的多項式，為關(guān)于y的多項式，則稱為P類函數(shù)，判斷下列函數(shù)是否是P類函數(shù)，并說明理由(1) 1+xy；(2) 1+xy+x2y2(2006年上海交通大學(xué)自主招生試題)