(完整word版)常微分方程試題及答案

1、常微分方程模擬試題一、填空題(每小題3分，本題共15分)1一階微分方程的通解的圖像是2維空間上的一族曲線.2.二階線性齊次微分方程的兩個解y1(x), y2(x)為方程的基本解組充分必要條件是方程y"-2y' + y =0的基本解組是一個不可延展解的存在在區(qū)間一定是 方程d= J1 -y2的常數(shù)解是 dx ¥、單項選擇題(每小題3分，本題共15分)6. 方程 尋+y滿足初值問題解存在且唯一定理條件的區(qū)域是( (A)上半平面區(qū)間.5.).(B) xoy平面(C)下半平面(D)除y軸外的全平面7. 方程= Jy +1 ()奇解.dx(A)有一個(C)無(B)有兩個8.

2、f (y)連續(xù)可微是保證方程 d = f (y)解存在且唯一的(dx(A )必要(B)充分9 .二階線性非齊次微分方程的所有解(A )構(gòu)成一個2維線性空間(C)不能構(gòu)成一個線性空間210.方程一=3y3過點(0, 0)有(dx(D )有無數(shù)個)條件.(C) 充分必要).(B)構(gòu)成一個3維線性空間(D) 構(gòu)成一個無限維線性空間(D)必要非充分B ).(A)無數(shù)個解(B)只有一個解(C)只有兩個解三、計算題(每小題6分，本題共 30分)求下列方程的通解或通積分：dy=y In ydxdx W xdy ,5y 中 xydx22xydx +(x - yy =xy'+2(y)(D)只有三個解11

3、.12.13.14.2)dy =0315.四、計算題(每小題10分，本題共20分)16求方程y"5y'=-5x2的通解.17求下列方程組的通解.dx亠1=y +dtsi ntdXIdt五、證明題(每小題10分，本題共20分)18設(shè)f (x)在0, +處)上連續(xù)，且Jmf(x)=0，求證：方程7乎+y=f(x) dx的一切解 y(x)，均有 lim y(x) =0 .19.在方程 y"+ p(x)y'+q(x)y = 0 中，p(x), q(x)在(-=c,+oc)上連續(xù)，求證：若 p(x)恒不為零，則該方程的任一基本解組的朗斯基行列式W(x)是(亠，+處)上

4、的嚴格單調(diào)函數(shù).常微分方程模擬試題參考答案一、填空題(每小題3分，本題共15分)1 . 2_ x x3. e , xe二、單項選擇題6. D7. C2 .線性無關(guān)(或：它們的朗斯基行列式不等于零)4 .開5. y = ±1(每小題3分，本題共15分)8. B 9. C10. A三、計算題(每小題6分，本題共 30分)11.解：y=1為常數(shù)解當(dāng)y H 0，y H1時，分離變量取不定積分，得= Jdx+C'yiny 通積分為in y =CeX注：y=1包含在常數(shù)解中，13.解：（1 分）（3 分）（6 分）當(dāng) c=0時就是常數(shù)解，因此常數(shù)解可以不專門列出。 廣得方程兩端同乘以dy

5、 M =y +x dx-翌=空，代入上式，得dx dx-5 y（1 分）=Z，則-4ydz一 -z4 dx這是一階線形微分方程，對應(yīng)一階線形齊次方程的通解為_4xZ =ce利用常數(shù)變易法可得到一階線形微分方程的通解為Z =Ce4x - X +丄4（3 分）（4 分）（5 分）因此原方程通解為-4-4x. 1y =Ce-x+-4aMcN14.解： 因為 =2x =，所以原方程是全微分方程.cy織?。╔0, y。）=（0, 0），原方程的通積分為xy 2J02xydx - J0 y dy =C（6 分）（2 分）（4 分）計算得15.解:213 QX yy = C3原方程是克萊洛方程，通解為（6

6、分）3y =Cx +2C四、計算題（每小題10分，本題共20分）16.解： 對應(yīng)齊次方程的特征方程為2A -5a = 0，（6 分）（1 分）特征根為人1 = 0 , ）2 5 , 齊次方程的通解為5 xy -G +C2e因為a =0是特征根。所以，設(shè)非齊次方程的特解為2y1 （x x（ Ax +Bx+C）代入原方程，比較系數(shù)確定出A =1，B3（2 分）（4 分）（6 分）原方程的通解為_ 1-5，C=25（9 分）,13+ - x317.解：齊次方程的特征方程為扎1y =C1 +C2e5xJx252+x25（10 分）特征根為=+1 ：= 0（1 分）A = ±i求得特征向量為（

7、2 分）（3 分）因此齊次方程的通解為FLc1 門y-sint令非齊次方程特解為21costsi nt+ C2 怦tLcostJ（4 分）十 C1（t）； + C2（t）fy卜SI ntcost（5 分）C1 （t）,C2 （t）滿足cost-si ntsin tcost解得 cost C1訪C2=1sin tL 0（6 分）（8 分）積分，得0（0 =1 n|sint|，C2（t） =t通解為fx costl十fsincost Iny_ C1-si ntC2 licost|_-si nt l n si nt+t cost”五、證明題（每小題10分，本題共20分）sin t +1 sin t（9 分）（10 分）18.證明設(shè)y = y(x)是方程任一解，滿足 y(Xo ) = yo，該解的表達式為 y r f(s)e(Sdsy(x2”'X（4 分）取極限xim.y（x）=xmeyx0+Jf（s）efX_0,ex。若 f f （s）e（S）ds <處 ，xo =0fWe"xm廠:設(shè)y1(X)，y (x)是方程的基本解組，則對任意亠，+或)上有定義，且 W(x) H0 又由劉維爾公式p(s)dsW(x)=W(X0)e 0，X0j-=c,+呵-f P(s)dsW'(x) =W(X0)e '0 p(x)由于W(X0)H0, P(X)H0，于