電磁場(chǎng)與電磁波課后習(xí)題及答案二章習(xí)題解答

1、二章習(xí)題解答 2.1 一個(gè)平行板真空二極管內(nèi)的電荷體密度為，式中陰極板位于，陽(yáng)極板位于，極間電壓為。如果、橫截面，求：（1）和區(qū)域內(nèi)的總電荷量；（2）和區(qū)域內(nèi)的總電荷量。 解 （1） （2） 2.2 一個(gè)體密度為的質(zhì)子束，通過(guò)的電壓加速后形成等速的質(zhì)子束，質(zhì)子束內(nèi)的電荷均勻分布，束直徑為，束外沒(méi)有電荷分布，試求電流密度和電流。解 質(zhì)子的質(zhì)量、電量。由得 故 2.3 一個(gè)半徑為的球體內(nèi)均勻分布總電荷量為的電荷，球體以勻角速度繞一個(gè)直徑旋轉(zhuǎn)，求球內(nèi)的電流密度。解 以球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，轉(zhuǎn)軸（一直徑）為軸。設(shè)球內(nèi)任一點(diǎn)的位置矢量為，且與軸的夾角為，則點(diǎn)的線速度為球內(nèi)的電荷體密度為故 2.4 一個(gè)半徑為的

2、導(dǎo)體球帶總電荷量為，同樣以勻角速度繞一個(gè)直徑旋轉(zhuǎn)，求球表面的面電流密度。解 以球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，轉(zhuǎn)軸（一直徑）為軸。設(shè)球面上任一點(diǎn)的位置矢量為，且與軸的夾角為，則點(diǎn)的線速度為球面的上電荷面密度為故 2.5 兩點(diǎn)電荷位于軸上處，位于軸上處，求處的電場(chǎng)強(qiáng)度。解 電荷在處產(chǎn)生的電場(chǎng)為電荷在處產(chǎn)生的電場(chǎng)為故處的電場(chǎng)為2.6 一個(gè)半圓環(huán)上均勻分布線電荷，求垂直于圓平面的軸線上處的電場(chǎng)強(qiáng)度，設(shè)半圓環(huán)的半徑也為，如題2.6 圖所示。解 半圓環(huán)上的電荷元在軸線上處的電場(chǎng)強(qiáng)度為 題 2.6圖在半圓環(huán)上對(duì)上式積分，得到軸線上處的電場(chǎng)強(qiáng)度為2.7 三根長(zhǎng)度均為，均勻帶電荷密度分別為、和地線電荷構(gòu)成等邊三角形。設(shè)，計(jì)算

3、三角形中心處的電場(chǎng)強(qiáng)度。解 建立題2.7圖所示的坐標(biāo)系。三角形中心到各邊的距離為題2.7圖則故等邊三角形中心處的電場(chǎng)強(qiáng)度為2.8 點(diǎn)電荷位于處，另點(diǎn)電荷位于處，空間有沒(méi)有電場(chǎng)強(qiáng)度的點(diǎn)？解 電荷在處產(chǎn)生的電場(chǎng)為 電荷在處產(chǎn)生的電場(chǎng)為處的電場(chǎng)則為。令，則有由上式兩端對(duì)應(yīng)分量相等，可得到 當(dāng)或時(shí)，將式或式代入式，得。所以，當(dāng)或時(shí)無(wú)解； 當(dāng)且時(shí)，由式，有解得但不合題意，故僅在處電場(chǎng)強(qiáng)度。29 一個(gè)很薄的無(wú)限大導(dǎo)電帶電面，電荷面密度為。證明：垂直于平面的軸上處的電場(chǎng)強(qiáng)度中，有一半是有平面上半徑為的圓內(nèi)的電荷產(chǎn)生的。解 半徑為、電荷線密度為的帶電細(xì)圓環(huán)在軸上處的電場(chǎng)強(qiáng)度為 題2.10圖故整個(gè)導(dǎo)電帶電面在軸

4、上處的電場(chǎng)強(qiáng)度為而半徑為的圓內(nèi)的電荷產(chǎn)生在軸上處的電場(chǎng)強(qiáng)度為2.10 一個(gè)半徑為的導(dǎo)體球帶電荷量為，當(dāng)球體以均勻角速度繞一個(gè)直徑旋轉(zhuǎn)，如題2.10圖所示。求球心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解 球面上的電荷面密度為當(dāng)球體以均勻角速度繞一個(gè)直徑旋轉(zhuǎn)時(shí)，球面上位置矢量點(diǎn)處的電流面密度為將球面劃分為無(wú)數(shù)個(gè)寬度為的細(xì)圓環(huán)，則球面上任一個(gè)寬度為細(xì)圓環(huán)的電流為 細(xì)圓環(huán)的半徑為，圓環(huán)平面到球心的距離，利用電流圓環(huán)的軸線上的磁場(chǎng)公式，則該細(xì)圓環(huán)電流在球心處產(chǎn)生的磁場(chǎng)為 故整個(gè)球面電流在球心處產(chǎn)生的磁場(chǎng)為 2.11 兩個(gè)半徑為、同軸的相同線圈，各有匝，相互隔開(kāi)距離為，如題2.11圖所示。電流以相同的方向流過(guò)這兩個(gè)線圈。（1）

5、求這兩個(gè)線圈中心點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度；（2）證明：在中點(diǎn)處等于零；（3）求出與之間的關(guān)系，使中點(diǎn)處也等于零。解 （1）由細(xì)圓環(huán)電流在其軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度 得到兩個(gè)線圈中心點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 （2）兩線圈的電流在其軸線上處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 題2.11圖所以 故在中點(diǎn)處，有 （3） 令 ，有 即 故解得 題 2.12圖2.12 一條扁平的直導(dǎo)體帶，寬為，中心線與軸重合，通過(guò)的電流為。證明在第一象限內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 ， 式中、和如題2.12圖所示。解 將導(dǎo)體帶劃分為無(wú)數(shù)個(gè)寬度為的細(xì)條帶，每一細(xì)條帶的電流。由安培環(huán)路定理，可得位于處的細(xì)條帶的電流在點(diǎn)處的磁場(chǎng)為則 所以 2.13 如題2.13圖所示，有一個(gè)電

6、矩為的電偶極子，位于坐標(biāo)原點(diǎn)上，另一個(gè)電矩為的電偶極子，位于矢徑為的某一點(diǎn)上。試證明兩偶極子之間相互作用力為 題 2.13圖式中，是兩個(gè)平面和間的夾角。并問(wèn)兩個(gè)偶極子在怎樣的相對(duì)取向下這個(gè)力值最大？解 電偶極子在矢徑為的點(diǎn)上產(chǎn)生的電場(chǎng)為所以與之間的相互作用能為因?yàn)椋瑒t 又因?yàn)槭莾蓚€(gè)平面和間的夾角，所以有 另一方面，利用矢量恒等式可得因此 于是得到 ()故兩偶極子之間的相互作用力為 ()() 由上式可見(jiàn)，當(dāng)時(shí)，即兩個(gè)偶極子共線時(shí)，相互作用力值最大。2.14 兩平行無(wú)限長(zhǎng)直線電流和，相距為，求每根導(dǎo)線單位長(zhǎng)度受到的安培力。解 無(wú)限長(zhǎng)直線電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)為 直線電流每單位長(zhǎng)度受到的安培力為 式中是由電流指向電流的單位矢量。同理可得，直線電流每單位長(zhǎng)度受到的安培力為 2.15 一根通電流的無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線和一個(gè)通電流的圓環(huán)在同一平面上，圓心與導(dǎo)線的距離為，如題2.15圖所示。證明：兩電流間相互作用的安培力為題2.15圖 這里是圓環(huán)在直線最接近圓環(huán)的點(diǎn)所張的角。解 無(wú)限長(zhǎng)直線電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)為圓環(huán)上的電