講好數(shù)學(xué)故事　教好高等數(shù)學(xué)

1、講好數(shù)學(xué)故事教好高等數(shù)學(xué)                          摘要：在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，應(yīng)該重視對(duì)數(shù)學(xué)故事的講述。通過數(shù)學(xué)故事，幫助學(xué)生樹立辯證唯物主義的世界觀，激發(fā)學(xué)生的愛國(guó)主義熱情，健全學(xué)生人格，吸引學(xué)生興趣，加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)故事；高等數(shù)學(xué)；興趣；創(chuàng)新意識(shí)高等數(shù)學(xué)是高等院校學(xué)生的一門重要基礎(chǔ)課程，它直接

2、影響著學(xué)生許多專業(yè)課程的學(xué)習(xí)，是構(gòu)成大學(xué)生智能結(jié)構(gòu)的重要組成部分。但由于內(nèi)容的抽象性和邏輯性，高等數(shù)學(xué)課堂氣氛總是嚴(yán)肅而沉悶，思維難以活躍，知識(shí)學(xué)習(xí)難以深入，久而久之，學(xué)生容易產(chǎn)生乏味感，特別是一些文科類專業(yè)的學(xué)生，對(duì)它更是有一種畏懼感。我們常常有這樣的回憶：小時(shí)候常常纏著爸爸媽媽講故事，到現(xiàn)在，對(duì)故事中的情節(jié)還念念不忘。奧地利物理學(xué)家弗里希（O.R.Frisch）也說過“科學(xué)家必定有孩童般的好奇心。要成為一個(gè)成功的科學(xué)家，必須保持這種孩提時(shí)的天性”。教師在為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而大傷腦筋的時(shí)候，不妨借助起伏跌宕的數(shù)學(xué)故事來演繹數(shù)學(xué)，調(diào)節(jié)數(shù)學(xué)課堂的氣氛，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，為學(xué)生以后的學(xué)習(xí)和生活打

3、下良好的基礎(chǔ)。引發(fā)學(xué)習(xí)興趣興趣是學(xué)習(xí)最有效的動(dòng)力。孔子說：“知之者，不如好之者；好之者，不如樂之者”。當(dāng)代著名科學(xué)家愛因斯坦也說過：“興趣是最好的老師”。對(duì)于學(xué)生來說，興趣是推動(dòng)學(xué)習(xí)活動(dòng)的內(nèi)在動(dòng)力。學(xué)生一旦對(duì)某一學(xué)科有了濃厚興趣，就會(huì)產(chǎn)生強(qiáng)烈的求知欲望，誘使其主動(dòng)地去學(xué)習(xí)，只有感興趣的東西，才能想方設(shè)法去了解它、掌握它。高等數(shù)學(xué)被人們認(rèn)為是嚴(yán)格的硬性思維活動(dòng)，如果教師在課堂上講述數(shù)學(xué)家的趣聞?shì)W事、數(shù)學(xué)概念的起源和發(fā)展過程、古今數(shù)學(xué)方法的對(duì)比等數(shù)學(xué)故事，就能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，收到“化腐朽為神奇”的功效，讓學(xué)生充分感受到數(shù)學(xué)的魅力，提高學(xué)習(xí)效率。如在無窮級(jí)數(shù)新課的引入中，先講述蠕蟲與橡皮繩的故事

4、：一條蠕蟲在長(zhǎng)為1公里的橡皮繩的一端點(diǎn)上。蠕蟲以每秒1厘米的速度沿橡皮繩勻速向另一端爬行，而橡皮繩以每秒1公里的速度均勻伸長(zhǎng)，如此下去，蠕蟲能否到達(dá)橡皮繩的另一端點(diǎn)?憑直覺，幾乎所有的學(xué)生都認(rèn)為蠕蟲的爬行速度與橡皮繩拉長(zhǎng)的速度差距太大，蠕蟲絕不能爬到另一端。這時(shí)，教師給予適當(dāng)?shù)奶崾荆河捎谙鹌だK是均勻伸長(zhǎng)的，所以蠕蟲隨著拉伸也向前位移。1公里等于100，000厘米，所以在第一秒末，爬行了整個(gè)橡皮繩的1/100000，在第二秒內(nèi)，蠕蟲在2公里長(zhǎng)的橡皮繩上爬行了它的1/200000，在第三秒內(nèi)，它又爬行了3公里長(zhǎng)的橡皮繩的1/300000，所以，在第n秒末，蠕蟲的爬行長(zhǎng)度為1/1000001+(1+

5、1/2+1/3+1/4+1/n)。當(dāng)n充分大時(shí)，這個(gè)數(shù)能否大于1？也就是括號(hào)里的和式能否大于100000呢？停頓一下，告訴學(xué)生，我們可以找到這個(gè)正整數(shù)N，使上述結(jié)果成立。也就是說蠕蟲在第N秒時(shí)已經(jīng)爬到了橡皮繩的另一端點(diǎn)。這時(shí)同學(xué)肯定議論紛紛，因?yàn)檫@個(gè)結(jié)論出乎意料，使人無不驚奇。然后問為什么會(huì)這樣？引入正題：這是因?yàn)闊o窮數(shù)列是一個(gè)發(fā)散數(shù)列，它可以大于任一個(gè)有限的數(shù)值。這樣引出課題，枯燥的數(shù)學(xué)內(nèi)容就變得有趣、生動(dòng)，使學(xué)生樂于接受，變“要學(xué)生學(xué)”為“學(xué)生要學(xué)”，學(xué)生興趣盎然，回味無窮，且印象深刻，難以忘懷，學(xué)習(xí)效率因此而得到了顯著的提高，這樣講效果好得多。加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解數(shù)學(xué)知識(shí)引用了大量的數(shù)學(xué)

6、語言，這使得數(shù)學(xué)知識(shí)理解起來相對(duì)困難。在數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)講述數(shù)學(xué)故事還可以幫助學(xué)生克服學(xué)習(xí)中的畏難情緒、加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。如極限是高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)的方法，極限的概念是高等數(shù)學(xué)中許多概念的基礎(chǔ)，但是極限的定義卻是擺在所有學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的學(xué)子面前的一道難題。在講極限的時(shí)候不妨講述芝諾“阿基里斯和烏龜賽跑”的故事：烏龜和阿基里斯賽跑，烏龜提前跑了一段，不妨設(shè)為100米，而阿基里斯的速度比烏龜快得多，假設(shè)他的速度為烏龜?shù)?0倍，這樣當(dāng)阿基里斯跑了100米到烏龜?shù)某霭l(fā)點(diǎn)時(shí)，烏龜向前跑了10米；當(dāng)阿基里斯再追了這10米時(shí)，烏龜又向前跑了1米，如此繼續(xù)下去，因?yàn)樽汾s者必須首先到達(dá)被追趕者的原來位置，所以被追趕

7、者總是在追趕者的前面，由此得出阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜。這顯然與生活中的實(shí)際情況不相符合。古希臘人之所以被這個(gè)問題困惑了兩千多年，主要是他們將運(yùn)動(dòng)中的“無限過程”與“無限時(shí)間”混為一談。因?yàn)橐粋€(gè)無限過程固然需要無限個(gè)時(shí)間段，但這無限個(gè)時(shí)間段的總和卻可以是一個(gè)“有限值”。這個(gè)問題說明了古希臘人已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了“無窮小量”與“很小的量”這兩概念間的矛盾。這個(gè)矛盾只有在人們掌握了極限知識(shí)之后，才能真正地了解。通過講述極限理論建立過程的故事，使學(xué)生對(duì)極限定義的產(chǎn)生過程有清楚的了解，同時(shí)也認(rèn)識(shí)到極限理論對(duì)于微積分的重要性，從而加深了對(duì)極限概念的理解。激發(fā)愛國(guó)主義熱情在講述函數(shù)極限時(shí)，可以向?qū)W生介紹我國(guó)莊子天下篇

8、中“一尺之捶,日取其半,萬世不竭”的記載和三國(guó)時(shí)期著名的數(shù)學(xué)家劉微的“割圓求周”(簡(jiǎn)稱割圓術(shù))對(duì)極限概念的貢獻(xiàn)的故事；在介紹定積分定義時(shí)，向?qū)W生講我國(guó)隋代建造的跨度達(dá)37米的大石橋趙州橋，它是用一條條長(zhǎng)方形條石砌成，一段段直的條石卻砌成了一整條弧形曲線的拱圈，這也就是微積分中“以直代曲”(“以常代變”)基本思想的生動(dòng)原型；講授線性代數(shù)線性方程組的求解問題時(shí)，向?qū)W生介紹中國(guó)古代九章算術(shù)的歷史成就，它在世界上最早提出線性方程組的概念并系統(tǒng)總結(jié)了一次方程的解法，實(shí)際上為在線性代數(shù)中用矩陣的初等變換法提供了雛形等。還有我國(guó)近代數(shù)學(xué)家華羅庚、陳景潤(rùn)等人的故事等等。由此可以看到，我們的祖國(guó)是一個(gè)歷史悠久的

9、文明古國(guó)，我們中華民族是一個(gè)對(duì)世界文明的發(fā)展做出許多貢獻(xiàn)的偉大民族。我國(guó)在數(shù)學(xué)方面所取得的輝煌業(yè)績(jī)，必將彪炳千秋，從而激勵(lì)學(xué)生做一個(gè)德才兼?zhèn)洹?duì)國(guó)家、對(duì)人民有用的人。樹立辯證唯物主義的世界觀在數(shù)學(xué)的發(fā)生與發(fā)展的過程中，概念的形成和演變，重要思想方法諸如函數(shù)、微積分、公理化、悖論等數(shù)學(xué)思想的確立與發(fā)展或重大理論的創(chuàng)立與沿革等，無不體現(xiàn)唯物辯證法的核心思想：發(fā)展、運(yùn)動(dòng)與變化，對(duì)立與統(tǒng)一。因此講好數(shù)學(xué)故事有利于學(xué)生形成科學(xué)的辯證觀、唯物觀，接受辯證唯物主義思想的教育。如在無窮小量的教學(xué)中，可以講述“數(shù)學(xué)的第二次危機(jī)”的故事：隨著牛頓萊布尼茨微積分的誕生，一方面給傳統(tǒng)數(shù)學(xué)方法帶來巨大的變革，另一方面也

10、給傳統(tǒng)數(shù)學(xué)帶來無法理解的概念與方法，突出表現(xiàn)在對(duì)“無窮小”概念的理解。1734年，英國(guó)哲學(xué)家、大主教貝克萊發(fā)表分析學(xué)家或者向一個(gè)不信正教數(shù)學(xué)家的進(jìn)言，矛頭指向微積分的基礎(chǔ)無窮小的問題，提出了所謂貝克萊悖論。他指出：牛頓在求得導(dǎo)數(shù)時(shí)，采取了先給x以增量，應(yīng)用二項(xiàng)式，從中減去以求得增量，并除以以求出的增量與x的增量之比，然后又讓消逝，這樣得出增量的最終比。這里牛頓做了違反矛盾律的手續(xù)先設(shè)x有增量，又令增量為零，也即假設(shè)x沒有增量。他認(rèn)為無窮小dx既等于零又不等于零，召之即來，揮之即去，這是荒謬，“dx為逝去量的靈魂”。這就是貝克萊悖論，微積分由此而變得“神秘”。無窮小量究竟是不是零？無窮小及其分析

11、是否合理？這個(gè)問題引發(fā)了數(shù)學(xué)的第二次危機(jī)，直到一個(gè)半世紀(jì)以后，柯西把無窮小定義為一個(gè)以零為極限的變量才解決。對(duì)這個(gè)悖論的解釋歸根結(jié)底是人們對(duì)變量及有限、無限的認(rèn)識(shí)缺陷，這樣通過數(shù)學(xué)故事的講述，辯證唯物主義的思想直接深入到學(xué)生的頭腦中。 健全人格“書山有路勤為徑，學(xué)海無涯苦作舟”。任何一門知識(shí)的掌握，方法的獲得都必須通過艱苦的努力。如今，我國(guó)大學(xué)生大部分為獨(dú)生子女，在父母的寵愛下，吃苦能力大大降低，刻苦鉆研，積極進(jìn)取的思想也少了。數(shù)學(xué)理論是數(shù)學(xué)家們經(jīng)過幾百萬年艱苦卓絕的工作，幾乎是付出了全部的心血乃至整個(gè)生命才發(fā)展至今，在教學(xué)中結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，適當(dāng)給學(xué)生介紹些數(shù)學(xué)家艱苦創(chuàng)業(yè)的故事能幫助學(xué)生樹立正確

12、的人生觀、價(jià)值觀，健全學(xué)生人格。如講授歐拉公式時(shí)，可以穿插歐拉的感人事跡：歐拉是有史以來最著名的四大數(shù)學(xué)家之一，他一生共寫了886篇論文和專著，其中400篇左右的論文和積分運(yùn)動(dòng)原理等經(jīng)典名著是他在失明后的17年中完成的，用這個(gè)生動(dòng)的實(shí)例說明“天才就是勤奮”的道理；講述無窮級(jí)數(shù)一章中，穿插阿基米德為他的幾何研究付出了寶貴的生命的故事：公元前212年，阿基米德的家鄉(xiāng)敘拉古被羅馬人攻陷。當(dāng)時(shí)，阿基米德仍在專心致志地研究一個(gè)幾何問題，絲毫不知死神的臨近。當(dāng)一個(gè)羅馬士兵走近他時(shí)，阿基米德讓他走開，不要踩壞了他的圖形，羅馬士兵殘忍地用刺刀殺害了他；講“柯西中值定理”時(shí)，介紹柯西的故事；講“拉格朗日中值定理

13、”時(shí)，介紹拉格朗日的故事；通過介紹這些偉大數(shù)學(xué)家生平事跡及他們對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)，不僅使學(xué)生了解了數(shù)學(xué)家的情況，更主要的是數(shù)學(xué)家艱苦創(chuàng)業(yè)、獻(xiàn)身數(shù)學(xué)研究的光輝事跡，可以給學(xué)生以啟迪：每一種數(shù)學(xué)方法的提出、數(shù)學(xué)定理的證明都凝聚著數(shù)學(xué)家們多少辛勤的勞動(dòng)，多少心血的付出，從而激勵(lì)學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)及未來工作中刻苦鉆研，敢于開拓，勇于進(jìn)取。培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)創(chuàng)新教育是全面實(shí)施素質(zhì)教育的重要組成部分。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，已成為當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)最緊迫的問題。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)方式往往是“數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)”，教師只介紹數(shù)學(xué)研究的結(jié)果，課堂講的是定義、定理證明、公式、法則及例題，歷史上許許多多精彩的思想方法被排斥于我

14、們的教材和教學(xué)之外。學(xué)生常常誤認(rèn)為數(shù)學(xué)知識(shí)都是靠邏輯推理出來的。這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)只會(huì)往學(xué)生頭腦里裝知識(shí)，學(xué)生對(duì)知識(shí)“只知其然，不知其所以然”。對(duì)于學(xué)生來說，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅意味著掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，形成數(shù)學(xué)技能，而且是在教師引導(dǎo)和幫助下的一種“再創(chuàng)造”的過程。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，要逐步實(shí)現(xiàn)由傳授知識(shí)的教學(xué)觀向培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，主動(dòng)思考轉(zhuǎn)變。德國(guó)數(shù)學(xué)家與教育家F·克萊因（F·Klein）認(rèn)為：學(xué)生在課堂上遇到的困難，在歷史上一定也被數(shù)學(xué)家所遇到。在數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，教師除了講授定義、定理證明、公式、法則及例題外，還應(yīng)講述這些理論是如何被發(fā)現(xiàn)的，也就是說不光要講創(chuàng)造的結(jié)果更要講創(chuàng)造的過程，這樣可以

15、幫助學(xué)生了解教科書中所沒有的數(shù)學(xué)創(chuàng)造的真實(shí)過程，拓寬學(xué)生的視野，對(duì)學(xué)生創(chuàng)新興趣的引導(dǎo)，創(chuàng)新潛能的開發(fā)，創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)以及創(chuàng)新能力的提高起到積極的促進(jìn)作用。例如，在講定積分時(shí)，可以講述“萊布尼茨與牛頓的故事”：萊布尼茨與英國(guó)數(shù)學(xué)家、大物理學(xué)家牛頓分別獨(dú)立地創(chuàng)立了微積分學(xué)，牛頓建立微積分學(xué)主要是從物理學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)的觀點(diǎn)出發(fā)，而萊布尼茨則從哲學(xué)、幾何學(xué)的角度去考慮。今天的積分號(hào)、微分號(hào)d都是萊布尼茨首先使用的。這樣將數(shù)學(xué)故事穿插在教學(xué)中，不僅使教材內(nèi)容更加生動(dòng)，而且也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神的好方法。因?yàn)橥ㄟ^教師對(duì)鮮活過程的敘述與分析，學(xué)生從中領(lǐng)悟到抽象的創(chuàng)造性思維的形成及不斷向前推進(jìn)的過程是怎樣的情形，怎樣進(jìn)行創(chuàng)造性思維。學(xué)生從中可以學(xué)到數(shù)學(xué)發(fā)明創(chuàng)造的經(jīng)驗(yàn)和方法。這正如波利亞所說:“數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)是一種技巧，發(fā)現(xiàn)的能力可以通過靈活的教學(xué)加以培養(yǎng)，從而使學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)的原則并付諸實(shí)踐。”總之，我們?cè)诟叩葦?shù)學(xué)教學(xué)過程中，應(yīng)該結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容，適當(dāng)講述一些數(shù)學(xué)故事。通過數(shù)學(xué)故事，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的美感、價(jià)值及意義，引發(fā)學(xué)生興趣；改變數(shù)學(xué)課枯燥乏味的形象，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的無窮魅力，加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解；講述我國(guó)在數(shù)學(xué)方面的成就，激發(fā)學(xué)生的愛國(guó)主義熱情；讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)思想的確立與發(fā)展的過程，樹立學(xué)生辯