截面的靜矩和形心位置及慣性矩的計算

1、oyz-1 截面的靜矩和形心位置截面的靜矩和形心位置一、一、 定義定義dA yz截面對截面對 z , y 軸的靜矩為軸的靜矩為：AzydASAyzdAS靜矩可正，可負，也可能等于零靜矩可正，可負，也可能等于零。yzo dA yz 截面的形心截面的形心 C 的坐標的坐標 公式為：公式為：zycAAydAySzAAAzdAzSyA截面對形心軸的靜矩等于零。截面對形心軸的靜矩等于零。若截面對某一軸的靜矩等于零，則該軸必過形心。若截面對某一軸的靜矩等于零，則該軸必過形心。yASzzASy 二二 、 組合截面組合截面截面各組成部分對于某一軸的靜矩之代數(shù)和，就等于該截截面各組成部分對于某一軸的靜矩之代數(shù)和

2、，就等于該截面對于同一軸的靜矩。面對于同一軸的靜矩。 由幾個簡單圖形組成的截面稱為組合截面由幾個簡單圖形組成的截面稱為組合截面其中：其中： Ai 第第 i 個簡單截面面積個簡單截面面積 第第 i個簡單截面的形心坐標個簡單截面的形心坐標),(zyii組合截面靜矩的計算公式為組合截面靜矩的計算公式為yASiniiz1niiiyzAS1 計算組合截面形心坐標的公式如下：計算組合截面形心坐標的公式如下：niiniiiAyAy11niiniiiAzAz111010120o80 取取 x 軸和軸和 y 軸分別與截面軸分別與截面的底邊和左邊緣重合的底邊和左邊緣重合解：將截面分為解：將截面分為 1，2 兩個矩

3、形。兩個矩形。12x1y1x2y2yxAAxAxAAxAxniiniii21221111 AAyAyAy212211 例例 1-1 試確定圖示截面心試確定圖示截面心 C 的位置的位置。1010120o8012x1y1x2y2yx矩形矩形 1mmA21120012010 mmx51 mmy601 矩形矩形 2mmA227007010 mmx45270102 mmy52 所以所以4 40 0m mm m1 19 90 00 07 75 55 50 00 0A AA Ay yA Ay yA Ay y2 20 0m mm m1 19 90 00 03 37 75 50 00 0A AA Ax xA A

4、x xA Ax x2 21 12 22 21 11 12 21 12 22 21 11 11010120o8012x1y1x2y2yx),(xyC -2 極慣性矩極慣性矩 慣性矩慣性矩 慣性積慣性積 yz0dAyz 截面對截面對 o 點的極慣性矩為點的極慣性矩為定義：定義：dAdA2 2I IA Ap pd dA A2 2d dA A2 2z zy yA AA AI II Iz zy 截面對截面對 y ,z 軸的慣性矩分別為軸的慣性矩分別為因為因為2 2z z2 2y y2 2Ip = Ix + Iy所以所以 xy0dAxy dAdA2 2I IA Ap px xy yd dA AI IA A

5、x xy y截面對截面對 x , y 軸的慣性積為軸的慣性積為xydxdxydAA AI Ii i, ,A AI Ii ix xx xy yy y截面對截面對 x , y 軸的慣性半俓為軸的慣性半俓為例例 2 _ 1 求矩形截面對其對稱軸求矩形截面對其對稱軸 x , y 軸的慣性矩。軸的慣性矩。 dA = b dy解解：bhxyCydy1232222bhdybydAyIhhAx dAyIAx 2123hbIy 例例 2 - 2 求圓形截面對其對稱軸的慣性矩求圓形截面對其對稱軸的慣性矩 。解：因為截面對其圓心解：因為截面對其圓心 O 的的極慣性矩為極慣性矩為 yxd所以所以644dIIyx 32

6、4dI IIIyx IIyx xyoC(a,b)ba一一、 平行移軸公式平行移軸公式xc , yc 過截面的形心過截面的形心 c 且與且與 x , y 軸平軸平 行的坐行的坐 標軸（形心軸）標軸（形心軸） （a , b ) _ 形心形心 c 在在 xoy 坐標系下的坐標系下的 坐標。坐標。 -3 慣性矩和慣性積的平行移軸公式慣性矩和慣性積的平行移軸公式 組合截面的慣性矩和慣性積組合截面的慣性矩和慣性積ycxcx , y 任意一對坐標軸任意一對坐標軸C 截面形心截面形心 Ixc ,Iyc , Ixc yc 截面對形心軸截面對形心軸 xc , yc 的慣性矩和慣性積。的慣性矩和慣性積。 Ix ,

7、Iy , Ixy _ 截面對截面對 x , y 軸的慣性矩和慣性積。軸的慣性矩和慣性積。 xyoC(a,b)baycxc則平行移軸公式為則平行移軸公式為AaIIxcx2 AbIIycy2 abAIIyxccxy 二、二、組合截面的慣性矩組合截面的慣性矩 慣性積慣性積 Ixi , Iyi , 第第 i個簡單截面對個簡單截面對 x ,y 軸的慣性矩軸的慣性矩、 慣性積。慣性積。Ixyi組合截面的慣性矩，慣性積組合截面的慣性矩，慣性積 n1iyiyII nixyixyII1 n1ixixII例例 3 -1 求梯形截面對其形心軸求梯形截面對其形心軸 yc 的慣性矩的慣性矩。解：將截面分成兩個矩形截面。

8、解：將截面分成兩個矩形截面。2014010020zcycy12截面的形心必在對稱軸截面的形心必在對稱軸 zc 上。上。取過矩形取過矩形 2 的形心且平行的形心且平行記作記作 y 軸軸 。于底邊的軸作為參考軸，于底邊的軸作為參考軸，所以截面的形心坐標為所以截面的形心坐標為140201 A801 Z201002 A02 Z2014010020zcycy12mmAAZAZAZC746212211. ZC2014010020y12ZCzcyc).(746801402014020121231 IyC).(7462010020100121232 IyCmIIIyCyCyC4621101212 .一一、 轉

9、軸公式轉軸公式 順時針轉取為順時針轉取為 號號 -4 慣性矩和慣性積的轉軸公式慣性矩和慣性積的轉軸公式 截面的主慣性軸和主慣性矩截面的主慣性軸和主慣性矩xoy 為過截面上的任為過截面上的任 點建立的坐標系點建立的坐標系 x1oy1 為為 xoy 轉過轉過 角后形成的新坐標系角后形成的新坐標系oxyx1y1 逆時針轉取為逆時針轉取為 + 號，號，顯然顯然y yx xy yx xI II II II I1 11 1 2sin2cos221xyyxyxxIIIIII IIIIIIxyyxyxy2sin2cos221 IIIIxyyxyx2cos2sin211 上式稱為轉軸公式上式稱為轉軸公式oxyx

10、1y1 二二 、 截面的主慣性軸和主慣性矩截面的主慣性軸和主慣性矩 主慣性軸主慣性軸 總可以找到一個特定的角總可以找到一個特定的角 0 , 使截面對新坐標使截面對新坐標 軸軸 x0 , y0 的慣性積等于的慣性積等于 0 , 則稱則稱 x0 , y0 為主慣軸。為主慣軸。主慣性矩主慣性矩截面對主慣性軸的慣性矩。截面對主慣性軸的慣性矩。IIIIxyyxyx2cos2sin211 形心主慣性軸形心主慣性軸 當一對主慣性軸的交點與截面的形心當一對主慣性軸的交點與截面的形心 重合時，則稱為形心主慣性軸。重合時，則稱為形心主慣性軸。形心主慣性矩形心主慣性矩 截面對形心主慣性軸的慣性矩。截面對形心主慣性軸

11、的慣性矩。由此由此 主慣性軸的位置：設主慣性軸的位置：設 為主慣性軸與原坐標軸為主慣性軸與原坐標軸 之間的夾角，之間的夾角， 則有則有yx0II2tg x xy y2 2I I 02cos2sin200 xyyxIII 2 22 2x xy yy yx xy yx xy yx x4 4I II II I2 21 12 2I II II II I0 00 0 過截面上的任一點可以作無數(shù)對坐標軸，其中必有過截面上的任一點可以作無數(shù)對坐標軸，其中必有 一對是主慣性軸。截面的主慣性矩是所有慣性矩中一對是主慣性軸。截面的主慣性矩是所有慣性矩中 的極值。即：的極值。即：Imax = Ix0 , Imin

12、= Iy0 主慣性矩的計算公式主慣性矩的計算公式截面的對稱軸一定是形心主慣性軸。截面的對稱軸一定是形心主慣性軸。 確定形心確定形心 的位置的位置 AyAyAxAxiiiiii, 選擇一對通過形心且便于計算慣性矩（積）的坐選擇一對通過形心且便于計算慣性矩（積）的坐 標軸標軸 x ，y, 計算計算 Ix , Iy , Ixy求形心主慣性矩的步驟求形心主慣性矩的步驟IIxixIIyiyIIxyixy 確定主慣性軸的位置確定主慣性軸的位置)2(021IIItyxxyg 計算形心主慣性矩計算形心主慣性矩IIIIIIIxyyxyxyx2214)(2200 y 20 c10101207080例例 4-1 計算所示圖形的形心主慣性矩。計算所示圖形的形心主慣性矩。解：該圖形形心解：該圖形形心 c 的位置已確定的位置已確定, 如圖所示。如圖所示。 過形心過形心 c 選一對座標軸選一對座標軸 X , y 軸，軸， 計算其慣性矩（積）。計算其慣性矩（積）。 xymmIx442323104.1001070)25(1070121101201510120121 y 20 c10101207080 xymmIy44104278 . mmxyI44103 .971070)35()25(010120201