Ch5常微分方程的數(shù)值解法Word版

1、Ch5. 常微分方程數(shù)值解法1. 引言1. 問題的提出假設一階微分方程初值問題中的關于滿足Lipschitz條件，即存在常數(shù)，使得，則由常微分方程理論知，初值問題有唯一解。除了一些特殊類型的方程外，許多微分方程都沒有解析解。2. 數(shù)值解法的基本思想離散化計算解在離散點上值的近似值，。3. 幾個基本概念(1) 單步法與多步法若計算時只用到，則稱這種方法為單步法，如；若計算時需用到，則稱這種方法為多步法。(2) 顯式與隱式若可以直接用表示，則稱此計算公式為顯式，否則稱之為隱式。2. Euler方法1. Euler公式將在上積分，得，用數(shù)值積分法求。(1) ，得。 Euler公式(2) ，得。 后退

2、的Euler公式(3) ，得。 梯形公式（隱式）2 / 92. 改進的Euler公式Euler公式計算簡便，但精度差，梯形公式為隱式，計算較復雜，但精度較高，可將兩者結合。，稱為改進的Euler公式，上式也可寫為。例1 用Euler公式和改進的Euler公式求解初值問題。解 (貝努里方程，)，。由，得，從而。Euler公式：。改進的Euler公式：。x0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0Euler1.1001.1921.2771.3581.4351.5091.5801.6501.7171.785Euler改1.0961.1841.2661.3431.4161.4861.

3、5531.6161.6781.738準確1.0951.1831.2651.3421.4141.4831.5491.6121.6731.7323. Runge-Kutta方法1. Taylor級數(shù)方法與階對，有Taylor級數(shù)，將此級數(shù)截斷，并用代替，得階Taylor公式。顯然截斷誤差為。定義 若某方法的截斷誤差為，則稱此方法精度為階。2. Runge-Kutta方法基本思想， 平均斜率。(1) 取，即為Euler公式；(2) 取，即為后退的Euler公式；(3) 取，即為梯形公式。借用Taylor級數(shù)法的思想，將中的(平均斜率)表示為在若干點處值的線性組合，通過選擇組合系數(shù)使公式達到一定的階。

4、3. 二階Runge-Kutta方法選為在某兩點處值的線性組合，即，其中 ，待定。將代入，得。將上式與二階Taylor公式對比，得（*）。根據(jù)Euler公式， ，代入得，其中滿足（*）式，稱之為二階Runge-Kutta公式。特別地，當時， 改進的Euler公式。4. 四階Runge-Kutta方法三階Runge-Kutta方法較少使用，仿二階Runge-Kutta方法，可得四階Runge-Kutta公式。經(jīng)典的四階Runge-Kutta公式為。特點 單步、自開始；精度高，誤差為，四階；數(shù)值穩(wěn)定；要計算四次函數(shù)值；對解的光滑性要求高。例2 用經(jīng)典的四階R-K公式求解初值問題。Euler公式計算

5、結果改進的Euler公式計算結果四階Runge-Kutta公式計算結果4. 單步法的收斂性與穩(wěn)定性1. 收斂性定義1 若某數(shù)值解法對固定的，當時（此時）， ，則稱此方法收斂。例3 對典型方程考察Euler方法的收斂性。解 Euler公式為。，而，即，故收斂。例4 用梯形方法解初值問題，證明其近似解為，并考察它的收斂性。解 顯然，初值問題的解為。，故方法收斂。定理 若數(shù)值方法中的關于滿足Lipschitz條件，則該方法收斂。2. 穩(wěn)定性定義2 若某方法在節(jié)點值上有大小為的攝動，而其后各節(jié)點上的誤差均不超過，則稱此方法是穩(wěn)定的。例5 對方程考察Euler公式和后退的Euler公式的穩(wěn)定性。解 對應的Euler公式為。若在上有攝動值，而它使產(chǎn)生的攝動值為，則 。顯然，即時，Euler公式穩(wěn)定，稱之為條件穩(wěn)定。后退的