學(xué)而思高中題庫(kù)排列與組合版塊六排列組合問(wèn)題的常見(jiàn)模型學(xué)生版

1、排列組合問(wèn)題的常見(jiàn)模型2"W蚱 知識(shí)內(nèi)容1 .基本計(jì)數(shù)原理加法原理分類(lèi)計(jì)數(shù)原理：做一件事，完成它有 n類(lèi)辦法，在第一類(lèi)辦法中有 m界1不同的方法，在第 二類(lèi)辦法中有m2種方法，在第n類(lèi)辦法中有mn種不同的方法.那么完成這件事共有 N m1m2 L mn種不同的方法.又稱(chēng)加法原理.乘法原理分步計(jì)數(shù)原理：做一件事，完成它需要分成n個(gè)子步驟，做第一個(gè)步驟有 mi種不同的方法,做第二個(gè)步驟有 m2種不同方法，做第n個(gè)步驟有mn種不同的方法.那么完成這件事 共有N mi m2 L mn種不同的方法.又稱(chēng)乘法原理.加法原理與乘法原理的綜合運(yùn)用如果完成一件事的各種方法是相互獨(dú)立的，那么計(jì)算完成這件

2、事的方法數(shù)時(shí)，使用分類(lèi) 計(jì)數(shù)原理.如果完成一件事的各個(gè)步驟是相互聯(lián)系的，即各個(gè)步驟都必須完成，這件事 才告完成，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時(shí)，使用分步計(jì)數(shù)原理.分類(lèi)計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)數(shù)原理是推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)公式的理論基礎(chǔ)，也是求解排列、 組合問(wèn)題的基本思想方法，這兩個(gè)原理十分重要必須認(rèn)真學(xué)好，并正確地靈活加以應(yīng)用.2 .排列與組合排列：一般地，從n個(gè)不同的元素中任取 m(mwn)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列， 叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.(其中被取的對(duì)象叫做元素)排列數(shù)：從n個(gè)不同的元素中取出 m(m w n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從 n個(gè)不同 元素中取出m個(gè)元素的排列

3、數(shù)，用符號(hào) A：表示.排列數(shù)公式： Am n(n 1)(n 2)L (n m 1) , m, n N ,并且 m< n .全排列：一般地，n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫做n個(gè)不同元素的一個(gè)全排列.n的階乘：正整數(shù)由1到n的連乘積，叫作n的階乘，用n!表示.規(guī)定：0! 1 .組合：一般地，從n個(gè)不同元素中，任意取出 m (mw n)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)元素中任取m個(gè)元素的一個(gè)組合.組合數(shù)：從n個(gè)不同元素中，任意取出m (m < n)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中，任意取出 m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào) c：表示.組合數(shù)公式：n(n 1)(n 2)L (n m 1)

4、n!, m,n N ,并且m< n .m!m!(n m)!組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：性質(zhì)1： cmcnm；性質(zhì)2：c，cmcm1.（規(guī)定co1）排列組合綜合問(wèn)題解排列組合問(wèn)題，首先要用好兩個(gè)計(jì)數(shù)原理和排列組合的定義，即首先弄清是分類(lèi)還是分步，是排列還是組合，同時(shí)要掌握一些常見(jiàn)類(lèi)型的排列組合問(wèn)題的解法：1 .特殊元素、特殊位置優(yōu)先法元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置；2 .分類(lèi)分步法：對(duì)于較復(fù)雜的排列組合問(wèn)題，常需要分類(lèi)討論或分步計(jì)算，一定要做 到分類(lèi)明確，層次清楚，不重不漏.3 .排除法，從總體中排除不符合條件的方法

5、數(shù)，這是一種間接解題的方法.4 .捆綁法：某些元素必相鄰的排列，可以先將相鄰的元素捆成一個(gè)”元素，與其它元素進(jìn)行排列，然后再給那 幺捆元素”內(nèi)部排列.5 .插空法：某些元素不相鄰的排列，可以先排其它元素，再讓不相鄰的元素插空.6 .插板法：n個(gè)相同元素，分成 m（mwn）組，每組至少一個(gè)的分組問(wèn)題 把n個(gè)元 素排成一排，從n 1個(gè)空中選m 1個(gè)空，各插一個(gè)隔板，有 cnm11 .7 .分組、分配法：分組問(wèn)題（分成幾堆，無(wú)序）.有等分、不等分、部分等分之別.一 般地平均分成n堆（組），必須除以n!,如果有m堆（組）元素個(gè)數(shù)相等，必須除以m !8 .錯(cuò)位法：編號(hào)為1至n的n個(gè)小球放入編號(hào)為1到n的

6、n個(gè)盒子里，每個(gè)盒子放一個(gè) 小球，要求小球與盒子的編號(hào)都不同，這種排列稱(chēng)為錯(cuò)位排列，特別當(dāng) n 2, 3, 4, 5 時(shí)的錯(cuò)位數(shù)各為1,2, 9, 44.關(guān)于5、6、7個(gè)元素的錯(cuò)位排列的計(jì)算，可以用剔除法 轉(zhuǎn)化為2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)元素的錯(cuò)位排列的問(wèn)題.1 .排列與組合應(yīng)用題，主要考查有附加條件的應(yīng)用問(wèn)題，解決此類(lèi)問(wèn)題通常有三種途 徑：元素分析法：以元素為主，應(yīng)先滿(mǎn)足特殊元素的要求，再考慮其他元素；位置分析法：以位置為主考慮，即先滿(mǎn)足特殊位置的要求，再考慮其他位置；間接法：先不考慮附加條件，計(jì)算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)或組 合數(shù).求解時(shí)應(yīng)注意先把具體問(wèn)題轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為排列或組合問(wèn)題；

7、再通過(guò)分析確定運(yùn)用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理還是分步計(jì)數(shù)原理；然后分析題目條件，避免 選取”時(shí)重復(fù)和遺漏；最后列出式 子計(jì)算作答.2 .具體的解題策略有：對(duì)特殊元素進(jìn)行優(yōu)先安排；理解題意后進(jìn)行合理和準(zhǔn)確分類(lèi)，分類(lèi)后要驗(yàn)證是否不重不漏；對(duì)于抽出部分元素進(jìn)行排列的問(wèn)題一般是先選后排，以防出現(xiàn)重復(fù)；對(duì)于元素相鄰的條件，采取捆綁法；對(duì)于元素間隔排列的問(wèn)題， 采取插空法或隔板法； 順序固定的問(wèn)題用除法處理；分幾排的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為直排問(wèn)題處理；對(duì)于正面考慮太復(fù)雜的問(wèn)題，可以考慮反面.對(duì)于一些排列數(shù)與組合數(shù)的問(wèn)題，需要構(gòu)造模型.自Ud舊典例分析分堆問(wèn)題【例1】6本不同的書(shū)，按照以下要求處理，各有幾種分法?(1) 一堆一本

8、，一堆兩本，一堆三本； 甲得一本，乙得兩本，丙得三本；一人得一本，一人得二本，一人得三本；(4)平均分給甲、乙、丙三人；平均分成三堆.【例2】有6本不同的書(shū)甲、乙、丙3人每人2本，有多少種不同的分法？分成3堆，每堆2本，有多少種不同的分堆方法？分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種不同的分堆方法？分給甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少不同的分配 方法？分給甲1本、乙1本、丙4本，有多少種不同的分配方法？分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少種不同的分堆方法？擺在3層書(shū)架上，每層2本，有多少種不同的擺法？【例3】 七個(gè)人參加義務(wù)勞動(dòng)，按下列方法分組有多少種不同的分

9、法?選出5個(gè)人再分成兩組，一組 2人，另一組3人；選出6個(gè)人，分成兩組，每組都是 3人；選出2人一組、3人一組，輪流挖土、運(yùn)土.【例4】 將4名大學(xué)生分配到 3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官，每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分 配方案有 種（用數(shù)字作答）.【例5】 把一同排6張座位編號(hào)為1,2,3,4,5,6的電影票全部分給 4個(gè)人，每人至少分1張，至多分2張，且這兩張票具有連續(xù)的編號(hào)，那么不同的分法種數(shù)是（）A. 168B. 96C. 72 D. 144【例6】 現(xiàn)有3輛公交車(chē)、3位司機(jī)和3位售票員，每輛車(chē)上需配 1位司機(jī)和1位售票員, 問(wèn)車(chē)輛、司機(jī)、售票員搭配方案一共有多少種？【例7】3名醫(yī)生和6名護(hù)士被分配到

10、 3所學(xué)校為學(xué)生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)士, 不同的分配方法共有（）A. 90 種B. 180 種C. 270 種 D. 540 種例8將5名志愿者分配到3個(gè)不同的奧運(yùn)場(chǎng)館參加接待工作，每個(gè)場(chǎng)館至少分配一名志愿者的方案種數(shù)為（）D. 150A. 540B. 300C. 180【例9】某校安排5個(gè)班到4個(gè)工廠(chǎng)進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，每個(gè)班去一個(gè)工廠(chǎng)，每個(gè)工廠(chǎng)至少安排一個(gè)班，不同的安排方法共有 種.（用數(shù)字作答）染色問(wèn)題【例10如圖，正五邊形 ABCDE中，若把頂點(diǎn) A、B、C、D、E染上紅、黃、綠三種顏色中 的一種，使得相鄰頂點(diǎn)所染顏色不相同，則不同的染色方法有（）A. 30 種B. 27 種C.

11、24 種 D. 21 種【例11】將1,2, 3填入3 3的方格中，要求每行、每列都沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，右面是一種填法, 則不同的填寫(xiě)方法共有 .【例12】將1, 2, 3填入3 3的方格中，要求每行、每列都沒(méi)有重復(fù)數(shù)字， 下面是一種填法,)C. 24 種D. 48 種123312231則不同的填寫(xiě)方法共有（A. 6 種B. 12 種【例13】用紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色給圖中的 A、B、C、D四個(gè)小方格涂色（允許只用其中幾種），使鄰區(qū)（有公共邊的小格）不同色，則不同的涂色方式種數(shù)為（ ）.A. 24B. 36C. 72D. 84【例14】將2個(gè)a和2個(gè)b共4個(gè)字母填在如圖所示的16個(gè)小方格內(nèi)，每個(gè)小方

12、格內(nèi)至多填1個(gè)字母，若使相同字母既不同行也不同列，則不同的填法共有 種（用數(shù)字作答）.【例15如圖所示A、B、C、D、E為5個(gè)區(qū)域，現(xiàn)備有5種顏色為5個(gè)區(qū)域涂色, 涂色要求：每相鄰兩個(gè)區(qū)域不同色，每個(gè)區(qū)域只涂一色，共有多少種不同的涂【例16如圖，用6種不同的顏色給圖中的 4個(gè)格子涂色，每個(gè)格子涂一種顏色，要求相鄰的兩個(gè)格子顏色不同，有種（用數(shù)1且兩端的格子的顏色也不同，則不同的涂色方法共 作答）.【例17】如圖，用6種不同的顏色給圖中的 4個(gè)格子涂色，每個(gè)格子涂一種顏色.要求最多使用 3種顏色且相鄰的兩個(gè)格子顏色不同，則不同的涂色方法共有 種（用數(shù)字作答）.板塊六.排列組合問(wèn)題的常見(jiàn)模型2.題庫(kù)好學(xué)得智錯(cuò)位排列1, 2, 3, 4, 5的五個(gè)座位，至多有2人【例18】編號(hào)為1, 2, 3, 4, 5的五人入