高中數(shù)學(xué)奧賽輔導(dǎo)系列 函數(shù)的基本性質(zhì)（2）教案

1、函數(shù)的基本性質(zhì)（二）基礎(chǔ)知識(shí)：函數(shù)的周期性如果函數(shù)yf（x）對(duì)于定義域內(nèi)任意的x，存在一個(gè)不等于0的常數(shù)T，使得f（xT）f（x）恒成立，則稱函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，T是它的一個(gè)周期一般情況下，如果T是函數(shù)f（x）的周期，則kT（kN）也是f（x）的周期例題：1 已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f（xm）f（x），求證：2m是f（x）的一個(gè)周期證明：因?yàn)閒（xm）f（x）所以，f（x2m）f （xm）m f（xm） f（x）所以f（x）是以2m為周期的周期函數(shù)2 已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f（xm）f（xm），求證：2m是f（x）的一個(gè)周期證明：因?yàn)閒（xm）f（xm）令xmt，則x

2、mt2m于是f（t2m）f（t）對(duì)于tR恒成立，所以f（x）是以2m為周期的周期函數(shù)3 已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f（xm），求證：2m是f（x）的一個(gè)周期證明：由已知f（x2m）f（xm）m f（x）所以f（x）是以2m為周期的周期函數(shù)4 已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f（xm），求證：4m是f（x）的一個(gè)周期證明：由已知f（x2m）f（xm）m 于是f（x4m）f（x）所以f（x）是以4m為周期的周期函數(shù)5 已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f（ax）f（ax）且f（bx）f（bx），求證：2|ab|是f（x）的一個(gè)周期（ab）證明：不妨設(shè)ab于是f（x2（ab）f（a（xa2

3、b） f（a（xa2b） f（2bx） f（b（xb） f（b（xb） f（x） 2（ab）是f（x）的一個(gè)周期當(dāng)ab時(shí)同理可得所以，2|ab|是f（x）的周期6 已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镹，且對(duì)任意正整數(shù)x，都有f（x）f（x1）f（x1）若f（0）2004，求f（2004）解：因?yàn)閒（x）f（x1）f（x1）所以f（x1）f（x）f（x2）兩式相加得0f（x1）f（x2）即：f（x3）f（x） f（x6）f（x）f（x）是以6為周期的周期函數(shù)20046×334 f（2004）f（0）20047 已知對(duì)于任意a，bR，有f（ab）f（ab）2f（a）f（b），且f（x）0求證：f

4、（x）是偶函數(shù)；若存在正整數(shù)m使得f（m）0，求滿足f（xT）f（x）的一個(gè)T值（T0）證明：令ab0得，f（0）1（f（0）0舍去）又令a0，得f（b）f（b），即f（x）f（x）所以，f（x）為偶函數(shù)令axm，bm得f（x2m）f（x）2f（xm）f（m）0所以f（x2m）f（x）于是f（x4m）f （x2m）2m f（x2m） f（x）即T4m（周期函數(shù)）8 數(shù)列an中，a1a，a2b，且an2an1an（nN）求a100；求S100解：由已知a1a，a2b，所以a3ba，a4a，a5b，a6ab，a7a，a8b，由此可知，an是以6為周期的周期數(shù)列，于是a100a6×164a

5、4a又注意到a1a2a3a4a5a60 S100a1a2a3a96a97a98a99a100 0a97a98a99a100 a1a2a3a4 ab（ba）（a） 2ba9 對(duì)每一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)x，y，函數(shù)f（t）滿足f（xy）f（x）f（y）xy1，若f（2）=2，試求滿足f（a）a的所有整數(shù)a解：令xy0，得f（0）1再令xy1，得f（2）2f（1）2，又f（2）2所以f（1）2又令x1，y1，可得f（1）1令xy1得f（2）2f（1）114令y1，得f（x1）f（x）x2即f（x1）f（x）x2 當(dāng)x取任意正整數(shù)時(shí)，f（x1）f（x）0又f（1）10所以f（x）0于是f（x1）f（x）x2x1即

6、對(duì)任意大于1的正整數(shù)t，f（t）t在中，令x3，得f（3）1，進(jìn)一步可得f（4）1注意到f（x）f（x1）（x2）所以當(dāng)x4時(shí)，f（x）f（x1）0即f（x）f（x1）f（x2）f（4）1所以x4時(shí)，f（x）x綜上所述，滿足f（a）a的整數(shù)只有a1或a210 設(shè)f（x）是一個(gè)從實(shí)數(shù)集R到R的一個(gè)映射，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，都有|f（x）|1，并且f（x）+，求證：f（x）是周期函數(shù)證明：由已知f（x）+所以 即 同理有即 由 于是f（x1）f（x）f（x2）f（x1），記這個(gè)差為d同理f（x3）f（x2）f（x2）f（x1）d f（xn1）f（xn）f（xn）f（xn1） f（x1）f（x）d即是

7、說數(shù)列f（xn）是一個(gè)以f（x）為首項(xiàng)，d為公差的等差數(shù)列因此f（xn）f（x）ndf（x）nf（x1）f（x）對(duì)所有的自然數(shù)n成立，而對(duì)于xR，| f（x）|1，即f（x）有界，故只有f（x1）f（x）0即f（x1）f（x） xR所以f（x）是周期為1的周期函數(shù)習(xí)題：1. 函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（1）3，對(duì)任意的xR，均有f（x4）f（x）f（2），求f（2001）的值2. 設(shè)f（x）是定義在實(shí)數(shù)集上的以2為周期的周期函數(shù)，且是偶函數(shù)，當(dāng)x2，3時(shí)，f（x）x，那么，當(dāng)x2，0時(shí)，求f（x）的解析式3. 已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f（xm），求證：2m是f（x）的一個(gè)周期4. 已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f（xm）（其中：a，b，cR，且a2bc0），求證：2m是f（x）的一個(gè)周期5. 已知函數(shù)f（x）