等差等比數(shù)列求和公式推導(dǎo)50683

1、1 等差數(shù)列求和公式：等差數(shù)列求和公式：（1）Sn=n(a1+an)/2(2) Sn=na1+n(n-1)d/22 等比數(shù)列求和公式：等比數(shù)列求和公式：(1) Sn=1-qa1(1-qn)q1 q1 (2) Sn=1-qa1-anq 當(dāng)當(dāng)q=1時時,Sn=na1 練習(xí)練習(xí): 求和求和1. 1+2+3+n 答案答案: Sn=n(n+1)/22. 2+4+8+2n 答案答案: Sn=2n+1-2方法：方法：直接求和法直接求和法例1 求數(shù)列 x, 2x2,3x3, nxn， 的前n項和。 解：解：當(dāng)當(dāng)x=0時時 Sn=0當(dāng)當(dāng)x=1時時 Sn=1+2+3+ n=n(n+1)/2當(dāng)當(dāng)x1時時 Sn=x+

2、 2x2+3x3+ + nxn xSn= x2 +2x3+3x4 + (n-1)xn +nxn +1 得：得：(1-x)Sn=x+ x2+x3+ +xn - nxn +1 化簡得：化簡得： Sn =x(1- xn )/(1-x) 2 - nxn +1 /(1-x) 0 (x=0) 綜合綜合得得 Sn= n(n+1)/2 (x=1) x(1- xn )/(1-x) 2 - nxn +1 /(1-x) (x1）小結(jié)小結(jié) 1:“錯項相減法錯項相減法”求和求和,常應(yīng)用于型常應(yīng)用于型如如anbn的數(shù)列求和的數(shù)列求和,其中其中an為等為等差差數(shù)列數(shù)列, bn 為等為等比比數(shù)列數(shù)列.練習(xí)練習(xí) 1求和求和:

3、1/2+2/4+3/8+n/2n 方法方法:可以將等式兩邊同時乘以可以將等式兩邊同時乘以2或或1/2,然后利用然后利用“錯位相減法錯位相減法”求和求和.例例2：求和求和Sn=125 +158 +181 1 + +1(3n-1) (3n+2) 解：解：數(shù)列的通項公式為數(shù)列的通項公式為an=1(3n-1) (3n+2) =13 (13n-1 -13n+2 )Sn=13 (12 -15 +15 -18 +18 -111 +13n-4 - 13n-1 +13n-1 -13n+2 )=13 (12 -13n+2 )=16n+4 小結(jié)小結(jié)2：本題利用的是本題利用的是“裂項相消法裂項相消法”，此此法常用于形

4、如法常用于形如1/f(n)g(n)的數(shù)列求和，的數(shù)列求和，其中其中f(n),g(n)是關(guān)于是關(guān)于n（nN)的一次的一次函數(shù)。函數(shù)。把數(shù)列中的每一項都拆成兩項的把數(shù)列中的每一項都拆成兩項的差，從而產(chǎn)生一些可以相消的項，差，從而產(chǎn)生一些可以相消的項，最后剩下有限的幾項。最后剩下有限的幾項。方法：方法：對裂項公式的分析，通俗地對裂項公式的分析，通俗地說，裂項，裂什麼？說，裂項，裂什麼？裂通項。裂通項。此方法應(yīng)注意：此方法應(yīng)注意：練習(xí)練習(xí) 2： 求和求和114 +147 +1710 +1(3n-2)(3n+1) 接下來可用接下來可用“裂項相消裂項相消法法”來求和。來求和。an=1(3n-2)(3n+1

5、) =13 (13n-2 -13n+1 )分析分析：例例 3：求和：求和1+(1+12 )+(1+12 +14 )+(1+12 +14 +12n-1 )解：解：an=1+12 +14 +12n-1 =1（1-12n ）1-12 =2-12n-1 Sn=(2-120 )+(2-121 )+(2-122 )+(2-12n-1 ) =2n-( 120 +121 +122 +12n-1 )=2n-1（1-12n ）1-12 =2n+12n-1 2小結(jié)小結(jié) 3：本題利用的是本題利用的是“分解轉(zhuǎn)化求和法分解轉(zhuǎn)化求和法”方法：方法：把數(shù)列的通項分解成幾項，從把數(shù)列的通項分解成幾項，從而出現(xiàn)而出現(xiàn)幾個等差數(shù)列

6、或等比數(shù)幾個等差數(shù)列或等比數(shù)列，列，再根據(jù)公式進(jìn)行求和。再根據(jù)公式進(jìn)行求和。練習(xí)練習(xí) 3求和：求和：1+（1+2）+（1+2+22)+(1+2+22 +2n-1)分析：利用分析：利用“分解轉(zhuǎn)化求和分解轉(zhuǎn)化求和”總結(jié)：總結(jié)： 直接求和直接求和（公式法）（公式法）等差、或等比數(shù)列用求和公等差、或等比數(shù)列用求和公式，常數(shù)列直接運算。式，常數(shù)列直接運算。倒序求和倒序求和等差數(shù)列的求和方法等差數(shù)列的求和方法錯項相減錯項相減數(shù)列數(shù)列 anbn的求和，其中的求和，其中an是等差數(shù)列，是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列。是等比數(shù)列。裂項相消裂項相消分解轉(zhuǎn)化法分解轉(zhuǎn)化法把通項分解成幾項，從而出現(xiàn)把通項分解成幾項，從而出現(xiàn)幾個等差數(shù)列或等比數(shù)列進(jìn)行幾個等差數(shù)