傳染病模型微分方程

1、微分方程建模（傳染病模型）的求解。1、模型1：SI模型。假設(shè)：（1）時刻人群分為易感者（占總?cè)藬?shù)比例的）和已感染者（占總?cè)藬?shù)比例的）（2）每個病人每天有效接觸的平均人數(shù)是常數(shù)，稱為日接觸率，當健康者與病人接觸時，健康者受感染成為病人。分析：根據(jù)假設(shè)，每個患者每天可以使個健康者變?yōu)椴∪?，因為病人?shù)為，所以每天共有個健康者變?yōu)椴∪?。即：，且，設(shè)初始時刻病人比例為，則：，用MATLAB解此微分方程：>> syms a b>> f=dsolve('Dy=a*y*(1-y)','y(0)=b','t')f = 1/(1-exp(-a

2、*t)*(-1+b)/b) %當時，分別在坐標系中作出的圖像，坐標系中作出的圖像，>> a=0.1;>> b=0.09;>> h=dsolve('Dy=a*y*(1-y)','y(0)=b','t')h =1/(1-exp(-a*t)*(-1+b)/b)>> f=subs(h)f =1/(1+91/9*exp(-1/10*t)的圖像>> ezplot(f,0,60)>> grid on>> figure (2) >> fplot('0.1*y*

3、(1-y)',0,1) >> grid on的圖像模型分析：（1）當時，達到最大值，則此時病人增速最快。 （2）當時，即所有的人被傳染，全部變?yōu)椴∪?，這顯然是不符合實際的，其原因是沒有考慮到病人可以治愈，人群中的健康者只能變?yōu)椴∪?，而病人不會變?yōu)榻】嫡摺?、模型2：SIS模型。假設(shè)：（1）時刻人群分為易感者（占總?cè)藬?shù)比例的）和已感染者（占總?cè)藬?shù)比例的）（2）每個病人每天有效接觸的平均人數(shù)是常數(shù)，稱為日接觸率，當健康者與病人接觸時，健康者受感染成為病人。（3）病人每天被治愈的占病人總數(shù)的比例為，稱為日治愈率，顯然為這種傳染病的平均傳染期。則。則建立微分方程模型為：用MATLA

4、B解此微分方程：>> h2=dsolve('Dy=a*y*(1-y)-c*y','y(0)=b','t')h2 =(a-c)/(a-exp(-(a-c)*t)*(-a+c+b*a)/b/(a-c)*a+exp(-(a-c)*t)*(-a+c+b*a)/b/(a-c)*c)>> pretty(h2) / exp(-(a - c) t) (-a + c + b a) a (a - c)/|a - - b (a - c) exp(-(a - c) t) (-a + c + b a) c + -| b (a - c) /化簡：即：

5、。當（1）時，；（2）時，>> clear>> h2=dsolve('Dy=a*y*(1-y)-a*y','y(0)=b','t')h2 =1/(a*t+1/b)即：。定義：一個傳染期內(nèi)每個病人有效接觸的平均人數(shù)。則：，用MATLAB作圖像：令，（）>> clear>> a=0.01;b=0.7;c=0.05;>> h2=dsolve('Dy=a*y*(1-y)-c*y','y(0)=b','t');>> h22=subs(h2

6、) h22 = -1/25/(1/100-47/700*exp(1/25*t)>> ezplot(h22,0,120)>> grid on的圖像令，分別作圖（）>> a=0.3;b=0.7;c=0.15;>> h2=dsolve('Dy=a*y*(1-y)-c*y','y(0)=b','t');>> h23=subs(h2) h23 = 3/20/(3/10-3/35*exp(-3/20*t)>> subplot(2,1,1)>> ezplot(h23,0,25)

7、>> grid on>> b=0.3;>> h24=subs(h2); >> subplot(2,1,2)>> ezplot(h24,0,25)grid on的圖像（上面，下面）模型分析：（1）時，病人比例越來越少，最終趨于零，這是因為傳染期內(nèi)經(jīng)有效接觸從而使健康者變?yōu)椴∪藬?shù)不超過原來病人數(shù)的緣故。（2）時，病人比例增減性是由來決定，其極限值隨著的增加而增加。3、模型3：SIR模型。假設(shè)：（1）人群分為健康者，其比例、病人、病愈免疫的移出者。 （2）病人的日接觸率為，日治愈率為，傳染期接觸數(shù)為。則，對于病愈者而言，設(shè)初始時刻的健康者和

8、病人的比例為和，則建立微分方程模型為：由于此微分方程組的解析解無法求出，則轉(zhuǎn)為相平面上討論解的性質(zhì)。相軌線的定義域應(yīng)為：，由方程組消去并將得：用matlb求解：>> dsolve('Dy=1/cma/s-1','y(s0)=y0','s')ans =1/cma*log(s)-s-1/cma*log(s0)+s0+y0 >> pretty(ans) log(s) log(s0) - - s - - + s0 + y0 cma cma即（相軌線）定義域內(nèi)，時，分別取，在同一直角坐標系中作出其圖像：>> cma=1;

9、y0=0.3;s0=0.65;>> clear>> f=dsolve('Dy=1/cma/s-1','y(s0)=y0','s');>> cma=1;y0=0.3;s0=0.65;>> f1=subs(f);>> ezplot(f1,0,1)>> hold on>> y0=0.4;s0=0.35;>> f2=subs(f);>> ezplot(f2,0,1)>> hold on>> y0=0.5;s0=0.45;>> f3=subs(f);>> ezplot(f3,0,1)>> hold onSIR模型的相軌線>> y0=0.7;s0=0.25;>> f4=subs(f);>> ezplot(f4,0,1)>> hold on>> ezplot('1-s',0,1)>> grid on模型分析：（1）不論初始條件，如何，病人比例越來越少，最終消失。（2）最終未被感染的健康者的