小學(xué)奧數(shù)牛吃草問(wèn)題教案(一)教學(xué)文案

1、奧數(shù)十二講牛吃草問(wèn)題（一）牛吃草問(wèn)題也叫牛頓問(wèn)題或是消長(zhǎng)問(wèn)題，因由牛頓提出而得名， 也有人稱這一類問(wèn)題叫做牛吃草問(wèn)題。英國(guó)著名的物理學(xué)家學(xué)家牛頓曾編過(guò)這樣一道數(shù)學(xué)題：牧場(chǎng)上有一片青草， 每天都生長(zhǎng)得一樣快。這片青草供給10頭牛吃，可以吃22天，或者供給16頭牛吃，可以吃10天，如果供給25頭牛吃，可以吃幾天？解題關(guān)鍵牛頓問(wèn)題，俗稱“牛吃草問(wèn)題”，牛每天吃草，草每天在不斷均勻生長(zhǎng)。解題環(huán) 節(jié)主要有四步：1、求出每天長(zhǎng)草量；2、求出牧場(chǎng)原有草量；3、求出每天實(shí)際消耗原有草量（牛吃的草量-生長(zhǎng)的草量=消耗原有草量）；4、最后求出可吃天數(shù)想：這片草地天天以勻速生長(zhǎng)是分析問(wèn)題的難點(diǎn)。把10頭牛22天吃的

2、總量與 16頭牛10天吃的總量相比較，得到的10X22 - 16X 10=60,是 60頭牛一天吃的草，平均分到（22-10 ）天里，便知是5頭牛一天吃的草，也就是每天新長(zhǎng)出的草。求出了這個(gè)條件，把所有頭牛分成兩部分來(lái)研究，用其中頭吃掉新長(zhǎng)出的草，用其余頭數(shù)吃掉 原有的草，即可求出全部頭牛吃的天數(shù)。設(shè)一頭牛1天吃的草為一份。那么10頭牛22天吃草為 1X 10X22=2 20份，16頭牛10天吃草為 1X16X10=160 份（220-160 ） + （ 22-10 ） =5份，說(shuō)明牧場(chǎng)上一天長(zhǎng)出新草5份。220- 5X22=110份，說(shuō)明原有老草 110份。綜合式：110+ （ 25-5）

3、=5.5天，算出一共多少天。牛頓曾提出的問(wèn)題牛頓在其著作普遍的算術(shù)（1707年出版）中提出如下問(wèn)題： "12條公牛在四個(gè)星期內(nèi)吃掉了三又三分之一由格爾的牧草；21條公牛在9星期吃掉10由格爾的牧草，問(wèn)多少條公牛在18個(gè)星期內(nèi)吃掉 24由格爾的牧草？”（由格爾是古羅馬的面積單位，1由格爾約等于 2,500平方米）。這個(gè)著名的公牛問(wèn)題叫做“牛頓問(wèn)題”。牛頓曾說(shuō)過(guò)：“如果我看得比別人更遠(yuǎn)些，那是因?yàn)?我站在巨人的肩膀上”。牛頓的解法是這樣的：在牧草不生產(chǎn)的條件下，如果12條公牛在四星期內(nèi)吃掉三又三分之一由格爾的牧草、則按比例36頭公牛四星期內(nèi)，或16頭公牛九個(gè)星期內(nèi)，或八頭公牛18星期內(nèi)吃

4、掉 10由格爾的牧草，由于牧草在生長(zhǎng)，所以21頭公牛9星期只吃掉10由格爾牧草，即在隨后的五周內(nèi)，在 10由格爾的草地上新長(zhǎng)的牧草足夠 21-16=5頭公牛吃9星期，或足夠5/2頭公牛吃18個(gè)星期，由此推得，14個(gè)星期(即 18個(gè)星期減去初的四個(gè)星期)內(nèi)新長(zhǎng)的牧草可供7頭公牛吃18個(gè)星期，因?yàn)?:14=5/2 :7。前已算出，如牧草不長(zhǎng)，則 10由格爾草地牧草可供八頭公牛吃18個(gè)星期，現(xiàn)考慮牧草生長(zhǎng)，故應(yīng)加上7頭，即10由格爾草地的牧草實(shí)際可供15頭公牛吃18個(gè)星期，由此按比例可算出。24由格爾草地的牧草實(shí)際可供36頭公牛吃18星期。牛頓還給出代數(shù)解法：他設(shè)1由格爾草地一個(gè)星期內(nèi)新長(zhǎng)的牧草相當(dāng)

5、于面積為y由格爾，由于每頭公牛每個(gè)星期所吃牧草所占的面積看成是相等的，根據(jù)題意，設(shè)若所求的公牛頭數(shù)為X,則(10/3+10/3 )*4y/(12*4)=(10+10*9y)/(21*9)=(24+24*18y)/18x解得x=36即36條公牛在18個(gè)星期內(nèi)吃掉24由格爾的牧草。還有一種方法就是使用方程式的解法。例如有一塊牧場(chǎng)，可供9頭牛吃3天，或者5頭牛吃6天，請(qǐng)問(wèn)多少牛能夠2天吃完？我們做方程式：設(shè)牧場(chǎng)原有草量為y,每天新增加的牧草可供x頭牛食用，N頭牛能夠2天將草吃完，根據(jù)題目條件，我們列出方程式：y=(9-x ) X3 y=(5- x) x 6 y=(N-x ) x 2 解方程組得 x=

6、1 y=24 N=13 其實(shí)這種牛吃草問(wèn)題的核心公式是：原有草量=(牛數(shù)-單位時(shí)間長(zhǎng)草量可供應(yīng)的牛的數(shù)量)乂天數(shù)解法二：牛吃草問(wèn)題的 關(guān)鍵點(diǎn)在于這個(gè)問(wèn)題 隱藏了一個(gè)基本的平衡 在其中，那就是：假若 每頭牛每天的吃草速率和吃草量都不相同，那么此題無(wú)解，為什么？因?yàn)楹芸赡芤活^ 牛心情好一天就能吃完這些草，也可能10頭牛食欲不佳一個(gè)月吃都不完這些草，因此每頭牛每天的吃草速率和數(shù)量必須都是相同的是這個(gè)問(wèn)題成立并且能夠得到答案的充要條件。得到這個(gè)結(jié)論后，我們就要開(kāi)始確定一個(gè)平衡的方程式出來(lái)，如何確定？不難想到，可以是吃草量和草本身量之間的平衡，也就是吃草量=草總量。于是我們就可以假設(shè)一頭牛一天白吃草量為

7、M,并假設(shè)第三種情況牛吃草的天數(shù)為N;接下來(lái)開(kāi)始尋找平衡方程，我們可以看到，在問(wèn)題提供的條件中，第一種情況的草地總量為 10XMX 22,第二種情況的草地總量為16XMX 10,第三種情況的草地總量為25XMX N然后我們開(kāi)始尋找方程的平衡：既然我們現(xiàn)在已經(jīng)找到三種情況里草 地的總量，那么不難想到方程的另一邊就要靠草的量來(lái)進(jìn)行平衡，于是， 我們假設(shè)原有草量為 Y,草每天的生長(zhǎng)量為 X,得到如下方程組：10X MX 22=22X+Y16X MX 10=10X+Y25X MX N=NX+Y解此方程組，可得 X=5, Y=110, N=5.5,因此25頭牛用五天半的 時(shí)間就能吃完這些草。規(guī)律總結(jié)牛頓

8、問(wèn)題的難點(diǎn)在于草每天都在不斷生長(zhǎng)，草的數(shù)量都在不斷變化。解答這類 題目的關(guān)鍵是想辦法從變化中找出不變量，我們可以把總草量看成兩部分的和，即原 有的草量加新長(zhǎng)的草量。顯而易見(jiàn)，原有的草量是一定的，新長(zhǎng)的草量雖然在變，但 如果是勻速生長(zhǎng)，我們也能找到另一個(gè)不變量一一每天（每周）新長(zhǎng)出的草的數(shù)量。方法指導(dǎo)：通常思路把每頭牛每天（周）的吃草量看作是“1；求出每天（周）的新生長(zhǎng)的草量是多少；求出原來(lái)的草量是多少；假設(shè)幾頭牛專門去吃新生長(zhǎng)的草，剩下的牛吃原來(lái)的草所用幾天（周）數(shù)即為所求。由于牛吃草的天數(shù)不同。例題：例1牧場(chǎng)上長(zhǎng)滿牧草，每天都勻速生長(zhǎng)。這片牧場(chǎng)可供27頭牛吃6天或23 頭牛吃9天。問(wèn)可供21

9、頭牛吃幾天？【分析】這片牧場(chǎng)上的牧草的數(shù)量每天在變化。解題的關(guān)鍵應(yīng)找到不變量一一即 原來(lái)的牧草數(shù)量。因?yàn)榭偛萘靠梢苑殖蓛刹糠郑涸械牟菖c新長(zhǎng)出的草。新長(zhǎng)出的草 雖然在變，但應(yīng)注意到它是勻速生長(zhǎng)的，因而這片牧場(chǎng)每天新長(zhǎng)出飛草的數(shù)量也是不 變的。從這道題我們看到，草每天在長(zhǎng)，牛每天在吃，都是在變化的，但是也有不變的，都是什么不變??？草是以勻速生長(zhǎng)的，也就是說(shuō)每天長(zhǎng)的草是不變的；，同樣，每天牛吃草的量也是不變的，對(duì)吧？這就是我們解題的關(guān)鍵。 這里因?yàn)槲粗獢?shù)很多， 我教大家一種巧妙的設(shè)未知 數(shù)的方法，叫做設(shè)“ 1”法。我們?cè)O(shè)牛每天吃草的數(shù)量為 1份，具體1份是多少我們不知道， 也不用管它，設(shè)草每天增長(zhǎng)

10、的數(shù)量是 a份，設(shè)原來(lái)的草的數(shù)量為 b份，那么我們可以列方程 了： 27*6=b+6? 23*9=b+9a【思考1】一片草地，每天都勻速長(zhǎng)出青草，如果可供24頭牛吃6天，或20頭牛吃10天，那么可供18頭牛吃幾天？15天.設(shè)1頭牛1天吃的草為1份。則每天新生的草量是（20 X 10-24 X 6） +（10-6）=14 份，原來(lái)的草量是（24-14 ） X 6=60份?？晒?8頭牛吃60+ （18-14）=15天例2因天氣寒冷，牧場(chǎng)上的草不僅不生長(zhǎng)，反而每天以均勻的速度在減少。已知牧場(chǎng)上的草可供33頭牛吃5天，可供24頭牛吃6天，照此計(jì)算，這個(gè)牧場(chǎng)可供多少頭牛吃10天？【分析】與例1不同的是，

11、不但沒(méi)有新長(zhǎng)出的草，而且原有的草還在勻速減少， 但是，我們同樣可以用類似的方法求出每天減少的草量和原來(lái)的草的總量【思考2】由于天氣逐漸變冷，牧場(chǎng)上的草每天以固定的速度在減少，經(jīng)計(jì)算，牧場(chǎng)上的草可供 20 頭牛 吃 5 天，或可供16 頭牛吃 6 天。那么，可供 11 頭牛吃幾天？8天，設(shè)一頭牛一天吃的草量為一份。牧場(chǎng)每天減少的草量：(20X 5-16 X 6) + (6-5 )=4份，原來(lái)的草量：(20+4) X 5=120份，可供11頭牛吃120+(11+4)=8天。總結(jié)：想辦法從變化中找到不變的量。牧場(chǎng)上原有的草是不變的，新長(zhǎng)出的草雖然在變化，但是因?yàn)槭莿蛩偕L(zhǎng)，所以每天新長(zhǎng)出的草量也是不

12、變的。正確計(jì)算草地上原有的草及每 天新長(zhǎng)出的草，問(wèn)題就會(huì)迎刃而解。知識(shí)衍變牛吃草基本問(wèn)題就先介紹到這，希望大家掌握這種方法，以后出現(xiàn)樣吃草問(wèn)題，驢吃草問(wèn)題也知道怎么做，甚至，以下這些問(wèn)題都可以應(yīng)用牛吃草問(wèn)題解決方法例 3 自動(dòng)扶梯以均勻速度由下往上行駛，小明和小麗從扶梯上樓，已知小明每分鐘走 25 級(jí)臺(tái)階， 小麗每分鐘走20 級(jí)臺(tái)階， 結(jié)果小明用了 5 分鐘， 小麗用了 6 分鐘分別到達(dá)樓上。該扶梯共有多少級(jí)臺(tái)階？【 分析 】 在這道題中， “總的草量” 變成了 “扶梯的臺(tái)階總級(jí)數(shù)”， “草”變成了 “臺(tái)階” ， “?！弊兂闪恕八俣取?, 所以也可以看成是“牛吃草”問(wèn)題來(lái)解答?！舅伎?】?jī)芍晃?/p>

13、牛同時(shí)從一口井的井頂爬向井底。白天往下爬，兩只蝸牛的爬行速度是不同的， 一只每天爬行20 分米，另一只每天爬行15 分米。黑夜往下滑，兩只蝸?；械乃俣葏s是相同的， 結(jié)果一只蝸牛恰好用了 5 個(gè)晝夜到達(dá)井底， 另一只恰好用了6 個(gè)晝夜到達(dá)井底。那么，井深多少米？大家說(shuō)這里什么是牛？什么是草？都什么是不變的？15米。蝸牛每夜下降：(20X5-15X6) + (6-5) =10分米所以井深：(20+10) X 5=150分米=15米例 4 一條船有一個(gè)漏洞，水以均勻的速度漏進(jìn)船內(nèi)，待發(fā)現(xiàn)時(shí)船艙內(nèi)已進(jìn)了一些水。如果用 12 人舀水， 3 小時(shí)舀完。如果只有5 個(gè)人舀水，要10 小時(shí)才能舀完。現(xiàn)在要想

14、在 2 小時(shí)舀完，需要多少人？【 分析】典型的“牛吃草”問(wèn)題，找出“?！焙汀安荨笔墙忸}的關(guān)鍵【思考4】 一個(gè)水池， 池底有泉水不斷涌出， 用 10 部抽水機(jī) 20 小時(shí)可以把水抽干，用 15 部相同的抽水機(jī)10 小時(shí)可把水抽干。那么用 25 部這樣的抽水機(jī)多少小時(shí)可以把水抽干？5小時(shí)。設(shè)一臺(tái)抽水機(jī)一小時(shí)抽水一份。則每小時(shí)涌出的水量是：(20X10-15X10)+ (20-10)=5份，池內(nèi)原有的水是：(10-5 ) X 20=100份.所以，用25部抽水機(jī)需要：100 + (25-5)=5 小時(shí)1、 牧場(chǎng)上一片青草，每天牧草都勻速生長(zhǎng)。這片牧草可供 10 頭牛吃 20 天，或者可供 15 頭牛吃 10 天。問(wèn)：可供 25 頭牛吃幾天？2、 一個(gè)水池裝一個(gè)進(jìn)水管和三個(gè)同樣的出水管。先打開(kāi)進(jìn)水管，等水池存了一些水后，再打開(kāi)出水管。如果同時(shí)打開(kāi)2 個(gè)出水管，那么 8 分鐘后水池空；如果同時(shí)打開(kāi)3 個(gè)出水管，