第十八講圖解法

1、第十八講 圖解法圖形是數(shù)學(xué)研究的對(duì)象，也是數(shù)學(xué)思維和表達(dá)的工具。 在解答應(yīng)用題時(shí)，如果用圖形把題意表達(dá)出來(lái)，題中的數(shù)量關(guān)系就會(huì)具體而形象。圖形可起到啟發(fā)思維、支持思維、喚起記憶的作用，有利于盡快找到解題思路。有時(shí)，作出了圖形，答案便在圖形中。（一）示意圖示意圖是為了說(shuō)明事物的原理或具體輪廓而繪成的略圖。小學(xué)數(shù)學(xué)中的示意圖簡(jiǎn)單、直觀(guān)、形象，使人容易理解圖中的數(shù)量關(guān)系。例1 媽媽給兄弟二人每人10個(gè)蘋(píng)果，哥哥吃了8個(gè)，弟弟吃了5個(gè)。誰(shuí)剩下的蘋(píng)果多？多幾個(gè)？（適于四年級(jí)程度）解：作圖18-1。哥哥吃了8個(gè)后，剩下蘋(píng)果：10-8=2（個(gè)）弟弟吃了5個(gè)后，剩下蘋(píng)果：10-5=5（個(gè)）弟弟剩下的蘋(píng)果比哥哥

2、的多：5-2=3（個(gè)）答：弟弟剩下的蘋(píng)果多，比哥哥的多3個(gè)。例2 一桶煤油，倒出40，還剩18升。這桶煤油原來(lái)是多少升？（適于六年級(jí)程度）解：作圖18-2。從圖中可看出，倒出40后，還剩：1-40=60這60是18升所對(duì)應(yīng)的百分率，所以這桶油原來(lái)的升數(shù)是：18÷60=30（升）答略。例3 把2米長(zhǎng)的竹竿直立在地面上，量得它的影長(zhǎng)是1.8米，同時(shí)量得電線(xiàn)桿的影長(zhǎng)是5.4米。這根電線(xiàn)桿地面以上部分高多少米？（適于六年級(jí)程度）解：根據(jù)題意畫(huà)出如圖18-3（見(jiàn)下頁(yè)）的示意圖。同一時(shí)間，桿長(zhǎng)和影長(zhǎng)成正比例。設(shè)電線(xiàn)桿地面以上部分的高是x米，得：1.85.4=2x答略。（二）線(xiàn)段圖線(xiàn)段圖是以線(xiàn)段的

3、長(zhǎng)短表示數(shù)量的大小，以線(xiàn)段間的關(guān)系反映數(shù)量間關(guān)系的一種圖形。在小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中線(xiàn)段圖是使用最多、最方便的一種圖形。例1 王明有15塊糖，李平的糖是王明的3倍。問(wèn)李平的糖比王明的糖多多少塊？（適于三年級(jí)程度）解：作圖18-4（見(jiàn)下頁(yè)）。從圖18-4可看出，把王明的15塊糖看作1份數(shù)，那么李平的糖就是3份數(shù)。李平比王明多的份數(shù)是：3-1=2（份）李平的糖比王明的糖多：15×2=30（塊）綜合算式：15×（3-1）=15×2=30（塊）答略。例2 托爾斯泰是俄羅斯偉大作家，享年82歲。他在19世紀(jì)中度過(guò)的時(shí)間比在20世紀(jì)中度過(guò)的時(shí)間多62年。問(wèn)托爾斯泰生于哪一年？去

4、世于哪一年？（適于四年級(jí)程度）解：作圖18-5。從圖18-5可看出，他在20世紀(jì)度過(guò)的時(shí)間是：（82-62）÷220÷2=10（年）由此看出，他死于1910年。他出生的時(shí)間是：1910-82=1828（年）答略。解：作圖18-6。綜合算式：答略。（三）思路圖小學(xué)數(shù)學(xué)中的許多應(yīng)用題，需要用綜合法或分析法分析解答。如果把思維的過(guò)程用文字圖形表示出來(lái)，就有助于正確選擇已知數(shù)量，提出中間問(wèn)題，理清數(shù)量關(guān)系，從而順利解題。這種表示思維過(guò)程的圖形就是思路圖。例題參見(jiàn)前面的分析法和綜合法。（四）正方形圖借助正方形圖解應(yīng)用題，就是以正方形的邊長(zhǎng)、面積表示應(yīng)用題中的數(shù)量，使應(yīng)用題數(shù)量之間的關(guān)

5、系具體而明顯地呈現(xiàn)出來(lái)，從而達(dá)到便于解題的目的。例1 農(nóng)民張成良，把自己承包的土地的一半種了玉承包了多少公頃土地？（適于四年級(jí)程度）解：根據(jù)題意作圖18-7。所以，他承包的土地是：2×8=16（公頃）答略。例2有大小兩個(gè)正方形，其中大正方形的邊長(zhǎng)比小正方形的邊長(zhǎng)多4厘米，面積比小正方形的面積大96平方厘米。求大、小正方形的面積各是多少平方厘米？（適于六年級(jí)程度）解：求大、小正方形的面積，應(yīng)知道大、小正方形的邊長(zhǎng)，但題中沒(méi)有說(shuō)，也不好直接求出來(lái)。借助畫(huà)圖形的方法可輕易解決這個(gè)問(wèn)題。根據(jù)題意作圖18-8。圖中大正方形ABCD的面積比小正方形的面積大96平方厘米。這96平方厘米的面積是由兩

6、個(gè)長(zhǎng)方形a及比長(zhǎng)方形還小的正方形c構(gòu)成。從96平方厘米減去正方形c的面積，再除以2就可求出長(zhǎng)方形a的面積。（96-4×4）÷2=40（平方厘米）因?yàn)殚L(zhǎng)方形a的寬是4厘米，所以長(zhǎng)方形a的長(zhǎng)是：40÷4=10（厘米）因?yàn)?0厘米也是小正方形的邊長(zhǎng)，所以小正方形的面積是：10×10=100（平方厘米）大正方形的邊長(zhǎng)是：4+10=14（厘米）大正方形的面積是：14×14=196（平方厘米）答略。（五）長(zhǎng)方形圖借助長(zhǎng)方形圖解應(yīng)用題，是以長(zhǎng)方形的長(zhǎng)表示一種數(shù)量，以長(zhǎng)方形的寬表示另一種數(shù)量，以長(zhǎng)方形的面積表示這兩種數(shù)量的積。它能把抽象的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為具體形象

7、的面積來(lái)計(jì)算問(wèn)題。*例1 甲、乙兩名工人做機(jī)器零件，每天甲比乙多做10個(gè)?，F(xiàn)在甲工作15天，乙工作12天，共做出1500個(gè)零件。問(wèn)甲、乙兩人每天各做多少個(gè)零件？（適于五年級(jí)程度）解：根據(jù)題意作圖18-9（見(jiàn)下頁(yè)）。圖18-9中，以左邊長(zhǎng)方形的長(zhǎng)表示甲工作15天，以左邊長(zhǎng)方形的寬表示甲每天做多少個(gè)；以右邊長(zhǎng)方形的長(zhǎng)表示乙工作12天，以右邊長(zhǎng)方形的寬表示乙每天做多少個(gè)。圖中右上角那個(gè)長(zhǎng)方形的寬表示甲每天比乙多做10個(gè)，所以，乙在12天中比甲少做零件：10×12=120（個(gè)）圖中全部陰影部分的面積表示甲、乙共做的零件1500個(gè)。從圖18-9可以看出，整個(gè)大長(zhǎng)方形面積所表示的零件的個(gè)數(shù)是：1

8、500+120=1620（個(gè)）這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)表示甲、乙共同工作的天數(shù)：15+12=27（天）因?yàn)榇箝L(zhǎng)方形的寬表示甲每天做零件的個(gè)數(shù)，所以甲每天做零件的個(gè)數(shù)是：1620÷27=60（個(gè)）乙每天做零件的個(gè)數(shù)是：60-10=50（個(gè)）答略。* 例2 某商店賣(mài)出蘋(píng)果、鴨梨和桔子共25筐，其中鴨梨的筐數(shù)是桔子筐數(shù)的2倍。蘋(píng)果每筐賣(mài)90元，鴨梨每筐賣(mài)72元，桔子每筐賣(mài)60元，共賣(mài)得1854元。問(wèn)賣(mài)出蘋(píng)果、鴨梨和桔子各多少筐？（適于六年級(jí)程度）解：根據(jù)題意作圖18-10。圖18-10中陰影部分表示，如果25筐都是蘋(píng)果，則所造成的差價(jià)是：90×25-1854=396（元）每賣(mài)出1筐桔子、2

9、筐鴨梨、3筐蘋(píng)果的差價(jià)是：（90-72）×2+（90-60）=36+30=66（元）因此，桔子的筐數(shù)是：396÷66=6（筐）鴨梨的筐數(shù)是：6×2=12（筐）蘋(píng)果的筐數(shù)是：25-6-12=7（筐）答略。（六）條形圖條形圖是把長(zhǎng)方形的長(zhǎng)畫(huà)得比較長(zhǎng)，把長(zhǎng)方形的寬畫(huà)得比較短的一種圖形。條形圖一般以長(zhǎng)方形的長(zhǎng)表示數(shù)量。條形圖可以畫(huà)成豎的，也可以畫(huà)成橫的。題中不同的數(shù)量可用不同的陰影線(xiàn)或不同的顏色表示。題中的數(shù)量可寫(xiě)在長(zhǎng)方形內(nèi)，也可寫(xiě)在長(zhǎng)方形外面。條形圖比線(xiàn)段圖更直觀(guān)一些，在用來(lái)解某些應(yīng)用題時(shí)效果要比線(xiàn)段圖好。噸后，兩場(chǎng)所剩煤的數(shù)量相等。甲、乙兩個(gè)煤場(chǎng)原來(lái)各存煤多少?lài)崳浚ㄟm

10、于六年級(jí)程度）解：作圖18-11。從圖中可看出，從875噸中減去75噸后，甲煤場(chǎng)的煤就相當(dāng)于乙煤場(chǎng)煤的3倍，兩個(gè)煤場(chǎng)所存煤共分為4份。其中一份是：（875-75）÷（3+1）800÷4=200（噸）乙煤場(chǎng)原來(lái)的存煤噸數(shù)是：200+75=275（噸）甲煤場(chǎng)原來(lái)存煤的噸數(shù)是：200×3=600（噸）答略。解：作圖18-12。但是，實(shí)際上是運(yùn)出125噸。這140噸比實(shí)際運(yùn)出的多：140-125=15（噸）所以15噸所對(duì)應(yīng)的分率是：甲庫(kù)原來(lái)的存糧噸數(shù)是：420-180=240（噸）答略。*例3 一組割草人要把大、小兩塊草地的草割掉，其中大塊草地的面積是小塊草地面積的2倍。

11、全體組員用半天的時(shí)間割大塊草地的草。下午一半的組員仍停留在大塊草地上割，另一半到小塊草地上割。到傍晚時(shí)，大塊草地的草全部割完，而小塊草地還剩下一小塊。這剩下的一小塊，第二天一個(gè)人用一天的時(shí)間就割完了。這組割草的一共有多少人？（適于六年級(jí)程度）全體組員割一個(gè)上午后，一半的組員又割一個(gè)下午就把大塊地的草割完，這就是說(shuō)，要是用一半的組員單獨(dú)割大塊草地的草，就要用3個(gè)半天，而在這剩下的一小塊是大塊草地的：這就是說(shuō)，6個(gè)人一天可以把大塊草地割完，一個(gè)人一天割大塊地的答略。（七）圓形圖借助圓形圖解應(yīng)用題，是以圓的面積或周長(zhǎng)表示題中的數(shù)量，并在圓周內(nèi)、外標(biāo)上數(shù)字、符號(hào)，從而達(dá)到便于分析數(shù)量關(guān)系的目的。例1

12、甲、乙兩個(gè)學(xué)生同時(shí)從同一起點(diǎn)沿著一個(gè)環(huán)形跑道相背而跑。甲每秒鐘跑8米，乙每秒鐘跑7米，經(jīng)過(guò)20秒鐘兩人相遇。求環(huán)形跑道的周長(zhǎng)。（適于五年級(jí)程度）解：作圖18-14。從圖中可看出，甲、乙兩人跑的路程的總和就是圓的周長(zhǎng)。根據(jù)“速度和×相遇時(shí)間=相遇路程”，可求出環(huán)形跑道的周長(zhǎng)：（7+8）×20=300（米）答略。問(wèn)這塊土地有多少公傾？（適于六年級(jí)程度）解：作圖18-15。從圖中可看出，第二天耕完這塊土地的：例3 有三堆棋子，這三堆棋子所含棋子的個(gè)數(shù)一樣多，且都只有黑、白兩色棋子。第一堆里的黑子與第二堆的白子一樣多，第棋子的幾分之幾？（適于六年級(jí)程度）解：作圖18-16。從圖中可

13、看出，把第一堆里的黑子與第二堆里的白子交換，則第一堆全是白子，第二堆全是黑子。因?yàn)榈谝欢雅c第二堆的棋子數(shù)相同，所以第一堆的白子數(shù)與第二堆的黑所以，白子占全部棋子的：*例4 甲、乙兩人同時(shí)從環(huán)形路的同一點(diǎn)出發(fā)，同向環(huán)行。甲每分鐘走70米，乙每分鐘走46米。環(huán)形路的長(zhǎng)是300米。他們出發(fā)后，在1小時(shí)20分里相會(huì)幾次？到1小時(shí)20分時(shí)兩人的最近距離是多少米？（適于五年級(jí)程度）解：作圖18-17。甲、乙二人1分鐘的速度差是：70-46=24（米）由二人出發(fā)到第一次相會(huì)所需的時(shí)間是：300÷24=12.5（分）1小時(shí)20分鐘即為80分鐘。80分鐘內(nèi)包含幾個(gè)12.5分鐘，二人即相會(huì)幾次。80分鐘

14、內(nèi)包括6個(gè)12.5分鐘，還多5分鐘，即二人相會(huì)6次。由于第六次相會(huì)后還走5分鐘，所以甲乙之間相隔：24×5=120（米）此時(shí)，甲、乙之間還有一個(gè)距離是：300-120=180（米）180120米答：在1小時(shí)20分鐘里兩人相會(huì)6次；到1小時(shí)20分鐘時(shí)，兩人的最近距離是120米。（八）染色圖在圖中用不同的顏色表示不同的內(nèi)容或不同的數(shù)量，以利于解題的圖形叫染色圖。染色圖是解決數(shù)學(xué)題和智力題常用的一種圖形。*例1 圖18-18是某湖泊的平面圖，圖中的所有曲線(xiàn)都表示湖岸。某人從岸邊A點(diǎn)到B點(diǎn)至少要趟幾次水？B點(diǎn)是在水中還是在岸上？（適于高年級(jí)程度）解：這個(gè)問(wèn)題好像很難解答。但我們按“圖中所有曲

15、線(xiàn)都是表示湖岸”的已知條件，將湖面染上色，湖岸部分就顯示出來(lái)了，答案也就一目了然了（圖18-19）。答：他至少要趟3次水才能達(dá)到B處，B點(diǎn)在湖岸上。* 例2 如圖18-20，某展覽館有36個(gè)展室，每?jī)蓚€(gè)相鄰展室之間均有門(mén)相通。問(wèn)你能否從圖中入口進(jìn)去，不重復(fù)地參觀(guān)完每個(gè)展室后，再?gòu)某隹谔幊鰜?lái)？（適于高年級(jí)程度）解：作圖18-21。把圖中36個(gè)方格相間地染上黑色。因入口處是白格，參觀(guān)時(shí)若依順序?qū)⒄故揖幪?hào)，那么進(jìn)入第奇數(shù)號(hào)展室時(shí)，應(yīng)是白格位置；進(jìn)第偶數(shù)號(hào)展室應(yīng)是黑格。即應(yīng)按白黑白黑順序交替參觀(guān)。參觀(guān)者最后離開(kāi)的是第36號(hào)展室，它是偶數(shù)，按上面的分析它應(yīng)是黑格，但圖中實(shí)際為白色方格。這說(shuō)明題中要求的參

16、觀(guān)方式是不可能實(shí)現(xiàn)的。答略。*例3 將圖18-22矩形 ABCD的一邊AD分成6小段，其中線(xiàn)段1+線(xiàn)段3+線(xiàn)段5=線(xiàn)段2+線(xiàn)段4+線(xiàn)段6。連結(jié)對(duì)角線(xiàn)BD，用紅（圖中用橫線(xiàn)表示）、藍(lán)（圖中用堅(jiān)線(xiàn)表示）兩色將圖形分別染色。問(wèn)圖中染紅色部分面積與染藍(lán)色部分面積哪個(gè)大？（適于高年級(jí)程度）解：此題利用三角形、梯形面積公式可算出結(jié)果，但較麻煩。用染色的方法解此題比較簡(jiǎn)捷。先將圖中BD線(xiàn)左下面的空白處染上黑色，用S紅、S藍(lán)、S黑分別表示染紅、藍(lán)、黑三種顏色圖形的面積（圖18-23）。從圖18-23很容易看到：另外，S藍(lán)+S黑等于3個(gè)小矩形面積的和，而它恰好等于矩形ABCD面積的一半，即：這就是說(shuō)：S紅+S黑=S藍(lán)+S黑從上面算式的兩邊同時(shí)減去S黑，得：S紅=S藍(lán)答：圖中染紅色部分的面積與染藍(lán)色部分的面積一樣大。*例4 圖18-24的圖形是從4×4的正方形紙上剪去兩個(gè)1×1的小方紙片后得到的。它們的面積都是14。若把它們剪成1×2的小矩形，最多能剪幾個(gè)？為什么？（適于高年級(jí)程度）解：圖 18-24的三個(gè)圖形除了（1）可以剪出 7個(gè) 1×2的小矩形外，（2）、（3）不管怎么剪，至多都只能剪出6個(gè)來(lái)。原因是：分別用黑