復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性例講

1、復(fù) 合 函 數(shù) 的 單 調(diào) 性 例 講山西忻州五寨一中 攝愛(ài)忠高考主要考查：求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；討論含參復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性或求參數(shù)范圍問(wèn)題“中間變量”是形成問(wèn)題轉(zhuǎn)化的橋梁. 函數(shù)思想是解決問(wèn)題的關(guān)鍵復(fù)合函數(shù)定義：1. 設(shè)定義域?yàn)椋闹涤驗(yàn)?，若，則關(guān)于的函數(shù)叫做函數(shù) 與的復(fù)合函數(shù)，叫中間變量外函數(shù)：； 內(nèi)函數(shù)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減.2.若則增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)3.求解復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的步驟如下：(1)求復(fù)合函數(shù)定義域；(2)將復(fù)合函數(shù)分解為若干個(gè)常見(jiàn)函數(shù)(一次、二次、冪、指、對(duì)函數(shù))；(3)判斷每個(gè)常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性；(4)將中間變量的取值

2、范圍轉(zhuǎn)化為自變量的取值范圍；(5)求出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性。題型1：內(nèi)外函數(shù)都只有一種單調(diào)性的復(fù)合型. 例 題1：已知函數(shù)y=loga(2-ax)在0,1上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是( )(A).(0,1) (B).(1,2) (C).(0,2) (D).2，+)解：設(shè)y= logau，u=2-ax，a是底數(shù)，所以a>0， 函數(shù)y=loga u在u0,1上是減函數(shù)，而u=2-ax在區(qū)間x0,1上是減函數(shù)， y= logau是u(0, +)上的增函數(shù)，故a>1，還要使2-ax>0在區(qū)間上總成立，令g(x)= 2-ax，由 ，解得a<2，1<a<2，故選(B).

3、 變式訓(xùn)練： 已知函數(shù)，求其單調(diào)區(qū)間.【分析】：由，得 ，即. 而函數(shù)在上是增函數(shù)，函數(shù)在上是減函數(shù)，故函數(shù)在上是減函數(shù).題型2：外函數(shù)有一種單調(diào)性?xún)?nèi)函數(shù)有兩種單調(diào)性的復(fù)合型. 例 題2：求函數(shù)y=log0.5(x2+4x+3)的單調(diào)區(qū)間.解：令y= log0.5u，u= x2+4x+3，由x2+4x+3>0知函數(shù)的定義域?yàn)椋騳= log0.5u在u(0,+)上是減函數(shù)，而u= x2+4x+4在x(-，-3)上是減函數(shù)，在(-1，+ )上是增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合規(guī)律知，函數(shù)y=log0.5(x2+4x+4) 在x(-，-3)上是增函數(shù)；在x(-1，+ )上是減函數(shù). 變式訓(xùn)練：討論函數(shù) 的單

4、調(diào)性。 解：函數(shù)定義域?yàn)镽. 令u=x2-4x+3，y=0.8u。 指數(shù)函數(shù)在u(-，+)上是減函數(shù)， u=x2-4x+3在(-，2上是減函數(shù)，在2，+)上是增函數(shù)， 函數(shù)在(-，2上是增函數(shù)，在2，+)上是減函數(shù)。 這里沒(méi)有第四步，因?yàn)橹虚g變量允許的取值范圍是R，無(wú)需轉(zhuǎn)化為自變量的取值范圍。 題型3：外函數(shù)有兩種單調(diào)性?xún)?nèi)函數(shù)有一種單調(diào)性的復(fù)合型. 例 題3： 函數(shù)y=2sin( -2x)的單調(diào)遞增區(qū)間是( )(A). (B). (C). (D). 解：令y=sinu，u= -2x，u= -2x 是R上的減函數(shù)，而y=sinu在u 2k+ ，2k+(kZ)上單調(diào)遞減，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的復(fù)合規(guī)律，

5、令2k+ -2x2k+ 得: 當(dāng)k=0時(shí)， ， 故選(A) . 例 題4：討論函數(shù)y=(log2x)2+log2x的單調(diào)性. 解：顯然函數(shù)定義域?yàn)?0，+). 令 u=log2x，y=u2+u u=log2x在(0，+)上是增函數(shù)， y=u2+u在(-，上是減函數(shù)，在，+)上是增函數(shù)【注意】:(-，及，+)是u的取值范圍.令，則0x，(u log2x x) 所以y=(log2x)2+log2x在(0，上是減函數(shù)，在，+)上是增函數(shù)。 用數(shù)軸標(biāo)單調(diào)區(qū)間如下： 求復(fù)合函數(shù)的定義域；求內(nèi)函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)區(qū)間；求外函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；求外函數(shù)對(duì)內(nèi)函數(shù)變量所對(duì)應(yīng)的單調(diào)區(qū)間；在數(shù)軸上標(biāo)出按“同增異減”寫(xiě)出

6、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 變式訓(xùn)練：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【解析】（1）此函數(shù)的定義域：；（2）此函數(shù)是由函數(shù)復(fù)合所得；（3）內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：函數(shù)在單調(diào)遞減；（4）外層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；（5）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律，寫(xiě)出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：函數(shù)在單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減【評(píng)注】：給出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必須將外層函數(shù)中的調(diào)整為復(fù)合函數(shù)的自變量等價(jià)的范圍，必須將外層函數(shù)中的調(diào)整為復(fù)合函數(shù)的自變量等價(jià)的范圍.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是 ；單調(diào)遞減區(qū)間是 . 題型4：內(nèi)外函數(shù)都有兩種單調(diào)性的復(fù)合型. 例 題5：已知函數(shù)則（A）在區(qū)間上是減函數(shù) （B）在區(qū)間上是減函數(shù)（C）在區(qū)間上是增函數(shù)

7、（D）在區(qū)間上是增函數(shù)【解析】設(shè)， ， 外函數(shù)：增區(qū)間 ；減區(qū)間 ； 內(nèi)函數(shù)：增區(qū)間 ；減區(qū)間 當(dāng)時(shí)，即1，x1或x-1；當(dāng)時(shí)，即1，-1x1用數(shù)軸標(biāo)出單調(diào)區(qū)間如下：顯然，A正確. 變式訓(xùn)練：已知函數(shù)則的遞增區(qū)間是 . 【解析】設(shè)，； 外函數(shù)：減區(qū)間 ； 增區(qū)間 內(nèi)函數(shù)：減區(qū)間 ； 增區(qū)間 令；再令. 用數(shù)軸標(biāo)出單調(diào)區(qū)間如下：故 的單調(diào)遞增區(qū)間為 和. 求復(fù)合函數(shù)的定義域；求內(nèi)函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)區(qū)間；求外函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；求外函數(shù)對(duì)內(nèi)函數(shù)變量所對(duì)應(yīng)的單調(diào)區(qū)間；在數(shù)軸上標(biāo)出按“同增異減”寫(xiě)出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 練習(xí)題組：函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）.（A） （B） （C） （D）答案

8、為B.【評(píng)注】：研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必須遵循“定義域優(yōu)先”的原則，不能忽視在恒成立.函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是( ).（A） （B） （C） （D）（2013福建）函數(shù)的圖象大致是 A BCD（2014天津）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 （A） （B） （C） （D）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是 .函數(shù)在上是增函數(shù)，求的取值范圍函數(shù)的單調(diào)性判斷錯(cuò)誤的是（A）在遞減 （B）在遞增 （C）在遞減（D）在遞增（2014年全國(guó)卷）若函數(shù)在區(qū)間是減函數(shù)，則的取值范圍是_函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 .函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（ ）. 題型5：已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍型. 例 題5：已知函數(shù)在區(qū)間2，+)上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_?！窘馕觥咳缦拢?令u=x2-ax+3a，y=u 因?yàn)閥=u在(0，+)上是減函數(shù) f(x)=(x2-ax+3a)在2，+)上是減函數(shù)u=x2-ax+3a在2，+)上是增函數(shù)，且對(duì)任意x2，+)，都有u0。對(duì)稱(chēng)軸x=在2的左側(cè)或過(guò)(2，0)點(diǎn)，且u(2)0。 -4a4 若f(x)=loga(3-ax)在0，1上是減函數(shù)，則a的取值范圍是_。 【解析】令u=-ax+30，y=logau，由于a作對(duì)數(shù)的底數(shù)，所以a0且a1，由u=-ax+30得x。在0，1上，且u是減函數(shù)。 f(x)=loga(3-ax)在0，1上是