大學物理,功和能及功能原理4.1 功 動能定理

1、12 4.1 功功 動能定理動能定理 4.2 保守力及保守力的功保守力及保守力的功4.3 勢能勢能 勢能曲線勢能曲線 勢能梯度勢能梯度4.4 功能原理功能原理 機械能守恒定律機械能守恒定律 一、一、 掌握掌握功的概念，能計算變力的功，功的概念，能計算變力的功，理解理解保守力作功的特點及勢能的概念，會計算保守力作功的特點及勢能的概念，會計算萬有引力、重力和彈性力的勢能。萬有引力、重力和彈性力的勢能。 二、二、 掌握掌握動能定理、功能原理和機械能動能定理、功能原理和機械能守恒定律，守恒定律，掌握掌握運用守恒定律分析問題的思想運用守恒定律分析問題的思想和方法。和方法。3重點：重點：功、勢能的概念及其

2、計算；功、勢能的概念及其計算；功和能的基本規(guī)律（動能定理、功能原理、功和能的基本規(guī)律（動能定理、功能原理、機械能守恒定律）及應用機械能守恒定律）及應用難點：難點：變力的功的計算；變力的功的計算；勢能概念的正確理解；勢能概念的正確理解；應用功能規(guī)律解題時，系統(tǒng)的劃分和相應規(guī)律的應用功能規(guī)律解題時，系統(tǒng)的劃分和相應規(guī)律的正確應用。正確應用。45cos |AFr rF位移無限小時：位移無限小時：dA 稱為稱為元功元功，是指質點發(fā)生微小的位移過程中，力所作的功。是指質點發(fā)生微小的位移過程中，力所作的功。dAF dr FFr 力在質點位移方向的分量力在質點位移方向的分量與與位移大小位移大小的乘積，即為的

3、乘積，即為。一、功一、功 coscosdddAFrFs sFd=6解決方法：解決方法：微元積分法微元積分法把路徑分成許多微小的把路徑分成許多微小的位移元位移元； 在各段位移元上質點受的力可以看成是在各段位移元上質點受的力可以看成是恒力恒力， 在該微過程中的在該微過程中的元功元功為：為：由由 a 移動到移動到 b ，力的，力的等于各段上元功的代數(shù)和，等于各段上元功的代數(shù)和， cos |dAF drFdr baAdAF dr cosbaFdsFsd baPsd=rdrdo orr 7,090d0A ,90180d0A ,90dd0FrA 說明：說明：1）功是標量功是標量，沒有方向，但有正負。，沒有

4、方向，但有正負。2） 功是過程量功是過程量，是力對空間的積累作用。，是力對空間的積累作用。 一般來說，功的值與質點運動的路徑有關。一般來說，功的值與質點運動的路徑有關。（如摩擦力的功）（如摩擦力的功）合力的功合力的功 各分力的功的代數(shù)和各分力的功的代數(shù)和ddiiiiAFrFrA cos |dAF drFdr rdF baP8dddxyzAFxFyFzddddrxiyjzk xyzFF iF jF k ）在直角坐標系中功的解析式：在直角坐標系中功的解析式：5）功的大小與參照系有關功的大小與參照系有關。例如：例如：傳送帶將箱子從低處傳送帶將箱子從低處運到高處，運到高處，地面上的人地面上的人看摩看摩

5、擦力作功了，而站在擦力作功了，而站在傳送帶傳送帶上的人上的人看摩擦力沒有作功?？茨Σ亮]有作功。靜靜fbaAdAF dr 9例：例：水平桌面上有質點水平桌面上有質點 m ，桌面的摩擦系數(shù)為，桌面的摩擦系數(shù)為 。 求：求：兩種情況下摩擦力作的功。兩種情況下摩擦力作的功。 1）沿圓弧；沿圓弧；2）沿直徑沿直徑 rfAbarabd圓弧 sfbard Rmg RmgrfAbarab2d直徑解：解：mRabrfrd)()(barsfd10APt 平均功率：平均功率： 瞬時功率瞬時功率：lim0ddtAAPFtt v cosvF例：例：某質點沿某質點沿 x 軸作直線運動，受力為軸作直線運動，受力為求：求：

6、質點從質點從 移動到移動到 的過程中該力所做的過程中該力所做的功。的功。,)54(NixF00 xmx10 解：解：()45AF drx i dxi 100290)54(Jdxx3、功率、功率dAF dr 11解：解：AF dr tadtvv00332343000123369729Att dtt dttJvdtFtdtmF00203212tdtttdxFdtdt例：例：質量為質量為 2kg 的質點在力的質點在力 (N) 的作用下，的作用下，從靜止出發(fā)，沿從靜止出發(fā)，沿 x 軸正向作直線運動。軸正向作直線運動。求求：前三秒內該力所作的功前三秒內該力所作的功，及，及 t = 2s 時的功率。時的功

7、率。i tF12Fdx（一維運動可以用標量）（一維運動可以用標量）2123288WttPF v 12 功的計算主要在于把握對功的計算主要在于把握對元功元功的分析。的分析。 不論不論力是在變力是在變還是還是位移的方向在變位移的方向在變，我們都只，我們都只抓住在任一元位移中，它們都可視為不變的，因而抓住在任一元位移中，它們都可視為不變的，因而可寫出元功，這叫做可寫出元功，這叫做微元法微元法。 建立坐標系；建立坐標系；在過程區(qū)間任選一在過程區(qū)間任選一元位移元位移；寫出寫出元功，元功，分析變量關系；分析變量關系；積分計算功積分計算功；分析結果的物理意義。分析結果的物理意義。baAdAF dr cosb

8、aFdsdAF dr coscosdddAFrFs 13 在計算變力的功時，必須知道力隨位移的函在計算變力的功時，必須知道力隨位移的函數(shù)關系，但在有些情況下力的變化比較復雜，難數(shù)關系，但在有些情況下力的變化比較復雜，難以找出這種固定的函數(shù)關系，使變力功的計算變以找出這種固定的函數(shù)關系，使變力功的計算變得復雜。得復雜。作功和物體狀態(tài)變化有什么關系？作功和物體狀態(tài)變化有什么關系？二、二、 力對物體作功，其效果是使質點的運動狀態(tài)力對物體作功，其效果是使質點的運動狀態(tài)發(fā)生變化。發(fā)生變化。141、質點的動能定理、質點的動能定理221122babbaadAmdsm dmmdtvvvv vvv 動能動能（狀

9、態(tài)狀態(tài)函數(shù)函數(shù)）22k122pEmmvtdFmdtv,bbbttaaaAF drF drFds 動能定理動能定理kkbkaAEEE 即：即：合力對質點所作的功，等于質點動能的增量。合力對質點所作的功，等于質點動能的增量。 功和動能都與功和動能都與參考系參考系有關；有關； 動能定理僅適用于動能定理僅適用于慣性系。慣性系。注意注意15 1）動能定理說明，做功可以引起物體動能的動能定理說明，做功可以引起物體動能的變化，也可以說變化，也可以說功是能量變化的量度功是能量變化的量度。 2） 功是功是過程量過程量，動能是，動能是狀態(tài)量。狀態(tài)量。 在計算復雜的外力作功時，只須求始末兩態(tài)的在計算復雜的外力作功時

10、，只須求始末兩態(tài)的動能變化，即可求出該過程的功。動能變化，即可求出該過程的功。 3） A 為合力做的功為合力做的功，而不是合力中某一個力，而不是合力中某一個力的功。的功。動能定理中的速度必須相對同一個慣性系。動能定理中的速度必須相對同一個慣性系。 4） 通過作功，質點與外界進行能量交換。通過作功，質點與外界進行能量交換。動能是質點因運動而具有的做功本領。動能是質點因運動而具有的做功本領。21222111,22PkPAEF drmvmv 即即： 162、質點系的動能定理、質點系的動能定理1m2mimexiFiniF內力可以改變質點系的總動能。內力可以改變質點系的總動能。注意注意 對質點系，對質點

11、系，有：有： 對第對第 個質點，有：個質點，有：i2022121iiiiiivmvmAA內內外外2022121iiiiivmvmA2022121iiiiiivmvmAA內內外外 質點系動能定理質點系動能定理 0kkiiEEAA內內外外kEAA 內內外外即：即：外力的功與內力的功的代數(shù)外力的功與內力的功的代數(shù)和，等于質點系總動能的增量。和，等于質點系總動能的增量。17在在計算功的過程中特別要分清計算功的過程中特別要分清研究對象。研究對象。對質點有：對質點有：)()(baiirdFAA合合但但對質點系：對質點系： 寫不出像質點那樣的簡單式子，寫不出像質點那樣的簡單式子，即，即，各力作功之和不一定等

12、于合力的功。各力作功之和不一定等于合力的功。即，即，合力作的功等于各力作功之和。合力作的功等于各力作功之和。18注意：注意：內力能改變系統(tǒng)的總動能，但不能改變系統(tǒng)內力能改變系統(tǒng)的總動能，但不能改變系統(tǒng) 的總動量。的總動量。 因為內力總是成對出現(xiàn)，而一對作用力反作用因為內力總是成對出現(xiàn)，而一對作用力反作用力的沖量為零，因而內力不能改變系統(tǒng)的動量。力的沖量為零，因而內力不能改變系統(tǒng)的動量。 但是由于質點系內各質點間可以但是由于質點系內各質點間可以有相對位移，有相對位移，一般情況下，一般情況下，內力的功不一定為零，內力的功不一定為零，所以內力作功所以內力作功可以改變質點系的總動能。可以改變質點系的總

13、動能。比如比如: 子彈射入墻中，子彈射入墻中，墻對子彈的摩擦力作負功，而子墻對子彈的摩擦力作負功，而子彈對墻的摩擦力不作功，所以彈對墻的摩擦力不作功，所以0內內A19)(2112221112rrdfrdfrdfdA 1212rdf 2112ff 1221rrr 令令：設設 與與 是質點是質點m1、m2的一對作用力反作用力。的一對作用力反作用力。12f21fdt 時間內，時間內， m1 和和m2 相對于相對于某參照系有位移某參照系有位移 和和1rd2rd 為為m1相對于相對于m2的位移。的位移。12rd1m1r12f21f1rd2rdxyzO2r2m201212rdfdA 同理：同理：2121r

14、dfdA 一對相互作用力的總功，等于其中一個質點一對相互作用力的總功，等于其中一個質點受的力，點乘其相對另一個質點的位移。受的力，點乘其相對另一個質點的位移。 為為m1相對于相對于m2的位移。的位移。12rd 由于一對由于一對相互相互作用力的功只取決于兩質點間作用力的功只取決于兩質點間的相對位移，因而與參照系的選擇無關。的相對位移，因而與參照系的選擇無關。1m1r12f21f1rd2rdxyzO2r2m21 可將其中一個質點看作靜止，而以它所在的可將其中一個質點看作靜止，而以它所在的位置為坐標原點，再計算另一質點在此坐標系中位置為坐標原點，再計算另一質點在此坐標系中運動時所受的力所作的功。運動

15、時所受的力所作的功。1m1r12f21f1rd2rdxyzO2r2m22 可以認為一個質點靜止，選其為坐標原點，可以認為一個質點靜止，選其為坐標原點，只計算此系中力對另一質點作的功即可。只計算此系中力對另一質點作的功即可。 意義：意義：兩質點間的一對力作功之和等于一個兩質點間的一對力作功之和等于一個質點受的力沿該質點相對于另一質點移動的路徑質點受的力沿該質點相對于另一質點移動的路徑所作的功。所作的功。 特點：特點：一對力作的功只決定于質點間的相對一對力作的功只決定于質點間的相對位移，和所選參考系無關。位移，和所選參考系無關。求一對力作功問題求一對力作功問題 求一個力作功問題。求一個力作功問題。

16、23312(m)2xt 例：例：一質量為一質量為 m = 2kg 的物體按的物體按作直線運動作直線運動。求：求：物體由物體由 x1 = 2m 運動到運動到 x2 = 6m的過程中的過程中外力做的功。外力做的功。解：解： 方法一：方法一：動能定理動能定理232dxtdt t = 0，x1= 2m，v0= 0t = 2s，x2= 6m，v = 6m/s2201136J22Ammvv方法二：方法二：功的定義功的定義21,xxAFdx 223d xdatdtdt v2203662Atdxtt dt 6Fmat Fma 24解：解：以以 為研究對象，受兩力：為研究對象，受兩力：mTmg 和和0TAdsm

17、grdgmAmg cos,sincos0 mglldmg0212 mAAAmgTglsin2=例：例：質量為質量為m的小球系在線的一端，線的另一端固定在的小球系在線的一端，線的另一端固定在墻壁釘子上，線長為墻壁釘子上，線長為l。拉動小球使線保持水平靜止后。拉動小球使線保持水平靜止后松手。松手。求：求：線擺下線擺下 角時小球的速率和線中的張力。角時小球的速率和線中的張力。 lgmTvddsmd 25例：例： 一均勻鏈條總長為一均勻鏈條總長為l，質量為質量為m。一部分。一部分放在桌面放在桌面上上，另一部分從桌面邊緣，另一部分從桌面邊緣下垂，下垂的長度為下垂，下垂的長度為a，設鏈設鏈條與桌面的滑動摩

18、擦系數(shù)為條與桌面的滑動摩擦系數(shù)為 ，令鏈條從靜止開始運動，令鏈條從靜止開始運動，求求：1）到鏈條離開桌面的過程中，摩擦力對鏈條做了到鏈條離開桌面的過程中，摩擦力對鏈條做了多少功？多少功？2）鏈條離開桌面時的速率是多少？鏈條離開桌面時的速率是多少？xl - x xO解：解：1）建坐標系如圖。建坐標系如圖。lalafdxxllmgrdfA)( 注意：摩擦力作負功！注意：摩擦力作負功！lxlmgf/)( 22)(2)(2 allmgxllmgla 262）對鏈條應用動能定理：對鏈條應用動能定理：20210mvAAvfPlalmgxdxlmgrdpAlalaP2)(22lalmgAf2)(2 前已得出：前已得出：2222212)(2)(mvlalmglalmg 2022121mvmvAAAfP222)()(allgallg xl - x xO27討論：討論：1）鏈條開始下垂的長度鏈條開始下垂的長度 a 應滿足條件：應滿足條件：mglamglalla)(1，2）由結果：由結果：而與總質量無關。而與總質量無關。3）該題也可以由該題也可以由功能原理功能原理求解；求解； 若桌面光滑，若桌面光滑，也可以直接由也可以直接由機械能守恒機械能守恒求解，求解， 得出：得出：