大學(xué)物理,功和能及功能原理4.1 功 動(dòng)能定理

1、12 4.1 功功 動(dòng)能定理動(dòng)能定理 4.2 保守力及保守力的功保守力及保守力的功4.3 勢(shì)能勢(shì)能 勢(shì)能曲線勢(shì)能曲線 勢(shì)能梯度勢(shì)能梯度4.4 功能原理功能原理 機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律 一、一、 掌握掌握功的概念，能計(jì)算變力的功，功的概念，能計(jì)算變力的功，理解理解保守力作功的特點(diǎn)及勢(shì)能的概念，會(huì)計(jì)算保守力作功的特點(diǎn)及勢(shì)能的概念，會(huì)計(jì)算萬有引力、重力和彈性力的勢(shì)能。萬有引力、重力和彈性力的勢(shì)能。 二、二、 掌握掌握動(dòng)能定理、功能原理和機(jī)械能動(dòng)能定理、功能原理和機(jī)械能守恒定律，守恒定律，掌握掌握運(yùn)用守恒定律分析問題的思想運(yùn)用守恒定律分析問題的思想和方法。和方法。3重點(diǎn)：重點(diǎn)：功、勢(shì)能的概念及其

2、計(jì)算；功、勢(shì)能的概念及其計(jì)算；功和能的基本規(guī)律（動(dòng)能定理、功能原理、功和能的基本規(guī)律（動(dòng)能定理、功能原理、機(jī)械能守恒定律）及應(yīng)用機(jī)械能守恒定律）及應(yīng)用難點(diǎn)：難點(diǎn)：變力的功的計(jì)算；變力的功的計(jì)算；勢(shì)能概念的正確理解；勢(shì)能概念的正確理解；應(yīng)用功能規(guī)律解題時(shí)，系統(tǒng)的劃分和相應(yīng)規(guī)律的應(yīng)用功能規(guī)律解題時(shí)，系統(tǒng)的劃分和相應(yīng)規(guī)律的正確應(yīng)用。正確應(yīng)用。45cos |AFr rF位移無限小時(shí)：位移無限小時(shí)：dA 稱為稱為元功元功，是指質(zhì)點(diǎn)發(fā)生微小的位移過程中，力所作的功。是指質(zhì)點(diǎn)發(fā)生微小的位移過程中，力所作的功。dAF dr FFr 力在質(zhì)點(diǎn)位移方向的分量力在質(zhì)點(diǎn)位移方向的分量與與位移大小位移大小的乘積，即為的

3、乘積，即為。一、功一、功 coscosdddAFrFs sFd=6解決方法：解決方法：微元積分法微元積分法把路徑分成許多微小的把路徑分成許多微小的位移元位移元； 在各段位移元上質(zhì)點(diǎn)受的力可以看成是在各段位移元上質(zhì)點(diǎn)受的力可以看成是恒力恒力， 在該微過程中的在該微過程中的元功元功為：為：由由 a 移動(dòng)到移動(dòng)到 b ，力的，力的等于各段上元功的代數(shù)和，等于各段上元功的代數(shù)和， cos |dAF drFdr baAdAF dr cosbaFdsFsd baPsd=rdrdo orr 7,090d0A ,90180d0A ,90dd0FrA 說明：說明：1）功是標(biāo)量功是標(biāo)量，沒有方向，但有正負(fù)。，沒有

4、方向，但有正負(fù)。2） 功是過程量功是過程量，是力對(duì)空間的積累作用。，是力對(duì)空間的積累作用。 一般來說，功的值與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑有關(guān)。一般來說，功的值與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑有關(guān)。（如摩擦力的功）（如摩擦力的功）合力的功合力的功 各分力的功的代數(shù)和各分力的功的代數(shù)和ddiiiiAFrFrA cos |dAF drFdr rdF baP8dddxyzAFxFyFzddddrxiyjzk xyzFF iF jF k ）在直角坐標(biāo)系中功的解析式：在直角坐標(biāo)系中功的解析式：5）功的大小與參照系有關(guān)功的大小與參照系有關(guān)。例如：例如：傳送帶將箱子從低處傳送帶將箱子從低處運(yùn)到高處，運(yùn)到高處，地面上的人地面上的人看摩看摩

5、擦力作功了，而站在擦力作功了，而站在傳送帶傳送帶上的人上的人看摩擦力沒有作功?？茨Σ亮]有作功。靜靜fbaAdAF dr 9例：例：水平桌面上有質(zhì)點(diǎn)水平桌面上有質(zhì)點(diǎn) m ，桌面的摩擦系數(shù)為，桌面的摩擦系數(shù)為 。 求：求：兩種情況下摩擦力作的功。兩種情況下摩擦力作的功。 1）沿圓?。谎貓A弧；2）沿直徑沿直徑 rfAbarabd圓弧 sfbard Rmg RmgrfAbarab2d直徑解：解：mRabrfrd)()(barsfd10APt 平均功率：平均功率： 瞬時(shí)功率瞬時(shí)功率：lim0ddtAAPFtt v cosvF例：例：某質(zhì)點(diǎn)沿某質(zhì)點(diǎn)沿 x 軸作直線運(yùn)動(dòng)，受力為軸作直線運(yùn)動(dòng)，受力為求：求：

6、質(zhì)點(diǎn)從質(zhì)點(diǎn)從 移動(dòng)到移動(dòng)到 的過程中該力所做的過程中該力所做的功。的功。,)54(NixF00 xmx10 解：解：()45AF drx i dxi 100290)54(Jdxx3、功率、功率dAF dr 11解：解：AF dr tadtvv00332343000123369729Att dtt dttJvdtFtdtmF00203212tdtttdxFdtdt例：例：質(zhì)量為質(zhì)量為 2kg 的質(zhì)點(diǎn)在力的質(zhì)點(diǎn)在力 (N) 的作用下，的作用下，從靜止出發(fā)，沿從靜止出發(fā)，沿 x 軸正向作直線運(yùn)動(dòng)。軸正向作直線運(yùn)動(dòng)。求求：前三秒內(nèi)該力所作的功前三秒內(nèi)該力所作的功，及，及 t = 2s 時(shí)的功率。時(shí)的功

7、率。i tF12Fdx（一維運(yùn)動(dòng)可以用標(biāo)量）（一維運(yùn)動(dòng)可以用標(biāo)量）2123288WttPF v 12 功的計(jì)算主要在于把握對(duì)功的計(jì)算主要在于把握對(duì)元功元功的分析。的分析。 不論不論力是在變力是在變還是還是位移的方向在變位移的方向在變，我們都只，我們都只抓住在任一元位移中，它們都可視為不變的，因而抓住在任一元位移中，它們都可視為不變的，因而可寫出元功，這叫做可寫出元功，這叫做微元法微元法。 建立坐標(biāo)系；建立坐標(biāo)系；在過程區(qū)間任選一在過程區(qū)間任選一元位移元位移；寫出寫出元功，元功，分析變量關(guān)系；分析變量關(guān)系；積分計(jì)算功積分計(jì)算功；分析結(jié)果的物理意義。分析結(jié)果的物理意義。baAdAF dr cosb

8、aFdsdAF dr coscosdddAFrFs 13 在計(jì)算變力的功時(shí)，必須知道力隨位移的函在計(jì)算變力的功時(shí)，必須知道力隨位移的函數(shù)關(guān)系，但在有些情況下力的變化比較復(fù)雜，難數(shù)關(guān)系，但在有些情況下力的變化比較復(fù)雜，難以找出這種固定的函數(shù)關(guān)系，使變力功的計(jì)算變以找出這種固定的函數(shù)關(guān)系，使變力功的計(jì)算變得復(fù)雜。得復(fù)雜。作功和物體狀態(tài)變化有什么關(guān)系？作功和物體狀態(tài)變化有什么關(guān)系？二、二、 力對(duì)物體作功，其效果是使質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)力對(duì)物體作功，其效果是使質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化。發(fā)生變化。141、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理221122babbaadAmdsm dmmdtvvvv vvv 動(dòng)能動(dòng)能（狀

9、態(tài)狀態(tài)函數(shù)函數(shù)）22k122pEmmvtdFmdtv,bbbttaaaAF drF drFds 動(dòng)能定理動(dòng)能定理kkbkaAEEE 即：即：合力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功，等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量。合力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功，等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量。 功和動(dòng)能都與功和動(dòng)能都與參考系參考系有關(guān)；有關(guān)； 動(dòng)能定理僅適用于動(dòng)能定理僅適用于慣性系。慣性系。注意注意15 1）動(dòng)能定理說明，做功可以引起物體動(dòng)能的動(dòng)能定理說明，做功可以引起物體動(dòng)能的變化，也可以說變化，也可以說功是能量變化的量度功是能量變化的量度。 2） 功是功是過程量過程量，動(dòng)能是，動(dòng)能是狀態(tài)量。狀態(tài)量。 在計(jì)算復(fù)雜的外力作功時(shí)，只須求始末兩態(tài)的在計(jì)算復(fù)雜的外力作功時(shí)

10、，只須求始末兩態(tài)的動(dòng)能變化，即可求出該過程的功。動(dòng)能變化，即可求出該過程的功。 3） A 為合力做的功為合力做的功，而不是合力中某一個(gè)力，而不是合力中某一個(gè)力的功。的功。動(dòng)能定理中的速度必須相對(duì)同一個(gè)慣性系。動(dòng)能定理中的速度必須相對(duì)同一個(gè)慣性系。 4） 通過作功，質(zhì)點(diǎn)與外界進(jìn)行能量交換。通過作功，質(zhì)點(diǎn)與外界進(jìn)行能量交換。動(dòng)能是質(zhì)點(diǎn)因運(yùn)動(dòng)而具有的做功本領(lǐng)。動(dòng)能是質(zhì)點(diǎn)因運(yùn)動(dòng)而具有的做功本領(lǐng)。21222111,22PkPAEF drmvmv 即即： 162、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理1m2mimexiFiniF內(nèi)力可以改變質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)能。內(nèi)力可以改變質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)能。注意注意 對(duì)質(zhì)點(diǎn)系，對(duì)質(zhì)點(diǎn)

11、系，有：有： 對(duì)第對(duì)第 個(gè)質(zhì)點(diǎn)，有：個(gè)質(zhì)點(diǎn)，有：i2022121iiiiiivmvmAA內(nèi)內(nèi)外外2022121iiiiivmvmA2022121iiiiiivmvmAA內(nèi)內(nèi)外外 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理 0kkiiEEAA內(nèi)內(nèi)外外kEAA 內(nèi)內(nèi)外外即：即：外力的功與內(nèi)力的功的代數(shù)外力的功與內(nèi)力的功的代數(shù)和，等于質(zhì)點(diǎn)系總動(dòng)能的增量。和，等于質(zhì)點(diǎn)系總動(dòng)能的增量。17在在計(jì)算功的過程中特別要分清計(jì)算功的過程中特別要分清研究對(duì)象。研究對(duì)象。對(duì)質(zhì)點(diǎn)有：對(duì)質(zhì)點(diǎn)有：)()(baiirdFAA合合但但對(duì)質(zhì)點(diǎn)系：對(duì)質(zhì)點(diǎn)系： 寫不出像質(zhì)點(diǎn)那樣的簡(jiǎn)單式子，寫不出像質(zhì)點(diǎn)那樣的簡(jiǎn)單式子，即，即，各力作功之和不一定等

12、于合力的功。各力作功之和不一定等于合力的功。即，即，合力作的功等于各力作功之和。合力作的功等于各力作功之和。18注意：注意：內(nèi)力能改變系統(tǒng)的總動(dòng)能，但不能改變系統(tǒng)內(nèi)力能改變系統(tǒng)的總動(dòng)能，但不能改變系統(tǒng) 的總動(dòng)量。的總動(dòng)量。 因?yàn)閮?nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)，而一對(duì)作用力反作用因?yàn)閮?nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)，而一對(duì)作用力反作用力的沖量為零，因而內(nèi)力不能改變系統(tǒng)的動(dòng)量。力的沖量為零，因而內(nèi)力不能改變系統(tǒng)的動(dòng)量。 但是由于質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間可以但是由于質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間可以有相對(duì)位移，有相對(duì)位移，一般情況下，一般情況下，內(nèi)力的功不一定為零，內(nèi)力的功不一定為零，所以內(nèi)力作功所以內(nèi)力作功可以改變質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)能。可以改變質(zhì)點(diǎn)系的總

13、動(dòng)能。比如比如: 子彈射入墻中，子彈射入墻中，墻對(duì)子彈的摩擦力作負(fù)功，而子墻對(duì)子彈的摩擦力作負(fù)功，而子彈對(duì)墻的摩擦力不作功，所以彈對(duì)墻的摩擦力不作功，所以0內(nèi)內(nèi)A19)(2112221112rrdfrdfrdfdA 1212rdf 2112ff 1221rrr 令令：設(shè)設(shè) 與與 是質(zhì)點(diǎn)是質(zhì)點(diǎn)m1、m2的一對(duì)作用力反作用力。的一對(duì)作用力反作用力。12f21fdt 時(shí)間內(nèi)，時(shí)間內(nèi)， m1 和和m2 相對(duì)于相對(duì)于某參照系有位移某參照系有位移 和和1rd2rd 為為m1相對(duì)于相對(duì)于m2的位移。的位移。12rd1m1r12f21f1rd2rdxyzO2r2m201212rdfdA 同理：同理：2121r

14、dfdA 一對(duì)相互作用力的總功，等于其中一個(gè)質(zhì)點(diǎn)一對(duì)相互作用力的總功，等于其中一個(gè)質(zhì)點(diǎn)受的力，點(diǎn)乘其相對(duì)另一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移。受的力，點(diǎn)乘其相對(duì)另一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移。 為為m1相對(duì)于相對(duì)于m2的位移。的位移。12rd 由于一對(duì)由于一對(duì)相互相互作用力的功只取決于兩質(zhì)點(diǎn)間作用力的功只取決于兩質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)位移，因而與參照系的選擇無關(guān)。的相對(duì)位移，因而與參照系的選擇無關(guān)。1m1r12f21f1rd2rdxyzO2r2m21 可將其中一個(gè)質(zhì)點(diǎn)看作靜止，而以它所在的可將其中一個(gè)質(zhì)點(diǎn)看作靜止，而以它所在的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，再計(jì)算另一質(zhì)點(diǎn)在此坐標(biāo)系中位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，再計(jì)算另一質(zhì)點(diǎn)在此坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的力所作的功。運(yùn)動(dòng)

15、時(shí)所受的力所作的功。1m1r12f21f1rd2rdxyzO2r2m22 可以認(rèn)為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)靜止，選其為坐標(biāo)原點(diǎn)，可以認(rèn)為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)靜止，選其為坐標(biāo)原點(diǎn)，只計(jì)算此系中力對(duì)另一質(zhì)點(diǎn)作的功即可。只計(jì)算此系中力對(duì)另一質(zhì)點(diǎn)作的功即可。 意義：意義：兩質(zhì)點(diǎn)間的一對(duì)力作功之和等于一個(gè)兩質(zhì)點(diǎn)間的一對(duì)力作功之和等于一個(gè)質(zhì)點(diǎn)受的力沿該質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于另一質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)的路徑質(zhì)點(diǎn)受的力沿該質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于另一質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)的路徑所作的功。所作的功。 特點(diǎn)：特點(diǎn)：一對(duì)力作的功只決定于質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)一對(duì)力作的功只決定于質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)位移，和所選參考系無關(guān)。位移，和所選參考系無關(guān)。求一對(duì)力作功問題求一對(duì)力作功問題 求一個(gè)力作功問題。求一個(gè)力作功問題。

16、23312(m)2xt 例：例：一質(zhì)量為一質(zhì)量為 m = 2kg 的物體按的物體按作直線運(yùn)動(dòng)作直線運(yùn)動(dòng)。求：求：物體由物體由 x1 = 2m 運(yùn)動(dòng)到運(yùn)動(dòng)到 x2 = 6m的過程中的過程中外力做的功。外力做的功。解：解： 方法一：方法一：動(dòng)能定理動(dòng)能定理232dxtdt t = 0，x1= 2m，v0= 0t = 2s，x2= 6m，v = 6m/s2201136J22Ammvv方法二：方法二：功的定義功的定義21,xxAFdx 223d xdatdtdt v2203662Atdxtt dt 6Fmat Fma 24解：解：以以 為研究對(duì)象，受兩力：為研究對(duì)象，受兩力：mTmg 和和0TAdsm

17、grdgmAmg cos,sincos0 mglldmg0212 mAAAmgTglsin2=例：例：質(zhì)量為質(zhì)量為m的小球系在線的一端，線的另一端固定在的小球系在線的一端，線的另一端固定在墻壁釘子上，線長(zhǎng)為墻壁釘子上，線長(zhǎng)為l。拉動(dòng)小球使線保持水平靜止后。拉動(dòng)小球使線保持水平靜止后松手。松手。求：求：線擺下線擺下 角時(shí)小球的速率和線中的張力。角時(shí)小球的速率和線中的張力。 lgmTvddsmd 25例：例： 一均勻鏈條總長(zhǎng)為一均勻鏈條總長(zhǎng)為l，質(zhì)量為質(zhì)量為m。一部分。一部分放在桌面放在桌面上上，另一部分從桌面邊緣，另一部分從桌面邊緣下垂，下垂的長(zhǎng)度為下垂，下垂的長(zhǎng)度為a，設(shè)鏈設(shè)鏈條與桌面的滑動(dòng)摩

18、擦系數(shù)為條與桌面的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為 ，令鏈條從靜止開始運(yùn)動(dòng)，令鏈條從靜止開始運(yùn)動(dòng)，求求：1）到鏈條離開桌面的過程中，摩擦力對(duì)鏈條做了到鏈條離開桌面的過程中，摩擦力對(duì)鏈條做了多少功？多少功？2）鏈條離開桌面時(shí)的速率是多少？鏈條離開桌面時(shí)的速率是多少？xl - x xO解：解：1）建坐標(biāo)系如圖。建坐標(biāo)系如圖。lalafdxxllmgrdfA)( 注意：摩擦力作負(fù)功！注意：摩擦力作負(fù)功！lxlmgf/)( 22)(2)(2 allmgxllmgla 262）對(duì)鏈條應(yīng)用動(dòng)能定理：對(duì)鏈條應(yīng)用動(dòng)能定理：20210mvAAvfPlalmgxdxlmgrdpAlalaP2)(22lalmgAf2)(2 前已得出：前已得出：2222212)(2)(mvlalmglalmg 2022121mvmvAAAfP222)()(allgallg xl - x xO27討論：討論：1）鏈條開始下垂的長(zhǎng)度鏈條開始下垂的長(zhǎng)度 a 應(yīng)滿足條件：應(yīng)滿足條件：mglamglalla)(1，2）由結(jié)果：由結(jié)果：而與總質(zhì)量無關(guān)。而與總質(zhì)量無關(guān)。3）該題也可以由該題也可以由功能原理功能原理求解；求解； 若桌面光滑，若桌面光滑，也可以直接由也可以直接由機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒求解，求解， 得出：得出：