西北師范大學(xué)本科畢業(yè)論文數(shù)學(xué)專業(yè)

1、.西北師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）題 目 低秩矩陣的特征多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式 姓名 學(xué)號(hào) 專業(yè)年級(jí) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 2006級(jí) 指導(dǎo)教師 職 稱 2009年4月20日. v.目 錄緒論(1)1 相關(guān)概念與記號(hào)(1)1.1 概念(1)1.2 本文中相關(guān)記號(hào)(1)2 矩陣的滿秩分解(2)3 降階求特征多項(xiàng)式(3)4 降階求最小多項(xiàng)式(5)5 最小多項(xiàng)式的幾種求法及比較(9)5.1 根據(jù)特征多項(xiàng)式求最小多項(xiàng)式(9)5.2 根據(jù)不變因子求最小多項(xiàng)式 (10)5.3 根據(jù)Jordan標(biāo)準(zhǔn)形求最小多項(xiàng)式(11)5.4 根據(jù)線性相關(guān)求最小多項(xiàng)式 (12)5.5 最小多項(xiàng)式求法的綜合比較 (13)6 最小多項(xiàng)式

2、的簡(jiǎn)單應(yīng)用(14)參考文獻(xiàn) (16)低秩矩陣的特征多項(xiàng)式與最小多項(xiàng)式摘 要矩陣的特征多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式在矩陣相似、若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形、矩陣函數(shù)和矩陣方程中都有很重要的作用，因此如何求矩陣的特征多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式極為重要本文先從目前已有的矩陣的滿秩分解入手，通過(guò)特殊情況下的滿秩分解求出矩陣的特征多項(xiàng)式，再推廣到一般，從而得到了矩陣特征多項(xiàng)式的一種降階求法接著根據(jù)最小多項(xiàng)式的定義和矩陣乘法的原則，同樣得到了一種求最小多項(xiàng)式的降階公式，這樣在很大程度上簡(jiǎn)化了求低秩矩陣的特征多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式的計(jì)算量最后，本文列舉了目前已有的四種最小多項(xiàng)式的四種求法，并結(jié)合本文的最小多項(xiàng)式的求法作了一個(gè)綜合的比較【關(guān)鍵詞】矩

3、陣滿秩分解特征多項(xiàng)式最小多項(xiàng)式The Characteristic Polynomial and the Minimal Polynomialof the Low-rank MatrixAbstractThe characteristic polynomial and the minimal polynomial play a great role in the matrix similarity, Jordan canonical form, matrix function, matrix equation. So how to seek them is very important. Fi

4、rstly, from the full-rank decomposition of the matrix,we can get the characteristic polynomial in the special case of full-rank decomposition,and it is the same in the general case, so we get a method of seeking characteristic polynomial by reducing the order of the matrix. Then according to the def

5、inition of minimal polynomial of matrix and the principle of matrix multiplication,we also get a method of seeking minimal polynomial by reducing the order of the matrix.To a great extent,we have less computation about the characteristic polynomial and the minimal polynomial of the low-rank matrix.

6、Finally,we list the four exiting methods of seeking the minimal polynomial. Combining with the method of the minimal polynomial in the paper, we make a comprehensive comparison.【Key words】MatrixFull-rank decomposition Characteristic polynomial Minimal polynomial. v.引言矩陣的特征多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式是線性代數(shù)中的基本概念，它在矩陣相似

7、、若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形、矩陣函數(shù)、自動(dòng)化控制等領(lǐng)域都有重要的作用因此，如何求特征多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式至關(guān)重要關(guān)于特征多項(xiàng)式，對(duì)某些特定的矩陣（如對(duì)稱矩陣），國(guó)內(nèi)外一些學(xué)者研究了一系列求特征多項(xiàng)式的方法關(guān)于最小多項(xiàng)式求法的研究，目前主要是采用如下四種方法：第一，根據(jù)特征多項(xiàng)式的典型分解求最小多項(xiàng)式；第二，根據(jù)特征矩陣的最后一個(gè)不變因子求最小多項(xiàng)式；第三，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)形求最小多項(xiàng)式；第四，根據(jù)線性相關(guān)求最小多項(xiàng)式本文從一習(xí)題中想到：,分別是和矩陣，有結(jié)論=，那么當(dāng)時(shí)，求矩陣的特征多項(xiàng)式可以轉(zhuǎn)化成求一低階矩陣的特征多項(xiàng)式，這樣就得到了求特征多項(xiàng)式的一種降階求法同樣，我們是否也可以求出矩陣與矩陣最小多項(xiàng)式的關(guān)系呢.1

8、 相關(guān)概念與記號(hào)1.1 概念定義若A是數(shù)域上一級(jí)矩陣，是一個(gè)文字，矩陣 的行列式稱為A的特征多項(xiàng)式定義數(shù)域上次數(shù)最低的首項(xiàng)系數(shù)為1的以A為根的多項(xiàng)式稱為A的最小多項(xiàng)式定義矩陣的秩等于它的行數(shù)的矩陣稱為行滿秩矩陣定義矩陣的秩等于它的列數(shù)的矩陣稱為列滿秩矩陣定義若階矩陣A的秩為，為列滿秩矩陣，為行滿秩矩陣，若有A=BC，則稱BC為A的滿秩分解1.2 本文中相關(guān)記號(hào)表示矩陣的最小多項(xiàng)式表示矩陣的特征多項(xiàng)式表示矩陣的秩2 矩陣的滿秩分解用矩陣的行列初等變可將矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形=(其中是階單位矩陣，），那么存在可逆矩陣與，使得，則，就得到了矩陣的分解，我們有如下定理：定理設(shè)階矩陣的秩為，證明：存在列滿秩矩陣

9、和行滿秩矩陣，使得證明任一階矩陣都可通過(guò)初等行列變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，其中是階單位矩陣，則存在階可逆矩陣和，使得，即（1）由于是由的前列構(gòu)成的矩陣，設(shè)（，）其中與分別是矩陣與（）矩陣，則 （2）而是可逆的，則的前列線性無(wú)關(guān)，故，即是列滿秩矩陣同理，令其中與分別是矩陣與（）矩陣，則 （3）而是可逆的，則的前行線性無(wú)關(guān)，故，即是行滿秩矩陣由（），（2）和（3）可得的滿秩分解式 這樣，我們就將任一矩陣滿秩分解為兩個(gè)矩陣的乘積3 降階求特征多項(xiàng)式我們先從滿秩分解中的特殊情況=為標(biāo)準(zhǔn)形的時(shí)候來(lái)求其特征多項(xiàng)式設(shè)行滿秩矩陣=（，），其中是階矩陣，則由=得= =而=，則=這樣，當(dāng)時(shí)，求矩陣的特征多項(xiàng)式就轉(zhuǎn)化成求階的

10、的特征多項(xiàng)式，給出了求特征多項(xiàng)式的一種降階求法當(dāng)=為標(biāo)準(zhǔn)形的時(shí)候可以降階求特征多項(xiàng)式，那么不是標(biāo)準(zhǔn)形時(shí)是否也可以采用同樣的方式降階求特征多項(xiàng)式呢.引理相似矩陣具有相同的特征多項(xiàng)式定理設(shè)秩為的階矩陣的滿秩分解為，證明：=證明由于秩為的矩陣可化為標(biāo)準(zhǔn)形，故存在階可逆矩陣和階可逆矩陣，使得= （4）令矩陣=(,) （5）其中是階矩陣用（4）式兩邊分別左乘（5）式兩邊得=由引理得= （6）用樣，用（5）式兩邊分別左乘（4）式兩邊得 =故=（7）則由（6）式和（7）得，特征多項(xiàng)式的降階公式= (8) （8）中的為列滿秩矩陣，為行滿秩矩陣，那么是否對(duì)任意的為矩陣，為矩陣，都有=成立呢.推論 對(duì)任意的為矩陣

11、，為矩陣，都有=證明因?yàn)?所以= = （9） 又因?yàn)?所以= = （10）綜合（9）和（10）式有=即=例1 求階對(duì)稱矩陣=的特征多項(xiàng)式解 = = =（）4 降階求最小多項(xiàng)式之前，我們由的滿秩分解，找到了的特征多項(xiàng)式與的特征多項(xiàng)式的關(guān)系，從而找到了特征多項(xiàng)式的降階公式那么，由，是否還能發(fā)現(xiàn)的最小多項(xiàng)式和的最小多項(xiàng)式之間的關(guān)系呢.定理3 設(shè)秩為的階矩陣的滿秩分解為，令，那么證明由于，則=, (11)由于，則是階矩陣，且對(duì)任一多項(xiàng)式, 由（11）式可得多項(xiàng)式與之間的關(guān)系式： （12）由(12)式可得的零化多項(xiàng)式與的零化多項(xiàng)式之間的關(guān)系： 若，則必有由此可進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)的最小多項(xiàng)式與的最小多項(xiàng)式之間的關(guān)

12、系令=，則，故有=即是的零化多項(xiàng)式因此，整除，即（13） 若令=是的特征多項(xiàng)式，則，故有 而，故有（14）綜合（13）式和（14）式，我們有 這樣我們就找到了通過(guò)求的最小多項(xiàng)式來(lái)求的最小多項(xiàng)式例2 求矩陣的特征多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式解用行初等變換將化為階梯矩陣則的秩為2，令則是的行滿秩矩陣，其左邊的子塊是階單位矩陣令可知=則的特征多項(xiàng)式因?yàn)椋乙淮味囗?xiàng)式都是的非零化多項(xiàng)式，故的次數(shù)必大于1，所以有又因是非滿秩的，故零是它的一個(gè)特征值，所以必須包含一次因式，由此可以驗(yàn)證的最小多項(xiàng)式例3 求矩陣的特征多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式解則，令令其中的1，2，4列組成單位矩陣，則有由于，則=（）（）故由于，故或，易證得

13、，而是非滿秩的，含有一次因式，因此，5 最小多項(xiàng)式的幾種求法及比較5.1 根據(jù)特征多項(xiàng)式求最小多項(xiàng)式令其中，互異，均大于或等于1，則必有 其中1，,這樣我們得到了求的方法：先求出，再將分解成不同的一次因式的冪積，由低次向高次逐個(gè)試驗(yàn)，求出使零化的次數(shù)最低的這個(gè)冪積例4 設(shè)，求的最小多項(xiàng)式解的特征多項(xiàng)式為設(shè)的最小多項(xiàng)式為，因?yàn)樗砸虼?，的最小多?xiàng)式為5.2 根據(jù)不變因子求最小多項(xiàng)式 我們知道，方陣的最小多項(xiàng)式等于的特征矩陣最后一個(gè)不變因子，因此，當(dāng)我們把化為標(biāo)準(zhǔn)形后就可以求出的最小多項(xiàng)式例5 求矩陣的最小多項(xiàng)式解故的最小多項(xiàng)式5.3 根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)形求最小多項(xiàng)式矩陣的最小多項(xiàng)式，其中是的相異的特征值，

14、是在的標(biāo)準(zhǔn)形中包含的各分塊的最大階數(shù)例6 求矩陣的最小多項(xiàng)式解由的特征多項(xiàng)式知有兩個(gè)不同的特征值：，（均為三重的）容易求得，所以對(duì)于的特征向量?jī)H有一個(gè)，這表示對(duì)應(yīng)于的塊的數(shù)目是1 又由于，對(duì)應(yīng)于的特征向量有2個(gè)，因此對(duì)應(yīng)于的塊共有2塊故的標(biāo)準(zhǔn)形為可見(jiàn)中包含的塊的階數(shù)，包含的塊的最大階數(shù)，因此的最小多項(xiàng)式為5.4 根據(jù)線性相關(guān)求最小多項(xiàng)式設(shè)為上任一階矩陣，可看作為維向量空間中的向量，進(jìn)而矩陣序列可看作為中的一個(gè)向量組，由哈密頓凱萊定理可知，它們一定是線性相關(guān)的令為使矩陣序列是線性相關(guān)的最小次數(shù)，即線性相關(guān)，則存在個(gè)不全為零的數(shù)，使得其中，否則，這與對(duì)的假設(shè)矛盾，所以記，則如果定義多項(xiàng)式為那么一定

15、有且沒(méi)有次數(shù)小于的非零多項(xiàng)式零化，故為的最小多項(xiàng)式以上實(shí)際上給出了求的最小多項(xiàng)式的一種方法讓從開(kāi)始，依次從矩陣方程，求解首次有解時(shí)，解對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式為的最小多項(xiàng)式例7 求矩陣的最小多項(xiàng)式解令，顯然無(wú)解。令，展開(kāi)即為解得與無(wú)解令，展開(kāi)即為解得 故矩陣的最小多項(xiàng)式為5.5 最小多項(xiàng)式求法的綜合比較方法一是根據(jù)特征多項(xiàng)式的典型分解，先求出特征多項(xiàng)式，再將特征多項(xiàng)式分解成不同一次因式的冪積，由低次向高次逐個(gè)試驗(yàn)，來(lái)求出使零化的次數(shù)最低的這個(gè)冪積，這個(gè)方法是根據(jù)最小多項(xiàng)式的定義來(lái)求的，也是最原始最基本的方法，在逐個(gè)的試驗(yàn)過(guò)程中計(jì)算量比較大方法二是應(yīng)用的定理特征矩陣最后一個(gè)不變因子即矩陣的最小多項(xiàng)式，這個(gè)方

16、法總體相比前面的方法一來(lái)的簡(jiǎn)便快捷，它不需要求出特征多項(xiàng)式，只是在對(duì)特征矩陣作初等行列變換的過(guò)程中比較繁瑣方法三是應(yīng)用了標(biāo)準(zhǔn)形的一個(gè)定理，先求出特征多項(xiàng)式，再算出特征值對(duì)應(yīng)的矩陣的秩,得到矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形，即可求出矩陣的最小多項(xiàng)式，運(yùn)用起來(lái)比較方便，但是對(duì)這個(gè)定理的理解有些難度方法四是根據(jù)線性相關(guān)來(lái)求最小多項(xiàng)式，它不需要算出特征多項(xiàng)式，但是涉及到矩陣乘積的運(yùn)算，且同樣需要逐個(gè)試驗(yàn)，總體很復(fù)雜本文研究得到的方法依然是建立在最小多項(xiàng)式的定義基礎(chǔ)上來(lái)求，但降低了逐個(gè)試驗(yàn)的范圍，在需要算出特征多項(xiàng)式的基礎(chǔ)上，本文研究的方法要來(lái)的快捷和簡(jiǎn)便不管哪一種方法，它讓我們更加清晰的了解最小多項(xiàng)式，并更多的認(rèn)識(shí)到和最

17、小多項(xiàng)式相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系，擴(kuò)寬了我們的視野6 最小多項(xiàng)式的簡(jiǎn)單應(yīng)用已知矩陣和多項(xiàng)式，求設(shè)是任意多項(xiàng)式，為的最小多項(xiàng)式，用除，得商式和余式，即，其中或者的次數(shù)小于的次數(shù)。由于，故得這樣根據(jù)來(lái)求，要比直接計(jì)算簡(jiǎn)單些例8 設(shè)，其中矩陣，求解的特征多項(xiàng)式=由于沒(méi)有重根，故根據(jù)帶余除法，可計(jì)算得故=結(jié)論本文通過(guò)滿秩分解，得到了特征多項(xiàng)式的降階公式=，再根據(jù)最小多項(xiàng)式的定義和矩陣乘法的原則，得到了最小多項(xiàng)式的降階求法，在一定程度上降低了求矩陣特征多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式的計(jì)算量本文同時(shí)將目前主要的幾種最小多項(xiàng)式的求法作了列舉和比較，并給出了最小多項(xiàng)式的簡(jiǎn)單應(yīng)用參考文獻(xiàn)1 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組高

18、等代數(shù)M第三版：高等教育出版社，20033283552 邱森，朱林生.高等代數(shù)探究性課題集M第一版：武漢大學(xué)出版社, 2008.86933 蘇育才, 姜翠波，張躍輝.矩陣?yán)碚揗第一版：科學(xué)出版社, 2006.821014 吳昌愨, 魏洪增矩陣?yán)碚撆c方法M第一版：電子工業(yè)出版社, 2006.46685 劉丁酉.矩陣分析M第一版：武漢大學(xué)出版社,200378986 史榮昌, 魏豐矩陣分析M第二版：北京理工大學(xué)出版社, 2005.721087 趙禮峰矩陣最小多項(xiàng)式求法與探討J淮北煤師院學(xué)報(bào), 1993,，14(3)：60658 夏必臘方陣最小多項(xiàng)式的性質(zhì)與求法J高等數(shù)學(xué)研究, 2006, 6(3)：34399 高金泰矩陣最小多項(xiàng)式的性質(zhì)及它的一種初等求法J錦州師范學(xué)院學(xué)報(bào), 2002, 23(3)：606110 王蓮花，王建平，李艷華等最小多項(xiàng)式的性質(zhì)及其應(yīng)用J河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2004, 23(2)：121311 BYu,T Kitamoto.The chance method for computing the characteristic polynomialof a polynomial ma