第4章最優(yōu)資產(chǎn)組合選擇

1、第第4 4章章 最優(yōu)資產(chǎn)組合選擇最優(yōu)資產(chǎn)組合選擇第一節(jié)第一節(jié) 資產(chǎn)組合的有效邊界資產(chǎn)組合的有效邊界一、一個無風險資產(chǎn)與一個風險資產(chǎn)的組合假設(shè)投資者投資到風險資產(chǎn)的財富比例為w，投資到無風險資產(chǎn)的財富比例為1-w，則投資組合的期望收益和標準差可以寫成如下形式：進而容易得到投資組合期望收益與標準差之間的關(guān)系： 上式就是當市場中只有一個風險資產(chǎn)和一個風險資產(chǎn)的時候，資產(chǎn)組合所有可能的風險-收益集合，又稱為投資組合可行集。 (1),pfpE rwE rw rw fpfpE rrE rrv 在“期望收益-標準差”平面中對應著一條直線，穿過無風險資產(chǎn) rf 和風險資產(chǎn)r，我們稱這條直線為資本配置線（Cap

2、ital Allocation Line）v資本配置線的斜率等于資產(chǎn)組合每增加以單位標準差所增加的期望收益，也即每單位額外風險的額外收益。因此，我們有時候也將這一斜率稱為報酬與波動性比率 fpfpE rrE rrv一般來講，存款利率要低于貸款利率。如果把存款利率視為無風險收益率，那么投資者的貸款利率就要高于無風險利率。此時，資本配置線就變成一條折線。二、兩個風險資產(chǎn)的組合假設(shè)市場中的資產(chǎn)是兩個風險資產(chǎn)，例如一個股票和一個公司債券，且投資到股票上的財富比例為w，則投資組合的期望收益和標準差為：同樣，容易得到，兩個風險資產(chǎn)構(gòu)成的資產(chǎn)組合的期望和標準差之間的額關(guān)系式： 其中： 222222222,(

3、1)(1)2 (1)( ,)(1)2 (1)pSBpSBSBSBS BSBE rwE rw E rwwww Cov r rwwww 22()()pppaErbE rc 22,222,22222,22222SBS BSBSBSSBBSBS BSBSBBSSBBSS BSBSBaE rE rE rE rE rE rbE rE rErErE rE rcE rE r v情形一， 此時，兩個資產(chǎn)的收益率是完全正相關(guān)的，我們?nèi)菀椎玫剑簐情形二， 此時，兩個資產(chǎn)的收益率是完全負相關(guān)的，類似可以得到： ,1S B 22(1)(1),01()PSBpSBSBpPBBSBwwwwwE rE rE rE r如果 2

4、2(1)(),(),PSBSBBSBBSBSBpSBBSBBSBSBwwE rE rE rwE rE rE rE rw當時當時,1S B v情形三， 此時，在期望-標準差平面中對應著兩條雙曲線。考慮到經(jīng)濟含義，我們只需考慮坐標軸第一象限內(nèi)的部分：v在情形二和情形三中，我們可以根據(jù)最小方差點將可行集分為兩個部分：位于最小方差點上方的部分（SE1和SE2）和位于最小方差點下方的部分（E1B和E2B）。對于風險規(guī)避的投資者而言，只會選擇最小方差點上方的資產(chǎn)組合，我們稱這部分資產(chǎn)組合為全部資產(chǎn)組合的效率邊界（Efficient Frontier）。,11S B 三、一個無風險資產(chǎn)與兩個風險資產(chǎn)的組合假

5、設(shè)兩個資產(chǎn)的投資權(quán)重分為w1和w2，無風險資產(chǎn)的投資權(quán)重為1-w1-w2。兩個風險資產(chǎn)構(gòu)成一個風險資產(chǎn)組合，三個資產(chǎn)構(gòu)成的投資組合可行集等價于一個風險資產(chǎn)組合與一個無風險資產(chǎn)構(gòu)成的可行集。隨著w1和w2的變化，風險資產(chǎn)的期望收益和方差并不是確定的值，而是不斷變化的。給定w1和w2的某一比例k，在期望收益-方差平面中就對應著一個風險資產(chǎn)組合，該組合與無風險資產(chǎn)的連線形成了一條資本配置線，這條資產(chǎn)配置線就是市場中存在三個資產(chǎn)時的投資組合可行集合。我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)，在所有資本配置線中，斜率最高的資本配置線在相同標準水平下?lián)碛凶畲蟮钠谕找媛剩布磁c風險資產(chǎn)組合效率邊界相切的一條線，我們稱之為最有資本配置

6、線，相應的切點組合P0被稱為最優(yōu)風險資產(chǎn)組合。第二節(jié)第二節(jié) 最優(yōu)資產(chǎn)組合選擇最優(yōu)資產(chǎn)組合選擇上一節(jié)中我們確定了市場的投資可行集。投資者接下來就是確定在可行集中進行資產(chǎn)組合的選擇。對投資者的個人特征和行為準則做幾個假定：v投資者都是風險規(guī)避的，即在收益相同的條件下，投資者會選擇風險最低的投資組合。v投資者在最有資產(chǎn)組合的選擇中只關(guān)心資產(chǎn)的均值、方差以及協(xié)方差。v最有資產(chǎn)組合就是使投資者效用達到最大的資產(chǎn)組合，換句話說，投資者在資產(chǎn)組合的選擇過程中遵循效用最大化原則。一、不同市場環(huán)境下最優(yōu)資產(chǎn)組合的選擇定義效用為收益率的均值和標準差的函數(shù)，即v給定效用水平 ，在期望值-標準差平面中 就是投資者的無

7、差異曲線。v對于風險規(guī)避的投資者而言，期望收益的增加會提高投資者效用水平，標準差或者風險水平的增大則會降低效用水平，因此有：v在期望值-標準差平面中，無差異曲線就是一條向右上傾斜的曲線，并且左上方的無差異曲線代表的效用高水平要高于右下方無差異曲線的效用水平。v給定投資者的效用函數(shù) ，當風險和期望的邊際替代率是遞減的時候，無差異曲線就是凸向原點的。 ( ,),( )UUE rVar r 其中U0,0UU( ,)UU ( ,)UU 一個無風險資產(chǎn)和一個風險資產(chǎn)v此時，投資組合可行集就是通過無風險資產(chǎn)和風險資產(chǎn)的資本配置線。給定投資者的效用函數(shù)，我們可以通過描述不同效用水平下的無差異曲線，得到投資者

8、的最優(yōu)投資組合。v不同的投資者風險規(guī)避程度是不同的，因而在風險和收益之間的權(quán)衡也存在差異，對于風險規(guī)避程度較高的投資者而言，會將財富更多地投入到無風險資產(chǎn)中，從而獲得較低風險水平的資產(chǎn)組合。兩個風險資產(chǎn)v當市場中存在兩個風險資產(chǎn)時，供投資者選擇的有效資產(chǎn)組合就是上圖中的雙曲線上半部分的效率邊界。隨著無差異曲線向左上方移動，兩者相切的切點即為最優(yōu)資產(chǎn)組合。v不同投資者無差異曲線的形狀不同，與效率邊界的切點位置也不同。對于風險規(guī)避程度較高的投資者而言，他們會選擇效率邊界左側(cè)、風險較低的資產(chǎn)組合。一個無風險資產(chǎn)和兩個風險資產(chǎn)v當市場存在一個無風險和兩個風險資產(chǎn)時，投資者會在兩個風險資產(chǎn)構(gòu)成的風險資產(chǎn)

9、組合和無風險資產(chǎn)之間進行財富分配。v在所有通過無風險資產(chǎn)的資本配置線中，與效率邊界相切的資本配置線在相同風險水平下?lián)碛凶畲蟮钠谕找?，因此對于所有的投資者來說，他們都會在這條資本配置線上進行最優(yōu)資產(chǎn)組合的選擇。最優(yōu)資產(chǎn)組合就是無差異曲線與資本配置線相切的點。二、分離定理分離定理（Separation Theorem）：當市場中存在無風險資產(chǎn)和多個風險資產(chǎn)的時候，只要投資者是風險規(guī)避者，不管他具體的效用函數(shù)如何，他們選擇的風險資產(chǎn)組合都是一樣的，也就是無風險資產(chǎn)與效率邊界相切的P點。投資者的效用函數(shù)或者說風險規(guī)避程度只決定了他持有的無風險資產(chǎn)和風險資產(chǎn)組合P的比例。根據(jù)這一定理，投資組合的選擇過

10、程可以分為兩個階段：v首先，投資者要根據(jù)各風險資產(chǎn)的期望收益、方差以及協(xié)方差確定最優(yōu)風險資產(chǎn)組合。v之后，投資者在確定了最優(yōu)風險資產(chǎn)組合的基礎(chǔ)上，根據(jù)自身的風險規(guī)避程度確定投資在最有風險資產(chǎn)組合和無風險資產(chǎn)上的比例，從而得到最終的最優(yōu)資產(chǎn)組合。第三節(jié)第三節(jié) 馬科維茨資產(chǎn)組合選擇模型馬科維茨資產(chǎn)組合選擇模型一、馬科維茨資產(chǎn)組合選擇模型Markowitz（1952）的資產(chǎn)選擇模型考察的是存在多個風險資產(chǎn)時，投資者最優(yōu)資產(chǎn)組合的選擇。邊界資產(chǎn)組合（Frontier Portfolio）：如果一個資產(chǎn)組合在其期望收益相同的資產(chǎn)組合中擁有最小的方差，我們就稱其為邊界資產(chǎn)組合，所有邊界資產(chǎn)組合構(gòu)成的資產(chǎn)組

11、合集構(gòu)成一個投資組合邊界（Portfolio Frontier）。Markowitz資產(chǎn)組合模型的假設(shè)：v市場中存在N=2個風險資產(chǎn)。每個資產(chǎn)的方差是有限的，沒資產(chǎn)的期望收益率都是不相等的，且各資產(chǎn)的回報率是線性獨立的（Linearly Independent）。v投資者是風險規(guī)避的，在收益相等情況下，投資者會選擇風險最低的投資組合。v投資期限為一期，在期初時，投資者按照效用最大化的原則進行資產(chǎn)組合的選擇。v市場是完善的，無交易成本，且風險資產(chǎn)可以無限細分，投資者還可以對風險資產(chǎn)進行賣空操作。v投資者在最有資產(chǎn)最有資產(chǎn)組合的選擇過程中，只關(guān)心風險資產(chǎn)的均值、方差以及不同資產(chǎn)間的協(xié)方差。在以上假

12、設(shè)下，最有資產(chǎn)組合的選擇問題就可以寫成如下優(yōu)化問題：v其中，w是風險資產(chǎn)組合中各資產(chǎn)的權(quán)重構(gòu)成的向量；V為風險資產(chǎn)收益率的方差協(xié)方差舉證；e為風險資產(chǎn)組合中各資產(chǎn)期望收益率構(gòu)成的向量；1為單位向量。v為了解這個最優(yōu)化問題，構(gòu)造Lagrange函數(shù)如下： 1min2. .11wpw Vws t w eE rw , ,1min112pww VwE rw ew v該最優(yōu)化問題的一階條件為：v我們?nèi)菀浊蟮?其中： 100110pdLVwedwdLE rw eddLwd ppCE rADBAE rD111121111AV ee VBe V eCVDBCAv將上述答案帶回原式，得到最優(yōu)資產(chǎn)組合的權(quán)重：v其

13、中，g和h為兩個一維向量，其表達式分別為v從上式可以看出，如果一個邊界組合的期望收益率等于0，那么這一資產(chǎn)組合中各資產(chǎn)的權(quán)重就是g。如果一個邊界組合的期望收益率等于1，組合中各項資產(chǎn)的權(quán)重就是g+h，因此，g和g+h就對應著投資組合邊界上兩個邊界組合。v事實上，投資組合邊界中任意資產(chǎn)組合都可以由任意兩個期望收益率不相等的邊界組合按照一定權(quán)重構(gòu)建出來。 PpwghE r11111(1)1()1gB VA VeDhC VeA VD二、存在無風險資產(chǎn)時的最優(yōu)資產(chǎn)組合選擇Tobin（1958a,1958b）對Markowitz的模型進行了改進，Tobin假定市場中除了N個風險資產(chǎn)外，還存在一個無風險資

14、產(chǎn)，投資者可以按照無風險資產(chǎn)收益率rf借入或者借出資金。v此時，最優(yōu)化問題就變成如下形式： 其中，w是風險資產(chǎn)的投資權(quán)重，1-w1則是無風險資產(chǎn)的投資權(quán)重。v通過構(gòu)造Lagrange函數(shù)，最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為：v該優(yōu)化問題的一階條件為：v結(jié)合約束條件：v容易得到最優(yōu)資產(chǎn)組合的權(quán)重：v其中， 1min2. . (11)wfpw Vwst w ewrE r,1min(11)2pfww VwE rw ewr1fVwer 1ffprw erE r 1(1 )fPfE rrwVerH12(1 )(1 )2ffffHerVerBArCrv進而將權(quán)重表達式帶入目標函數(shù)中，我們得到最優(yōu)資產(chǎn)組合的方差v上述兩個式子

15、各自對應著期望收益-標準差平面上一條從（0，rf）發(fā)出的射線。當rf的取值不同時，這兩條射線與風險資產(chǎn)可行集的相對位置也會發(fā)生變化。 pfpfppfpfE rrE rrHrE rrE rrH如果如果第四節(jié)第四節(jié) 資產(chǎn)組合風險分散化資產(chǎn)組合風險分散化一、資產(chǎn)收益率的相關(guān)性與資產(chǎn)組合的風險分散當存在兩個風險資產(chǎn)的時候，資產(chǎn)組合的期望收益等于組合中每個資產(chǎn)期望收益的加權(quán)平均值，即：但是資產(chǎn)組合的方差并不是兩個資產(chǎn)各自方差的加權(quán)平均值，而是：可以看出，給定兩項資產(chǎn)的期望收益率，如果這兩項資產(chǎn)收益率的協(xié)方差是負的，那么資產(chǎn)組合的方差就比較小。v只要兩項資產(chǎn)的相關(guān)系數(shù)不等于1，也即只要兩項資產(chǎn)不是完全正相

16、關(guān)，資產(chǎn)組合的標準差就低于每個證券標準差的加權(quán)平均值。由它們組成的資產(chǎn)組合的風險-收益機會總是猶豫資產(chǎn)組合中各資產(chǎn)單獨的風險-收益機會。 1112(1)pE rw E rw E r22222112212122,Pwww w Cov r r 資產(chǎn)組合包含N個風險資產(chǎn)的情況v該資產(chǎn)組合的方差為v可以看出，資產(chǎn)組合的風險可以分為兩個部分：每個資產(chǎn)的方差和不同資產(chǎn)之間的協(xié)方差，前者反映了每個資產(chǎn)的風險狀況對資產(chǎn)組合的貢獻，后者則是不同資產(chǎn)相互作用對組合風險的影響。v上述矩陣形式中，對角線上是每個資產(chǎn)收益率的方差，矩陣其他位置上的元素則是不同資產(chǎn)收益率的協(xié)方差。v當資產(chǎn)組合有N個風險資產(chǎn)時，方差部分共N項，而協(xié)方差部分則有N2-N項。當N較大時，協(xié)方差項目將遠遠超過方差項目。此時，資產(chǎn)組合的風險主要取決于資產(chǎn)收益率的協(xié)方差的大小。22211NNNPiiijijiij iwww11121NPNNNw Vwwwv假設(shè)N項資產(chǎn)以相同比例構(gòu)成資產(chǎn)組合，即每項資產(chǎn)的權(quán)重均為1/N，而且每項資產(chǎn)的方差都等于2，不同資產(chǎn)之間的相關(guān)系數(shù)等于,則資產(chǎn)組合的方差即為：v當N趨于無窮大的時候，方差部分趨于零，協(xié)