Lec07－立體投影、平面截平面立體

1、1內(nèi)內(nèi) 容容o立體的投影立體的投影o基本幾何體的投影基本幾何體的投影n曲面立體曲面立體o截交線(xiàn)截交線(xiàn)o平面截平面立體平面截平面立體立體的投影 3V VW WH H 立體的投影立體的投影，實(shí)質(zhì)上是構(gòu)成該，實(shí)質(zhì)上是構(gòu)成該立體的所有立體的所有表面表面的投影總和。的投影總和。4平面立體平面立體曲面立體曲面立體常見(jiàn)的基本幾何體常見(jiàn)的基本幾何體棱柱棱柱棱錐棱錐圓柱圓柱圓錐圓錐圓球圓球圓環(huán)圓環(huán)5一、一、基本幾何體的投影基本幾何體的投影o平面立體（棱柱、棱錐）平面立體（棱柱、棱錐）6 六棱柱的兩底面為水六棱柱的兩底面為水平面，平面，H H投影中上下重影并投影中上下重影并反映實(shí)形。前后兩側(cè)面是反映實(shí)形。前后兩側(cè)

2、面是正平面，正平面，V V投影中前后重影投影中前后重影并反映實(shí)形，其余四個(gè)側(cè)并反映實(shí)形，其余四個(gè)側(cè)面是鉛垂面，水平投影都面是鉛垂面，水平投影都積聚成直線(xiàn)，而另兩個(gè)投積聚成直線(xiàn)，而另兩個(gè)投影為類(lèi)似形。影為類(lèi)似形。（1 1）棱柱的三投影）棱柱的三投影1.1.棱柱：棱柱：棱線(xiàn)相互平行棱線(xiàn)相互平行V V水平面水平面正平面正平面鉛垂面鉛垂面7點(diǎn)的可見(jiàn)性：點(diǎn)的可見(jiàn)性： 若點(diǎn)所在平面的投影可若點(diǎn)所在平面的投影可見(jiàn)，點(diǎn)的投影也可見(jiàn)；若見(jiàn)，點(diǎn)的投影也可見(jiàn)；若平面的投影積聚成直線(xiàn)，平面的投影積聚成直線(xiàn)，點(diǎn)的投影也為可見(jiàn)。對(duì)不點(diǎn)的投影也為可見(jiàn)。對(duì)不可見(jiàn)投影加上括號(hào)。可見(jiàn)投影加上括號(hào)。 由于棱柱的表面都是平面，由于棱

3、柱的表面都是平面，且各表面都有積聚性。所以且各表面都有積聚性。所以在棱柱的表面上取點(diǎn)利用積在棱柱的表面上取點(diǎn)利用積聚性求解。聚性求解。（2 2）棱柱棱柱表面上取點(diǎn)表面上取點(diǎn) a a a (b ) b b 8 如圖，棱錐底面如圖，棱錐底面ABCABC是是水平面，在水平面，在H H投影上反映實(shí)投影上反映實(shí)形。形。棱線(xiàn)棱線(xiàn)ACAC垂直于垂直于W W面，所面，所以側(cè)面以側(cè)面SACSAC為側(cè)垂面，其為側(cè)垂面，其W W投影積聚成直線(xiàn)投影積聚成直線(xiàn)。棱線(xiàn)。棱線(xiàn)SBSB平行于平行于W W面，其面，其W W投影反映投影反映實(shí)長(zhǎng)，另兩個(gè)側(cè)面為一般實(shí)長(zhǎng)，另兩個(gè)側(cè)面為一般位置平面，各投影均為類(lèi)位置平面，各投影均為類(lèi)似

4、形。似形。 s s （1 1） 棱錐的三投影棱錐的三投影 b abc a (c )b s A AB BC CS S a c 2.2.棱錐：棱錐：棱線(xiàn)棱線(xiàn)交于一點(diǎn)交于一點(diǎn)W W9（2 2）棱錐表面上取點(diǎn)）棱錐表面上取點(diǎn)采用平面上取點(diǎn)法。采用平面上取點(diǎn)法。A AB BC CS S2.2.棱錐：棱錐：棱線(xiàn)棱線(xiàn)交于一點(diǎn)交于一點(diǎn)( ) s s k k k b a (c )b s n n n a c 10 s s b abc a (c )b s m m a c (m )曲面立體回轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓球、圓環(huán)）12 直線(xiàn)直線(xiàn)AAAA（稱(chēng)為母線(xiàn)稱(chēng)為母線(xiàn)）繞與它平行的軸線(xiàn)繞與它平行的軸線(xiàn)OOOO旋旋轉(zhuǎn)一周即形成

5、圓柱面。轉(zhuǎn)一周即形成圓柱面。圓柱面上與軸線(xiàn)平行的圓柱面上與軸線(xiàn)平行的任一直線(xiàn)稱(chēng)為圓柱面的任一直線(xiàn)稱(chēng)為圓柱面的素線(xiàn)素線(xiàn)。1.1.圓柱圓柱 （1 1） 圓柱的形成圓柱的形成O OO OA AA A13 如圖，圓柱面的軸線(xiàn)垂如圖，圓柱面的軸線(xiàn)垂直于直于H H面，其面，其H H投影積聚成投影積聚成一個(gè)圓，另兩個(gè)投影分別一個(gè)圓，另兩個(gè)投影分別為矩形（圓柱面的縮影）。為矩形（圓柱面的縮影）。V V投影矩形左右、投影矩形左右、W W投影矩投影矩形前后邊界是圓柱面不同形前后邊界是圓柱面不同方向的方向的輪廓轉(zhuǎn)向線(xiàn)投影輪廓轉(zhuǎn)向線(xiàn)投影。（2 2）圓柱的三投影圓柱的三投影（3 3）輪廓轉(zhuǎn)向線(xiàn)投影分）輪廓轉(zhuǎn)向線(xiàn)投影分析

6、析A AA AO OO O1(21(2)1 12 21 12 23 34 43 34 43(4)3(4)14利用投影的積利用投影的積聚性求解聚性求解（4 4）圓柱面上取點(diǎn)圓柱面上取點(diǎn)A A a a a （ ） (b ) b b 15 直線(xiàn)直線(xiàn)SASA（母線(xiàn)母線(xiàn)）繞與它相繞與它相交的軸線(xiàn)交的軸線(xiàn)OOOO旋轉(zhuǎn)形成圓錐面旋轉(zhuǎn)形成圓錐面。S S稱(chēng)為稱(chēng)為錐頂錐頂，圓錐面上圓錐面上過(guò)錐過(guò)錐頂頂?shù)牡乃鼐€(xiàn)是素線(xiàn)是直線(xiàn)直線(xiàn)；而圓錐面；而圓錐面上上垂直軸線(xiàn)垂直軸線(xiàn)的素線(xiàn)是的素線(xiàn)是圓圓。 圓錐的形成圓錐的形成2.2.圓錐圓錐O OO ON NS SA A16 如圖，圓錐軸線(xiàn)垂直于如圖，圓錐軸線(xiàn)垂直于H H面，面，H

7、 H投影為一圓。另投影為一圓。另兩個(gè)投影為三角形，三兩個(gè)投影為三角形，三角形的底邊是圓錐底面角形的底邊是圓錐底面的投影，兩腰分別為圓的投影，兩腰分別為圓錐面不同方向的輪廓轉(zhuǎn)錐面不同方向的輪廓轉(zhuǎn)向線(xiàn)投影。向線(xiàn)投影。（圓錐的三（圓錐的三個(gè)投影都沒(méi)有積聚性）個(gè)投影都沒(méi)有積聚性） 圓錐的三投影圓錐的三投影S S s s s17 輪廓轉(zhuǎn)向線(xiàn)的投影分析輪廓轉(zhuǎn)向線(xiàn)的投影分析 s s saaabbbO OO OS SA AVWB18 圓錐面上取點(diǎn)圓錐面上取點(diǎn)輔助直線(xiàn)法輔助直線(xiàn)法輔助圓法輔助圓法N NS SA A如何在圓錐面上如何在圓錐面上作直線(xiàn)？作直線(xiàn)？過(guò)錐頂作一條素線(xiàn)。過(guò)錐頂作一條素線(xiàn)。圓的半徑？圓的半徑？

8、垂直于圓錐軸線(xiàn)作垂直于圓錐軸線(xiàn)作一條素線(xiàn)。一條素線(xiàn)。 s s k (n n )sn k k (n )dd19 三個(gè)投影分別為三個(gè)三個(gè)投影分別為三個(gè)和球的直徑相等的圓，它和球的直徑相等的圓，它們分別是球三個(gè)方向的輪們分別是球三個(gè)方向的輪廓轉(zhuǎn)向線(xiàn)的投影。廓轉(zhuǎn)向線(xiàn)的投影。（注意（注意輪廓轉(zhuǎn)向線(xiàn)在各個(gè)投影中輪廓轉(zhuǎn)向線(xiàn)在各個(gè)投影中的位置）。的位置）。 圓（圓（母線(xiàn)母線(xiàn)）以它的直徑為軸旋轉(zhuǎn)而成）以它的直徑為軸旋轉(zhuǎn)而成（2 2）球的三投影）球的三投影（1 1）球的形成）球的形成3.3.圓球圓球20（3 3）球面上取點(diǎn)）球面上取點(diǎn)輔助圓法輔助圓法圓的半徑？圓的半徑？ k k k (g) ( (g ) ( (g

9、 )214.4.圓環(huán)圓環(huán)（1 1）圓環(huán)的形成）圓環(huán)的形成 一圓面繞與其共面但不通過(guò)該圓圓心的軸線(xiàn)回一圓面繞與其共面但不通過(guò)該圓圓心的軸線(xiàn)回轉(zhuǎn)一周而形成轉(zhuǎn)一周而形成（2 2）圓環(huán)的）圓環(huán)的三投影三投影軸線(xiàn)軸線(xiàn)母線(xiàn)圓母線(xiàn)圓22（3 3）環(huán)面上取點(diǎn)）環(huán)面上取點(diǎn)23課后作業(yè)課后作業(yè)P58-1,P59-3P58-1,P59-3，P60P60，P61P61二、截交線(xiàn)25平面與立體相交，稱(chēng)為截交。平面與立體相交，稱(chēng)為截交。 截交線(xiàn)：截交線(xiàn)：截平面與立體表面的交線(xiàn)。截平面與立體表面的交線(xiàn)。 截平面：截平面：截立體的平面。截立體的平面。 截余部分：截余部分：立體被截后留下部分。立體被截后留下部分。截平面截平面截

10、交截交線(xiàn)線(xiàn)截余部分截余部分截面形截面形 截面形：截面形：截交線(xiàn)圍成的平面形。截交線(xiàn)圍成的平面形。26 2.2.截面形一般是一截面形一般是一封閉封閉的平面的平面圖形圖形。 3.3.截面形截面形取決于被截立體的形取決于被截立體的形狀及截平面與立體的相對(duì)位置。狀及截平面與立體的相對(duì)位置。 1.1.截交線(xiàn)是截平面與立體表面截交線(xiàn)是截平面與立體表面 的的共有共有線(xiàn)。線(xiàn)。截交線(xiàn)的性質(zhì)截交線(xiàn)的性質(zhì) 4.4.截交線(xiàn)的截交線(xiàn)的投影特性投影特性取決于截平取決于截平面與投影面的相對(duì)位置。面與投影面的相對(duì)位置。 27截交線(xiàn)截交線(xiàn)：是是直線(xiàn)直線(xiàn)；截截面形：面形：是是一一封閉的平面多邊形封閉的平面多邊形截交截交點(diǎn)的位置有

11、兩種：點(diǎn)的位置有兩種：1.1.在棱線(xiàn)上在棱線(xiàn)上 圖中點(diǎn)圖中點(diǎn)、2.2.在表面上在表面上 圖中點(diǎn)圖中點(diǎn)、（一）平面截平面立體（一）平面截平面立體28例例1 1：求四棱錐被截切后的：求四棱錐被截切后的H H、W W投影投影 求截交線(xiàn)的求截交線(xiàn)的方法和步驟方法和步驟29 確定截面形的形狀確定截面形的形狀 確定確定截截交線(xiàn)交線(xiàn)的的投影特性投影特性（1 1）空間及投影分析空間及投影分析 確定確定截截交點(diǎn)交點(diǎn)的的位置位置分析要點(diǎn)：分析要點(diǎn)： 1.平面截平面立體平面截平面立體的的交線(xiàn)應(yīng)是直交線(xiàn)應(yīng)是直線(xiàn)，圍成的截面形是多邊形。線(xiàn)，圍成的截面形是多邊形。 2.多邊形的邊（截交線(xiàn)）與頂點(diǎn)多邊形的邊（截交線(xiàn)）與頂點(diǎn)

12、（截交點(diǎn)）數(shù)目相同。（截交點(diǎn)）數(shù)目相同。 3.根據(jù)以上兩點(diǎn)，根據(jù)以上兩點(diǎn)，可從分析截交可從分析截交點(diǎn)數(shù)目入手確定截面形的形狀。點(diǎn)數(shù)目入手確定截面形的形狀。1點(diǎn)2點(diǎn)1點(diǎn)2點(diǎn)水平面水平面?zhèn)绕矫鎮(zhèn)绕矫?0（2 2）找截交點(diǎn)：作出各棱線(xiàn)和表面上截交點(diǎn)的各）找截交點(diǎn)：作出各棱線(xiàn)和表面上截交點(diǎn)的各投影投影31 （3 3）判別虛實(shí)并連線(xiàn)。原則是：）判別虛實(shí)并連線(xiàn)。原則是：同表面同表面上、上、相鄰相鄰的的 截截交點(diǎn)相連交點(diǎn)相連 （4 4）補(bǔ)全輪廓線(xiàn)，）補(bǔ)全輪廓線(xiàn)，完成截余部分的投完成截余部分的投影影32更為簡(jiǎn)單的作圖更為簡(jiǎn)單的作圖1 12 21 1 (2(2 ) )2 2 1 1 33 確定確定截面形的形狀截

13、面形的形狀 確定確定截交線(xiàn)的投影特性截交線(xiàn)的投影特性（1 1）空間及投影分析）空間及投影分析（2 2）找截交點(diǎn)：作出各棱線(xiàn)和表面上截交點(diǎn)的各投影）找截交點(diǎn)：作出各棱線(xiàn)和表面上截交點(diǎn)的各投影 （3 3）判別虛實(shí)并連線(xiàn)。原則是：）判別虛實(shí)并連線(xiàn)。原則是：同表面上同表面上、相鄰相鄰的的 截交點(diǎn)相連截交點(diǎn)相連 確定確定截交點(diǎn)的位置截交點(diǎn)的位置 （4 4）補(bǔ)全輪廓線(xiàn)補(bǔ)全輪廓線(xiàn)，完成截余部分的投影，完成截余部分的投影 求截交線(xiàn)的方法和步驟（小結(jié)）求截交線(xiàn)的方法和步驟（小結(jié)）341點(diǎn)1點(diǎn)1點(diǎn)2點(diǎn)例例2.2.完成三棱椎被截后的完成三棱椎被截后的H H、W W投影投影2點(diǎn)四邊形四邊形/H/H四邊形四邊形/W/W三角形三角形V V35對(duì)于投影面垂直面的對(duì)于投影面垂直面的截面形，利用類(lèi)似形截面形，利用類(lèi)似形特征檢查結(jié)果。特征檢查結(jié)果。作圖作圖類(lèi)似形類(lèi)似形36答案答案37222 2111 12