23等腰三角形（一）

1、本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容2.32.3 等腰三角形是有兩邊相等的三角形等腰三角形是有兩邊相等的三角形.另外一邊叫作另外一邊叫作底邊底邊.兩腰的夾角叫作兩腰的夾角叫作頂角頂角.腰和底邊的夾角叫作腰和底邊的夾角叫作底角底角.其中相等的兩邊都叫作其中相等的兩邊都叫作腰腰.認識等腰三角形認識等腰三角形底角底角頂頂角角BAC腰腰腰腰底邊底邊底角底角等腰三角形除了具有這些一般三角形的性質(zhì)外，等腰三角形除了具有這些一般三角形的性質(zhì)外，還有哪些特殊的性質(zhì)呢還有哪些特殊的性質(zhì)呢？ 做一做做一做如圖如圖,把一張長方形紙片按圖中的虛線把一張長方形紙片按圖中的虛線對折對折, AC和和AB有什么關(guān)系有什么關(guān)系?這個三角形有什么特

2、點這個三角形有什么特點?然后沿著虛線剪去一部分然后沿著虛線剪去一部分,再把它展開再把它展開,得得ABC.探究探究 任意畫一個等腰三角形任意畫一個等腰三角形ABC， 其中其中AB =AC， 如圖如圖, 作作ABC 關(guān)于頂角平分線關(guān)于頂角平分線AD 所在直線的軸所在直線的軸反射，反射， 由于由于1 =2， AB=AC， 因此：因此：射線射線AB的像是射線的像是射線AC， 射線射線AC的像是射線的像是射線 ；線段線段AB的像是線段的像是線段AC， 線段線段AC的像是線段的像是線段 ；點點B的像是點的像是點C， 點點C的像是點的像是點 ；線段線段BC的像是線段的像是線段CB.從而等腰從而等腰ABC關(guān)于

3、直線關(guān)于直線 對對稱稱.ABABBAD由于點由于點D 的像是點的像是點D, 因此線段因此線段DB 的像是線段的像是線段 ， 從而從而AD 是底邊是底邊BC上的上的 .由于射線由于射線DB的像是射線的像是射線DC, 射線射線DA的像是射的像是射線線 , 因此因此BDA=CDA= , 從而從而AD是底邊是底邊BC上的上的 .由于射線由于射線BA 的像是射線的像是射線CA , 射線射線BC 的的像是射線像是射線 ,因此因此B C.DC中點中點DA90高高CB=結(jié)論結(jié)論 等腰三角形是軸對稱圖形，對稱軸是頂?shù)妊切问禽S對稱圖形，對稱軸是頂角平分線所在的直線角平分線所在的直線. .等腰三角形的兩底角相等

4、（簡稱等腰三角形的兩底角相等（簡稱“等邊對等角等邊對等角”）在在ABC中，中， AC=AB（已知（已知 ） B=C（等邊對等角）（等邊對等角）幾何語言：幾何語言： 等腰三角形底邊上的高、中線及頂角平分線重合（簡等腰三角形底邊上的高、中線及頂角平分線重合（簡稱稱“三線合一三線合一”）在在ABC中，中，AB =AC, 點點 D在在BC上上1、AD BC = ， = . 2、AD是中線，是中線， ， = .3、AD是角平分線，是角平分線， ， = .幾何語言：幾何語言：BAD CADBD CDBD CDBAD CADAD BCAD BC做一做做一做 在在ABC中，中，AB=AC，點點D在在AC上，上

5、，且且BD=BC=AD，求求 ABC各角的度數(shù)各角的度數(shù) . 解：解：在在ABC中，中，AB=ACABC=ACB,A+ABC+ACB=180在在ABD中，中，BD=ADABD=A，BDC=A+ABD, 即即BDC=2A 在在BDC中，中，BD=BCBDC=BCD, A+2ACB=180即即 A+4A=180A=36ABC=BCA=2A=72做一做做一做如圖（如圖（1）在等腰）在等腰ABC中，中，AB =AC, A = 36,則則B = ,C= .2、如圖（、如圖（3）在等腰）在等腰ABC中，中，A = 120則則B = ，C= .72 72 65 65 30 30 變式練習：變式練習：1、如圖

6、（、如圖（2）在等腰）在等腰ABC中，中，A = 50, 則則B = ，C= .3、等腰、等腰ABC中，有一個角是中，有一個角是50， 則其余兩個角分別是則其余兩個角分別是 。65 、65 或或50 、80 想一想想一想 如圖，如圖， ABC 是等邊三角形，是等邊三角形， 那么那么A， B，C的大小之間有什么關(guān)系呢？的大小之間有什么關(guān)系呢？因為因為ABC 是等邊三角形，是等邊三角形，所以所以ABBCAC,從而從而C AB由三角形內(nèi)角和定理可得：由三角形內(nèi)角和定理可得：ABC 60等邊三角形的三個內(nèi)角相等，且都等于等邊三角形的三個內(nèi)角相等，且都等于6060. . 由于等邊三角形是特殊的等腰由于等

7、邊三角形是特殊的等腰三角形，因此等邊三角形是軸對三角形，因此等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸，分別稱圖形，它有三條對稱軸，分別是三個內(nèi)角的平分線所在的直線是三個內(nèi)角的平分線所在的直線. .例例1：已知：已知： 如圖，如圖， 在在ABC中，中， AB=AC， BDAC， 垂足為點垂足為點D.求證：求證： DBC= A.12DBC= BAC12解：解：作作AFBC于于FFAB=AC AFBC12CAF=BAF= BACAFBC BDACCAF+C=DBC+C=90DBC =CAF解題規(guī)律：解題規(guī)律：在等腰三角形中，做頂角平分線或作底邊上在等腰三角形中，做頂角平分線或作底邊上高或作底邊上中線是

8、一種常用的輔助線高或作底邊上中線是一種常用的輔助線. .舉舉例例例例2 已知：如圖，在已知：如圖，在ABC中，中，AB=AC，點，點D，E在邊在邊BC上，且上，且AD=AE. 求證：求證：BD=CE.證明證明 作作AFBC，垂足為點，垂足為點F，則則AF是等腰是等腰ABC和等腰和等腰ADE底邊上的高，也是底邊上的中線底邊上的高，也是底邊上的中線. BF=CF， BF- -DF=CF- -EF，DF=EF，即即 BD=CE.F 如圖的三角測平架中如圖的三角測平架中，AB=AC，在，在BC的中點的中點D掛一個重錘，自然下垂，掛一個重錘，自然下垂，調(diào)整架身，使點調(diào)整架身，使點A恰好在鉛恰好在鉛錘錘線

9、上線上.（1）AD與與BC是否垂直，試說明理由是否垂直，試說明理由.（2）這時）這時BC處于水平位置，為什么處于水平位置，為什么？練習練習1. 如圖，在如圖，在ABC中，中，AB=AC，AD為為BC邊上邊上 的高，的高，BAC=49，BC= 4，求，求BAD的度的度 數(shù)及數(shù)及DC的長的長.答：答：BAD=24.5， DC=2.2. 如圖，點如圖，點P為等邊三角形為等邊三角形ABC的邊的邊BC上一點，且上一點，且APD= 80，AD=AP，求，求DPC的度數(shù)的度數(shù).DPC =20.3、已知房屋的頂角、已知房屋的頂角BAC=100，過屋頂，過屋頂A的立柱的立柱ADBC,屋檐屋檐AB=AC,求頂架上求頂架上B、C、BAD、CAD的度數(shù)。的度數(shù)。1題題2題題3題題B =C=40.BAD