高等數(shù)學(xué)(2017高教五版)課件有理函數(shù)與可化為有理函數(shù)的不定積分(工科類)

1、一、有理函數(shù)的部分分式 分解 本節(jié)給出了求有理函數(shù)等有關(guān)類型的不定積分的方法與步驟.3 有理函數(shù)和可化為 有理函數(shù)的不定積分?jǐn)?shù)學(xué)分析 第八章不定積分二、有理真分式的遞推公式四、某些無理函數(shù)的不定積分三、三角函數(shù)有理式的不定 積分*點(diǎn)擊以上標(biāo)題可直接前往對(duì)應(yīng)內(nèi)容101101( )( )( )nnnmmmxxP xR xQ xxx 有理函數(shù)是由兩個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)的商所表示的函數(shù), 有理函數(shù)的部分分式分解m n 時(shí)稱為真分式, m n 時(shí)稱為假分式.假分式可化為一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和.00(0,0),其一般形式為:后退 前進(jìn) 目錄 退出有理函數(shù)的部分分式分解1. 對(duì)分母 Q(x) 在實(shí)數(shù)系內(nèi)作標(biāo)準(zhǔn)分

2、解:1122111( )()()()() ,ststtQ xx ax axp xqxp xq 240,1,2, .jjpqjt+11 ,N , 2,stijijijm 其其中中且且2. 根據(jù)分母各個(gè)因式分別寫出與之相應(yīng)的部分分其分解步驟稱為部分分式分解.具體步驟簡(jiǎn)述如下:真分式又可化為22)(qpxxCxBii()iiAxa與之和,式. 有理函數(shù)的部分分式分解.)()(221kkaxAaxAaxA,)()(22222211kkkqpxxCxBqpxxCxBqpxxCxB把所有部分分式加起來,使之等于 Q(x), 由此確定對(duì)應(yīng)于kqpxx)(2 的部分分式是上述部分分式中的待定系數(shù) Ai , B

3、i , Ci .有理函數(shù)的部分分式分解()kxa的部分分式是對(duì)應(yīng)于3. 確定待定系數(shù)的方法 把所有分式通分相加, 所得分式的分子與原分子組, 由此解出待定系數(shù). 必定相等的原則, 得到待定系數(shù)所滿足的線性方程 P(x) 應(yīng)該相等. 根據(jù)兩個(gè)多項(xiàng)式相等時(shí)同次項(xiàng)系數(shù)有理函數(shù)的部分分式分解101101( )( )( )nnnmmmxxP xR xQ xxx 22201(2) (1)(2)(2)(1)A xxxA xxxx5432( )5248Q xxxxxx因因?yàn)闉榻饨?01222( ),22(2)1AAABxCR xxxxxx所所以以( ),Q x兩兩邊邊乘乘以以得得到到).1()2)(2(22

4、xxxx43224910 xxxx222(2)(1)()(2)(2) .A xxxBxCxx有理函數(shù)的部分分式分解分式分解. 例1432543224910( )5248xxxxR xxxxxx對(duì)對(duì)作部分比較同次項(xiàng)系數(shù), 得到線性方程組401301220121201223213342443849442810AABxAAABCxAAABCxAABCxAAAC 的的系系數(shù)數(shù)的的系系數(shù)數(shù)的的系系數(shù)數(shù)的的系系數(shù)數(shù)常常數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)解得. 1, 1, 1, 2, 1210CBAAA.11)2(12221)(22xxxxxxxR于是完成了R(x) 的部分分式分解: 有理函數(shù)的部分分式分解任何有理真分式的不定積分都

5、可化為如下兩種形d(i);()kxxa22(ii)d(40).()kLxMxpqxpxq有理真分式的遞推公式1ln|,1,d(i)1,1.()(1)()kkxaCkxCkxakxa下面解這兩類積分.式的不定積分之和：有理真分式的遞推公式2222dd.()()kkttLtNtrtr1,k 時(shí)時(shí)22d1arctan.ttCtrrr222dd()()kkLxMLtNxtxpxqtr22221dln(),2tttrCtr(ii),2ptx令令22,42ppLrqNM則則有理真分式的遞推公式22d,()kktItr記記則則2222221()d()kktrtItrtr21222211d()kktItrrt

6、r2,k時(shí)時(shí)kkrtrttrtt)(d21d222222.121122Crtkk有理真分式的遞推公式122221111d2(1)()kkItrrktr112222111.2(1) ()kkktIIrrktr12221223,2(1)()2(1)kkktkIIrktrrk解得2, 3,.k 有理真分式的遞推公式112222111.2(1) ()kkkktIIIrrktr.1d)1()2(d2d22d22xxxxxxxxxx432543224910d5248xxxxxxxxxx解 由例1,xxxxIxxxxxx432543224910d .5248求求= =例2 其中2(1)d1xxxx2221d

7、(1)11d2121xxxxxxx有理真分式的遞推公式21(1)dln|2|ln|2|.21xxxxxxx211221ln|1|arctan.2233xxxC22211dln|1|221322xxxx于是有理真分式的遞推公式2(1)d1xxxx2221d(1)11d2121xxxxxxx121arctan.33xC211ln|2|ln|2|ln|1|22Ixxxxx.d)22(1222xxxx求求例3解 由于2221(22)xxx ,)22(12221222xxxxx而111d22d22xxxxx,1arctan1Cx有理真分式的遞推公式22222(21)(22)xxxxx .)1(d2212

8、22ttxx22222d(22)d(1)(22)(1)1xxxxxx2221d(22)xxxx2211arctan(1),2(22)2xxCxx22d(1)tt 由遞推公式有理真分式的遞推公式22(22)1d(22)xxxx221d2(1)21tttt1tx2222221121ddd(22)22(22)xxxxxxxxxxx于是3arctan(1).2xC有理真分式的遞推公式232(22)xxx arctan1xC 2d22xxx 2222131darctan(1)(22)2(22)2xxxxxxxxsin x, cos x 及常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算得到的函三角函數(shù)有理式的不定積分tan,(s

9、in ,cos )d2xtRxxx通通過過變變換換可可把把化化為為有理函數(shù)的不定積分. 把2cos2sin2cos2sin2sin22xxxxx數(shù) R (sin x, cos x) 稱為三角函數(shù)有理式.2tan12tan22xx,122tt三角函數(shù)有理式的不定積分2cos2sin2sin2coscos2222xxxxx22dd(2arctan )d1xttt2222212(sin ,cos )d,d .111ttRxxxRtttt代入原積分式，得到2tan12tan122xx,1122tt三角函數(shù)有理式的不定積分d.1sincosxxx求求例4tan,2xt 令令則則解d1sincosxxx2

10、2222d121111tttttttt1dCt 1ln.2tan1lnCx三角函數(shù)有理式的不定積分對(duì)三角函數(shù)有理式的不定積分, 在某些條件下還可(iii)(,)( , ) ,tan .RuvR u vtx若若可可作作變變換換(i)(, )( , ) ,cos ;Ru vR u vtx 若若可可作作變變換換(ii)( ,)( , ) ,sin ;R uvR u vtx 若若可可作作變變換換?為為什什么么以以上上變變換換可可使使不不定定積積分分簡(jiǎn)簡(jiǎn)化化(i),R若若滿滿足足條條件件由由代代數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)知知識(shí)識(shí)可可知知, ,存存在在有有理理函函0,R數(shù)數(shù)使使得得選用如下三種變換, 使不定積分簡(jiǎn)化.三角函

11、數(shù)有理式的不定積分20( , )(, ) .R u vR u v u因此因此 20(1cos,cos )d(cos )Rxxx0(ii),RR若若滿滿足足條條件件則則存存在在有有理理函函數(shù)數(shù)使使得得20( , )( ,) .R u vR u v v類類似似可可得得20(1, )d .Rttt 20(sin,cos)d(sin,cos)sin dRxxxRxxx x三角函數(shù)有理式的不定積分20(sin,cos)d(sin,cos)cos dRxxxRxxx x20(sin ,1sin)d(sin )Rxxx20( ,1)d .R ttt0(iii),RR若若滿滿足足條條件件則則存存在在有有理理函

12、函數(shù)數(shù)使使得得0( , ),.uuR u vRv vRvvv0,uRvv而而滿滿足足vvuRvvuR,00vuR,.,0vvuR三角函數(shù)有理式的不定積分1( , ),R u v同同樣樣由由代代數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)知知識(shí)識(shí), ,存存在在有有理理函函數(shù)數(shù)使使得得201,uuRvRvvv21(sin ,cos )d(tan ,cos)dRxxxRxxx1221d(tan )tan ,1tan1tanxRxxx因因此此1221d,.11tRtttcos ,tx 因因此此可可設(shè)設(shè)22sin2sin cosd2dsin2cossin2cosxxxxxxxxx.dcos2sin2sin2xxxx求求例52sin2sin

13、2cosxxx由由于于解xxxxcosdcoscos21cos222d212tttt 三角函數(shù)有理式的不定積分22sincos,sin2cosxxxx(i),滿滿足足情情形形則則2121ln 12ln221tttCt 2121cosln 12coscosln.221cosxxxCx ttttd2122222221222121tdtttttd三角函數(shù)有理式的不定積分222222222d1secdsincostanxx xbaxbxaxa1arctantan.axCabb. )0(,cossind2222abxbxax求求例6tan ,tx因因此此可可設(shè)設(shè)解(iii),由由于于被被積積函函數(shù)數(shù)滿滿

14、足足情情形形222tantan1abxxdaCxbabaatanarctan12三角函數(shù)有理式的不定積分1.( ,)d(0)naxbR xxcxdadbc型型不不定定積積分分,.naxbtcxd令令可可化化為為有有理理函函數(shù)數(shù)的的積積分分某些無理函數(shù)的不定積分某些無理函數(shù)的不定積分,213xxt因此令因此令,12133ttx則則.d19d232tttx某些無理函數(shù)的不定積分.)2()1(d32xxx求求例7解 由于32(1) (2)xx321(2),2xxx332d3d1(1) (2)xttxx212d11ttttt 333ln212xx 3323123arctan.32xxCx某些無理函數(shù)的

15、不定積分2112ln 1d2 1ttttt 21ln 1ln(1)2ttt 23d21324tt123arctan3tC212d11ttttt 某些無理函數(shù)的不定積分例8 求34d(1+ )xxx 解34d(1+ )xxx 4d=,1+xxxx 244d4d11xtttxxx ,14xxt設(shè)設(shè),114tx則則,1d4d243tttx22112d11ttt444111ln2arctan.11xxxCxxx某些無理函數(shù)的不定積分22112d11ttt1ln2arctan1ttCt型不定積分22.( ,)dR xaxbxcx22224(),124bacbaxbxcaxaa由由方方于于法法,44,22

16、22abackabxu若記若記2axbxc則則化化為為時(shí)也可直接化為有理函數(shù)的不定積分. 可用多種方法化為三角函數(shù)有理式的不定積分,有,) i (22kua,)ii(22kua或或.)iii(22uka或或某些無理函數(shù)的不定積分因此可分別設(shè)因此可分別設(shè)把它們轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)有理式的不定積分.(ii )sec ;ukt(iii )sin .ukt(i )tan ;ukt方法2 (歐拉變換)2(a)0,;aaxbxcaxt若若令令2(b)0 ,;caxbxcxtc若若令令2(c),axbxc 若若有有兩兩個(gè)個(gè)不不同同實(shí)實(shí)根根令令).(2 xtcbxax某些無理函數(shù)的不定積分.32d2 xxxx求求例

17、9解 用方法 1:2d23xxxx41d2xxx 2d114uxuuu 2sec tan2secd2sec1 2tanu cos2d某些無理函數(shù)的不定積分22221tan2d121ttttt ttd3222arctan33tC21arctan(tan).233C 由于由于 cos1sin2tan1sectan 12122uu,1322xxx某些無理函數(shù)的不定積分22d223arctan.33(1)23xxxCxxxx得得22:23,xxxt用用方方法法令令則則,1232ttx,d1232d22ttttxtttxx1233222.12322ttt某些無理函數(shù)的不定積分22222(1)2(1)23d3(23)2(1)ttttttttt因此2d23xxxx.32d2 xxxx求求ttd322Ct3arctan322223arctan.33xxxC某些無理函數(shù)的不定積分注1 對(duì)于本題來說,方法 2 顯然比方法 1 簡(jiǎn)捷.但實(shí)質(zhì)上只相差某一常數(shù)而已.注2 由以上兩種方法所得的結(jié)果, 形式雖不相同22212,xxttxx.1d2xxxx求求例1021,xxtx 令令